第三章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解

第三章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问的付氏解 第九章 拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的傅氏解 111.试证拉普拉斯方程在极坐标下的形式解为 u，u，u,0u，u,0rrr,,xxyy2rr ,,xrsin,，，，，解:因为 所以ux,y,urcos,,rsin, ,y,rcos,, ,u,u,x,u,y,u,u,,,,,，,,cos，sin,,r,x,r,y,r,x,y, ,,u,u,x,u,y,u,u,,,，,,,rsin，rcos,,,,x,,y,,x,y,,,, 由此解出 ,,,,u,usin,u,sin,,,,,,cos,,cos,u,,,,,,x,rr,,rr,,,, ,,,coscos,u,u,u,,,,,,,sinsin,，,，u,,,,y,rr,,,rr,,,,, ,,,,sin,,,,,cos,,,,,,x,rr,,,,记算子为 ,,,,cos,,,,,,sin，,,,,y,rr,,,,, 从而 ,2,u,,u,,u,usin,,,,,,,,,,cos,,,,,,,2,x,x,rr,,x,x,,,,,, ,,,,,u,usinsin,,,,,,,,,coscos,,,,,,,rr,,rr,,,,, 222,,,,,,u,u,u,usincossinsincos2,,，，,，cos22,,,r,rr,r,,rr 222,,,,,,u,u,usincossinsincos，,222,,r,,,rrr,, 通理得 2,,,,,,u,,u,,,ucos,,,,,,,,,，sin,,2,,,,,,y,y,rr,,y,y,,,,,, 222,,,,,,u,u,u,usincossincoscos2,,,，，， sin22,,,r,,rr,r,rr 222,,,,,,u,u,usincossincoscos,，222r,r,,,,rr,,所以 22,u,u11 ，,u，u，u,0rrr,,222r,x,yr 2.求解下列狄利克雷问题 11,u，u，u,0rrr,,2,rr, ,,,,A,,,,,，，u1,,,,0,,,,(,,,,,,),,, 其中为已知常数。 A,, 解法1:直接用分离变量法解得 n,，，Ar ，，ur,,,,，2sinn,cosn,,,,n,n,1，， ,An0，，，，ur,,,，Asinn,，Bcosn,r解法2:设解为 ,nn2n1, ,12A当时 A,Acosn,d,,sinn,n,1n,,,n,, ,,12A, ,,AAd0,,,,, ,1 B,Asinn,d,,0,n,1,2,3,？n,,,, n,，，Ar所以 ，，ur,,,,，2sinn,cosn,,,,n,n,1，，3. 求解下列狄利克雷问题 11,u，u，u,0,rrr,,2 rr, ,，，u,A,,,,1,,cos(,,,), 其中A为已知常数. 解发1: 直接应用分离变量法 ,An0，，，，ur,,,，Asinn,，Bcosn,r解法2 设形式解为 ,nn2n1, ,1 A,Acos,d,,00,,,, ,12 A,Acos,d,,A1,,,, ,1 A,Acos,cosn,d,,0(n,0)n,,,, ,1 B,Acos,sinn,d,,0(n,1,2,3,？)n,,,, ，，ur,,,Arcos,所以 解法3, 公式法 222,,1L,rd，，,, ur,,Acos，，,220,2L,2rLcos(,,,)，r L,1因为 21,1r所以 ,,cos，，ur,A,d,2,2，，1,2cos,，rr,,, i,在内应用复变的流数定理设,则 z,ez,1 11,,,cos,z， ,,2z,, dz11，，,i,i,，，,,,,ez，ed,,cos ,,ziz2，， 所以 ,,,22cosd,11,zdz，，,,,,,,,,2i22i02,r,，rzerz,，rz，re12cos1,,，，，， ，，,1,,,i，2,,，，，，ResFzResFz2ii,,,z,0，，z,re ,i22，，，re11,,i,,,e，,,i,2rrer,，，1，， r2,cos,`,,2r,1 2,1,r2r，，ur,,,A,cos,,Arcos, 221,r, 4.求解下列定解问题 11,，，,0uuurrr,,2,rr,, ,0,0,,,0(0,,)u，，，，rurrL, ,，，，，uL,,,f,(0,,,,), , ，，f,其中为已知的连续函数. 解: 应用分离变量法 ，，，，，，ur,,,Rr,,(1)变量分离 设代入泛定方程得 ,,,，，，，,"，,,0, ,，，,,,0 , ,，，,0,0, 2，，，，，，rR"r，rR'r,,Rr,0 (2)解特征值问题 ,,"，,,0, ,，，,,,0 , ,，，,0,0, ,n解得特征函数为 ，，,,,sin,(n,1,2,？)n, 22，，，，，，rR"r，rR'r,,Rr,0(3)解常微分方程 解得 ,,nn,,,，，Rr,Cr，Dr(n,1,2,？) nnn D,0为了解得有界解,必须使, n n,,,n,(4)根据叠加原理得到解 ，，ur,,,asin,,r,n,n1, a(5)由傅氏级数确定系数代入边界条件 n n,,,n, 从而得到解的系数为 ，，f,,asin,,L,n,n1, ,,2n，，a,f,sin,d, nn,,0,,L, 5.考察由下列定解问题描述的矩形平板(0,x,a,0,y,b)上的温度分布 u，u,0,xxyy,u，，，，0,y,0,ua,y,0 , ,，，，，，，ux,0,fx,ux,b,0, ，，fx其中为已知的连续函数. 解: 此定解问题的边界为矩形,圆的狄利克雷问题,应用极坐标求解.因此我们可以把极坐标 系的下边界: ,,,r0,r, ,,,0,,,,, 看做矩形,应用分离变量法: (1)分离变量 设，，，，代入泛定方程得 u,XxYy ,X",X,0,X"Y" 即 ,,,,,Y"，,Y,0XY, ，，，，代入边界条件:得X0,0,Xa,0 ,X",X,0, ,，，Xx,0(?) , ,，，Xa,0, 解特征值问题(?) (a)若时,方程只有平凡解 ,,0X",,X,0 22(b)若时,令,则方程变为其通解为 ,,,kX"，kX,0,,0 ，，，，Xx,Acoskx，BsinkxX0,0,A，0 所以 A,0 ，，Xa,0,0，Bsinka n,于是得特征函数为 X,sinxna 2(3)解方程 得 y",ky,0n ky,kynn，，Yy,Ce，De nnn n,其中 ，，k,n,1,2,？na (4)由叠加原理得 ,n,kyky,nn，，，，ux,y,Ce，Desinx ,nnan1, C,D(5)由傅氏级数确定系数代入边界条件 nn ,,,n,,，，，，，，，ux,0fxCDsinx,nn,a,1n,, , , ,,,