妙用补形法巧解几何题

·44· 中学数学月刊 2009年第6期 ≥(j1-、／”1sin20+cos2"O(cosz0一sin2∞， 因为o≤口≤号，所以eos知'O(eosz0一sin20)>／0， 所以^。州，(∞≥(专)州sin2口≥(号)一·(譬)2 因为o≤一≤号，所以o≤sin口≤COs0， 由于厶(∞≥(sin舳2口+CO尹20)sin20， 所以厶(∞≥厂2卜2(O)sin20≥⋯≥五(O)sina-20一 (sinz0+coszO)s扩2口=sina-z0s拶号一(譬)纠 =(护 一(号)H． 所以当k=m+1时猜想也成立． 又上述等式成立的条件均为口：号，故最小值为 又上述等式成立的条件均为口2{’ 厶(号H扩：(扩一2府黜求竺嘞厶(号)_(扩=(扩= 法同解法1． 2√(专)·最大值求法同解法1． 本小题的核心是当n为偶数时的最小值，本解法是利 本解法利用了递推与放缩的思想，而这种思想也正是 用数学归纳法的思想进行证明的，自然流畅，学生也容易 我们处理此类问题的自然想法．命题者的出发点是想通过 想到． (1)、(2)两小题的铺垫，使考生更好地解答第(3)小题，但 解法4 当竹为偶数时，设1"l一2k(k∈N’，忌≥2)，则技巧性太强，学生难以处理好，甚至于有误导的可能性．如 厶(∞=／k(∞=sin赴0+eos40=sin2卜2口·sinZO+果拿掉前两个小题，会变得更加开放，给学生的思维 COS21'-20·COS20 空间更加广阔，也许会收到更好的效果． 一(sin盐-2口+CO尹一2∞sin2口+(cos2疗一sin2∞∞S，蝴0， 砂用“褂彩沾” 巧簖几何题 陈培东(江苏省南菁高级中学214400) “补形法”是几何中较常用的基本方法之一，根据几何 问题的条件和图形特征，巧妙添加有关的点和线，将原题 的图形补成—个常见的、规则的几何图形，利用补形后的 图形的性质来解决原问题，往往会带来意想不到的方便． 1 将三角形补成平行四边形 例1 在△ABC中，M是BC的中点，过M点有两条 互相垂直的直线与AB，AC分别交于点D，E，求证：BD+ CE>DE． B M C BD+CE一四7+@．显然有(7197+CE>D，E，而聊为 1919’的中垂线，故DE=D7E．因此，BD+暖=∞7+四 >D'E=DE． 2 在原图形上补上一个相同的几何体 例2三棱柱ABC-A·／31G中，E，F分别为AB，位 的中点，平面EB·C1F将三棱柱分成体积为Ⅵ，％的两部 分，那么Ⅵ。K= ．(1990年高考题) C1 图1 图2 分析 由条件M为BC的中点，将图1补成以AB， AC为一组邻边，以么A为一内角的平行四边形ABA，c， 如图2． 在图2中延长ElM交A，c于D7，连结17397，则有BD= ∞’，ElM—D'M，于是BD，四就转移到了△④，E中，且 图3 图4 解 由E，F分别为AB，AC的中点，在原三棱柱(图 3)下方补上一个与原图形相同的三棱柱(图4)，设三棱柱 ABC-AlB，G的体积为V，则V“tBaca5号y，而 V-^钒1B1q一8、‰，故V“砰=茜，所以Va瓯-A1Blq2 万方数据 2009年第6期 中学数学月刊 ·45· 了2y一砭V=毛y，即Ⅵ=g，Vz=V--矗2V--丧y，故 ⅥlV2=7：5． 3 将四面体补成四棱柱 例3—个给定的四面体ABCD中，．413=CD，AC= BD，AD=日C，证明：这个四面体的各面都是锐角三角形． (美国第1届中学生数学竞赛题) C D D． 爿 C 图5 图6 分析 由条件，四面体三组对边相等，可将它补成以 这些棱长为面对角线的长方体，使得四面体相对两棱为长 方体相对两面的面对角线(图6)，然后运用三面角的性质 可证，证明略． 引申 锐角△R次三边分别为2口，26，2c，沿着它的 三条中位线把△PQR折成四面体ABCD，求它的体积． A P B E C 《斟"x2毒=bz+ca--az； =了1v否1鬲j面瓦磊而 Ct D 图9 图10 本题解法很多，但用补形法较巧妙． 略解 设斜三棱柱ABC-A1B-cl的侧面BB。GC的 面积为S，AA。和面13131C1C的距离为口．将斜三棱柱补成 平行六面体ABC伊A·B1c1D1，因为三棱柱ABC-A-BtC1 与三棱柱A嬲，c1Dl等底等高，所以VA∞-A1B1cl= ¨刚1clD1． ‘ 因为S顺舾，cac=S，AAl和侧面BBlClC的距离为口， 即A1到侧面13131c1C的距离AtE一口，所以V革行六面体= S脚，clc·A1E；Sa， 1 则u泓lBlcl。专s口． S 将不规则几何图形补成常见图形 例5长方形ABCD中，AB=4，AD=7，点M，N分 别在AD，髓上且MN／／AB，AM=3，若以MN为折痕将 平面ABNM折起使其与平面MNCD成直二面角，求MN 与肛的距离． C 图11 图12 略解 根据题意，将图11补全成一个长方体 AFD谗BEcN(图12)，这个长方体的底面是以AM和MD 为邻边的长方形，它的高就是AB，因为MN／／平面 ABCD，所以MN与AC的距离就是MN与平面ABCD的 距离，也就是M到平面ABCD的距离． 在上底面AMDF中，过M作MQ上AD于Q，则易证 胸上平面ABCD，即№就是M到平面ABCD的距离， 10 也就是MN与Ac的距离．不难求得^位=警． o 通过上面5例，可以看到“补形”在解决有关几何问题 时不失为一种行之有效的方法，其形象性、直观性往往会 使问题的解决更便捷、巧妙． 万方数据