单调有界数列问题的简单探究

                                               ■ 周 朝 祥 单 调 有 界 数 列 问 题 的 简 单 探 究 　　１．问题的提出 “２０１０年普通高等学校招生全国统一考试 （全国Ⅰ卷）理科数学（必修＋选修Ⅱ）”第２２题 （Ⅱ）中给出了一个单调递增且有界数列的求解 问题： 已知数列 ａ｛ ｝ｎ 中，ａ１＝１，ａｎ＋１＝ｃ－ １ ａｎ． （Ⅱ）求使不等式ａｎ＜ａｎ＋１＜３（其中ｎ∈ Ｎ＊）成立的ｃ的取值范围． 解：（Ⅱ）ａ１＝１，ａ２＝ｃ－１，由ａ２＞ａ１得ｃ＞２． 用数学归纳法证明：当ｃ＞２时ａｎ＜ａｎ＋１． （ⅰ）当ｎ＝１时，ａ２＝ｃ－１ａ１＞ａ１ ，命题成立； （ⅱ）设当ｎ＝ｋ时，ａｋ＜ａｋ＋１，则当ｎ＝ｋ＋１时， ａｋ＋２＝ｃ－ １ａｋ＋１＞ｃ－ １ ａｋ＝ａｋ＋１． 故由（ⅰ）（ⅱ）知，当ｃ＞２时ａｎ＜ａｎ＋１． 当ｃ＞２时，令ａ＝ｃ＋ ｃ ２槡 －４ ２ ，由ａｎ＋１ａｎ＜ ａｎ＋１＋１ａｎ＝ｃ 得ａｎ＜ａ． 当２＜ｃ≤１０３ 时，ａｎ＜ａ≤３． 当ｃ＞１０３ 时，ａ＞３，且１≤ａｎ＜ａ． 于是ａ－ａｎ＋１＝ １ａｎａ （ａ－ａｎ）≤１３ （ａ－ａｎ）． ａ－ａｎ＋１≤１３ｎ （ａ－１）． 当ｎ＞ｌｏｇ３ａ－１ａ－３ 时，ａ－ａｎ＋１＜ａ－３，ａｎ＋１＞３． 因此ｃ＞１０３ 不符合要求． 所以ｃ的取值范围是 ２，１０（ ］３ ． 这道题考查了数列、数学归纳法、不等式等知识，其解题 过程需要很强的数学能力和技巧，对于一般学生来说很难能 够解答．下面我将从极限的角度对这类问题进行简化． ２．问题的探索与解决 首先，我们引入几个概念： 已知数列 ａ｛ ｝ｎ 中，ａｎ＋１＝ｆ（ａｎ）． （ⅰ）若递推式右边ｆ（ａｎ）为关于ａｎ 的分式达式，则称 数列 ａ｛ ｝ｎ 为分式递推数列； （ⅱ）若递推式右边ｆ（ａｎ）为关于ａｎ 的一次表达式，则称 数列 ａ｛ ｝ｎ 为一次递推数列； （ⅲ）若递推式右边ｆ（ａｎ）为关于ａｎ 的二次表达式，则称 数列 ａ｛ ｝ｎ 为二次递推数列． 在此基础上理解一个结论： 如果数列｛ａｎ｝单调，且 ａｎ ＜ａ（ａ为常数），则ｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ 存 在，且 ｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ ≤ａ． 基于这个结论我们来探讨上述问题． （１）单调有界的分式递推数列 例１　已知数列 ａ｛ ｝ｎ 中，ａ１＝１，ａｎ＋１＝ｃ－ １ ａｎ． 求使不等 式ａｎ＜ａｎ＋１＜３（其中ｎ∈Ｎ＊）成立的ｃ的取值范围． 解：因为１≤ａｎ＜ａｎ＋１＜３，即数列 ａ｛ ｝ｎ 单调递增且有界， 所以ｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ 存在，１＜ｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ≤３． 不妨设ｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ＝ｘ，则１＜ｘ≤３． 因为ａｎ＋１＝ｃ－１ａｎｌｉｍｎ→∞ａｎ＋１＝ｌｉｍｎ→∞ （ｃ－１ａｎ ）＝ｃ－ｌｉｍ ｎ→∞ １ ａｎ． ｘ＝ｃ－１ｘｃ＝ｘ＋ １ ｘ． 设ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ ，其中ｘ∈ １，（ ］３ ． 因为函数ｆ（ｘ）＝ｘ＋１ｘ 在 １，（ ］３ 上单调递增． 所以对于任意ｘ∈ １，（ ］３ 有ｆ（１）＜ｆ（ｘ）≤ｆ（３）． ∵ｆ（１）＝１＋１＝２，ｆ（３）＝３＋１３＝ １０ ３． ２＜ｆ（ｘ）≤１０３ ，其中ｘ∈ １，（ ］３ ． 即ｃ的取值范围是 ２，１０（ ］３ ． 上述从极限和函数角度解决问题的对于单调递减分 式递推数列也同样适用． 已知数列 ａ｛ ｝ｎ 中，ａ１＝３，ａｎ＋１＝ｃ－ １ ａｎ． 求使不等式１＜ ａｎ＋１＜ａｎ（其中ｎ∈Ｎ＊）成立的ｃ的取值范围． 解：略． 从上述的解答过程我们发现，对于“单调有界的分式递推 数列”问题，我们可以通过极限和函数的思想把问题进行转 换，化复杂为简单．同时，也可以把这种方法推广到“单调有界 的一次递推数列”和“单调有界的二次递推数列”． （２）单调有界的一次递推数列 例２　已知数列 ａ｛ ｝ｎ 中，ａ１＝１，ａｎ＋１＝ｃａｎ＋１．求使不等 式ａｎ＜ａｎ＋１＜３（其中ｎ∈Ｎ＊）成立的ｃ的取值范围． 解：因为１≤ａｎ＜ａｎ＋１＜３，即数列 ａ｛ ｝ｎ 单调递增且有界， 所以ｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ 存在，１＜ｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ≤３． 不妨设ｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ＝ｘ，则１＜ｘ≤３． 因为ａｎ＋１＝ｃａｎ＋１ｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ＋１＝ｌｉｍ ｎ→∞ （ｃａｎ＋１）＝ｃｌｉｍ ｎ→∞ ａｎ＋１ ｘ＝ｃｘ＋１ｃ＝ｘ－１ｘ ＝１－ １ ｘ． 设ｆ（ｘ）＝１－１ｘ ，其中ｘ∈ １，（ ］３ ． 因为函数ｆ（ｘ）＝１－１ｘ 在 １，（ ］３ 上单调递增． 所以对于任意ｘ∈ １，（ ］３ 有ｆ（１）＜ｆ（ｘ）≤ｆ（３）． ∵ｆ（１）＝１－１＝０，ｆ（３）＝１－１３＝ ２ ３０＜ｆ （ｘ）≤２３ ， 其中ｘ∈ １，（ ］３ ． 即ｃ的取值范围是 ０，（ ］２３ ． 若例２中的条件单调递增数列换成单调递减数列，方法 与例２相似． ３．结束语 近几年高考在强调学生的基本数学能力和技巧的同 时，也开始注重创新意识和加大初等数学与高等数学的衔接， 开阔其数学思维．数列中的某些问题能够很巧妙地跟极限和 函数结合在一起．从极限和函数的角度来解决，能够把复杂的 技巧问题转换为数学思想问题． 作者单位：云南省大理市新世纪中学 ８１ 　　２０１２年第１期