模拟信号滤波总汇

一、滤波器的基本分析 滤波器是对输入信号的频率具有选择性的一个二端口网络，它允许某些频率（通常是某个频率范围）的信号通过，而其它频率的信号幅值均要受到衰减或抑制。这些网络可以由RLC 元件或RC 元件构成的无源滤波器，也可由RC 元件和有源器件构成的有源滤波器。 根据幅频特性所表示的通过或阻止信号频率范围的不同，滤波器可分为低通滤波器（LPF）、高通滤波器（HPF）、带通滤波器（BPF）、和带阻滤波器（BEF）四种。 滤波电路传递函数定义 当 即有 ,为模，幅频响应 ，相位角，相频响应 时间延时为： 理想滤波器的幅频特性： 一阶和二阶滤波器是比较常用的滤波器，而且高阶滤波器可由一阶和二阶组合而成 下表所示为二阶滤波器的传递函数表达式,零、极点分布以及幅频特性示意图。 由上面传递函数可以知道： 高通可以由低通以0/s代替s/0而获得； 带阻可以由高通加低通组成，也可以由1减去一个带阻 具体有源与无源滤波器有下表 二、有源滤波器特性 高通、带通带阻滤波器的传递函数可以由低通滤波器的传递函数转换而来，因此，低通滤波器传递函数的设计与分析是其他类型滤波器传递函数设计的基础。 常用的低通滤波器有巴特沃斯、切比雪夫、贝塞尔和椭圆函数四种类型。 巴特沃斯滤波器具有最平坦的通带，但过渡带不够陡峭。 契比雪夫滤波器带内有起伏，但过渡带比较陡峭。 贝塞尔滤波器过渡带宽而不陡，但具有线性相频特性。 椭圆滤波器不仅通带内有起伏，阻带内也有起伏，而且过渡带陡峭。 1.巴特沃斯低通滤波器 n阶巴特沃斯低通滤波器的幅频特性函数为： 巴特沃斯低通滤波器是一个全极点滤波器，器传递函数表达式为： 式中，k为常数，用于作归一化的基准角频率Wc=1 rad/s,若n=2，4，6···时，传递函数可以分解为： 若n=3，，7···时，传递函数可以分解为： 假设b0=1，并令k=1，2，3···，则各项系数可以分别表示为： 当s=0时，巴特沃斯低通滤波器传递函数的函数值为： 巴特沃斯低通滤波器的增益为式中的k（在s=0时的传递函数值）。如果巴特沃斯低通滤波器由基本滤波节级联方式构成，则Ak和A0即为因式对应基本滤波节电路的增益，因此总增益应该为各滤波节电路的增益的连乘积。 在频率的低端，巴特沃斯低通滤波器的幅度特性最接近理想情况，但在接近截止频率和在阻带范围内，巴特沃斯滤波器则较切比雪夫滤波器差得多。 巴特沃斯低通滤波器的相位特性比同阶数的切比雪夫滤波器要好得多。 这一点完全符合相频特性曲线和幅频特性曲线的一般规律，即某种滤波器的幅频特性较好，则相频特性较差。 2.切比雪夫低通滤波器 切比雪夫低通滤波器是一种最佳的全极点滤波器，它的幅频特性表达式为： n＝1，2，3··· 式中的和k为常数，Cn为第n次第一类切比雪夫多项式，且 当Cn为零时，切比雪夫低通滤波器幅频特性曲线达到最大值k。这些最大值分布在通带内形成波动而在通带外单调变化，器波动范围大小取决于值，波动次数取决于阶数n，而k则取决于低通滤波器的增益。 若k＝1，切比雪夫低通滤波器的波动范围为： 因此我们可以通过取足够小的值，以获得小波动范围。这个由容许的最小通带衰减得出的不变的波动范围，通常用dB值来表示，即 式中表示切比雪夫低通滤波器的一种特性指标。 对于给定的低通滤波器，A和A1已知，A2应该是确定的，它决定的取值，频率c＝1rad/s为截至点或叫波动带的断电，如果取定d则有： 若=1,c＝dB,即可得到－3dB切比雪夫低通滤波器。 就其过渡带比较窄一点来说，切比雪夫低通滤波器的幅频特性优于同阶数的巴特沃斯滤波器；然而，切比雪夫低通滤波器的相频特性则较巴特沃斯滤波器的差些（非线性比较严重）。 附录：巴特沃斯和切比雪夫低通滤波器设计数据表 在下列表格中，列出了巴特沃斯和切比雪夫低通滤波器的归一化设计参数。滤波器的传递函数可以分解为若干个二阶函数因式的乘积。若为技术阶滤波器，还应当包括一个一阶函数因式。巴特沃斯和切比雪夫低通滤波器属全极点滤波器，它的二阶传递函数具有下列通式： 它们的一阶传递函数却具有相同的形式： 在各种滤波器中，k均为滤波节的增益，而c（rad/s）为滤波器的截止频率。系数A、B和C都是归一化系数（即c＝1）。对应于每一个滤波节电路，这些归一化系数在表格中都列成一行。一阶函数则只有系数C。设计参数首先按照滤波其的阶数N被分成若干栏。 对于切比雪夫滤波器，通带波动范围PRW分0.1dB、0.5dB、1dB、2dB和3dB五档。 一）、巴特沃斯低通滤波器数据表 阶数N B C 阶数N B C 2 1.414214 1.000000 8 0.390181 1.111140 1.662939 1.961571 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 3 1.000000 ······ 1.000000 1.000000 4 0.765367 1.847759 1.000000 1.000000 9 0.347296 1.000000 1.532089 1.879385 ······ 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 5 0.618034 1.618034 ······ 1.000000 1.000000 1.000000 6 0.517638 1.414214 1.931852 1.000000 1.000000 1.000000 10 0.312869 0.907981 1.414214 1.782013 1.975377 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 7 0.445042 1.246980 1.801938 ······ 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 二）、切比雪夫低通滤波器数据表 阶数N PRW B C 阶数N PRW B C 2 0.1 0.5 1 2 3 2.372356 1.425625 1.097734 0.803816 0.644900 3.314037 1.516203 1.102510 0.823050 0.707948 5 0.1 0.5 1 2 3 0.333067 0.871982 0.223926 0.586245 0.178917 0.468410 0.134922 0.353230 0.109920 0.287250 1.194937 0.635920 0.538914 1.035784 0.476767 0.362320 0.988315 0.429298 0.289493 0.952167 0.393150 0.218308 0.936025 0.377009 0.177530 3 0.1 0.5 1 2 3 0.969406 0.626456 0.494171 0.368911 0.298620 1.689747 0.969406 1.142448 0.626456 0.994205 0.494171 0.886095 0.368911 0.839174 0.298620 6 0.1 0.5 1 2 3 0.229387 0.626696 0.856083 0.155300 0.424288 0.579588 0.124362 0.339763 0.464125 0.093946 0.256666 0.350613 0.076359 0.208890 0.285349 1.129387 0.696374 0.263361 1.023023 0.590010 0.156997 0.990732 0.557720 0.124707 0.965952 0.532939 0.099926 0.954830 0.521818 0.088805 4 0.1 0.5 1 2 3 0.528313 1.275460 0.350706 0.846680 0.279072 0.673739 0.209775 0.506440 1.330031 0.622925 1.063519 0.356412 0.986505 0.279398 0.928675 0.221568 0.903087 0.195980 7 0.1 0.5 1 2 3 0.167682 0.469834 0.678930 0.114006 0.319439 0.461602 0.091418 0.256147 0.370114 0.069133 0.193706 0.279913 0.056291 0.157725 0.227919 1.092446 0.753222 0.330217 0.376778 1.016108 0.676884 0.253878 0.256170 0.992679 0.653456 0.230450 0.205414 0.974615 0.635391 0.232386 0.155340 0.966483 0.627259 0.204254 0.126485 二、二阶有源滤波器电路 1.无限增益多端反馈滤波器电路 不难求出： 在理想运放条件下，由于Ad→∞，则得到无限增益多路负反馈环的有源滤波器的输出电压表达式为： 电路中元件Y1～Y5的不同选择，可以构成各种特性的滤波器电路模型，如低通、高通、带通和带阻等有源滤波器电路。 该电路中，运放处于反相驱动状态输出信号与输入信号的相位反相。反馈网络由电阻和电容组成的RC无源网络，由于电路具有很强的负反馈作用，所以其品质因数Q可以取得很高，该滤波器电路的稳定性也很好。 2.有限电压源滤波电路 Y1～Y5表示无源网络的导纳，如果用Adf表示对于同相输入端Un的闭环增益，即 根据线性叠加原理，可以导出输出电压表达式为： 为了保证有源滤波器的动态稳定性，要求运放的闭环增益相当小，输入阻抗相当低。 Y1～Y5中，任意两个是电容，其他是电阻，组成二阶有源滤波电路的RC无源网络。根据滤波电路的闭环增益A0可以推倒并分析该滤波器的稳定特性。滤波的稳定性要求阻尼系数满足： 阻尼系数与闭环增益Adf相关。当Adf增大到一定程度时，阻尼系数将变成负值，表明网络是不稳定的系统，说明这种滤波器的品质因数越高，它的稳定性将越差。所以这种滤波器的品质因数Q值不宜太高。 三、低通滤波器 1、二阶低通滤波器的传递函数： 上式也可以变换为： c为截止角频率，上式为巴特沃斯或切比雪夫二阶低通滤波器的传递函数 2、无限增益多端反馈低通滤波器 令Y1,Y3,Y4为电阻，Y2与Y5为电容，则有 由图可知增益k为： 把各元件的导纳带入公式得： 由此可得： 解得： 式中，C2和C5为任意值，各电阻单位为，各电容单位为F。其中截止角频率与截止频率的关系为： 低通滤波器设计方法： 1.首先确定用巴特沃斯低通滤波器还是切比雪夫低通滤波器，根据已知条件，从相应表格中查出归一化系数B和C。 2.然后选定电容C2，它近似等于10/fc F的标称值；再满足下列关系的前提下的C5的最大标称值，即： 3.再用电容值和B、C值代入求出各个电阻值。 4.选用的电阻的标称值尽可能接近计算结果。 值得注意： 1. 为了得到最佳的滤波性能，所用的元件值应与计算结果相一致，告诫滤波器较之低阶的元件值要更精确些，如果计算出来的电阻值不容易实现，可以将电路中的所有电阻阻值乘以某一常数，同时用电容值除以这个常熟，这样获得的滤波器性能并不会改变。 2. 运放的输入阻抗至少应为Req的10倍，即 3. 运放的开环增益至少应为滤波器或滤波节在fc处增益的50倍，运放的上升速度率（V/s）至少等于再乘上输出电压的峰峰值。 4. 每一节的增益都是反相的，即为负数，器绝对值为k＝R4/R1,因此可用一只电位器取代R1来调整增益；改变R3可以调整截止频率fc；改变R4可以调整输出电压出现峰值的频率fm；如果不能满足要求，上述调整步骤需反复进行。 5. 这种电路只能用于增益k和极偶品质因数Qp都不大于10的滤波器或滤波基本节，若Qp较低，k可以适当提高，但是其上限为kQp<=100和Qp<=10。 6. 根据给定的过渡带宽度，应用低阶数的选取方法，求出所需的滤波器的阶数，或根据给定最低结束来推算滤波器的过渡带宽度。 3、压控电压源低通滤波器电路 令Y1,Y4为电阻，Y2,Y5为电容（这里Y3不用） 由图可知增益k为：k＝1＋R4/R3 把各元件的导纳代入公式可得： 由此可得： 解得： 低通滤波器设计方法: 1. 给定截止频率fc（）和增益k，首先确定采用巴特沃斯低通滤波器还是切比雪夫低通滤波器，根据已知条件从相应表格中，查得归一化系数B和C。 2. C2得取值方法是接近于10/fc uF的数值，并选定C1的定标值，满足下列不等式的条件下，选定C1的最大标称化值 3. 若k>1时，则应用上面的式子计算R1～R4的电阻值。若k＝1时，按照上面式子计算R1,R2,R3所在支路开路，R4所在支路短路 4. 选定各电阻的标称化数值，尽可能接近计算结果。 值得注意： 1. 为了得到最佳滤波性能，所用的元件值应与计算结果相一致，高阶滤波器较之低阶元件值要更精确些，如果计算出来的电阻值不容易实现，可以将电路中所有电阻值乘以某一常数，同时用电容值除以这个常数，这样获得的滤波器的性能并不会改变。 2. 运放的输入阻抗至少应为Req的10倍，即Req＝R1+R2 3. 运放的开环增益至少应为滤波器或滤波节在fc处增益的50倍，运放的上升速率（V/us）至少应等于再乘上输出电压的峰峰值。 4. 每一节的增益都是同相的，即为正数，并k＝1＋R4/R3,R3和R4数值的选定，应使得运放的直流偏置最小，因此R3和R4亦可选用另外的数值，但要保证他们的比值不变；如需要调整增益，就需要调整R3和R4的比值，因此可用一只精密的电位器取代R3和R4，且电位器的中间抽头应连接到运放的反相输入端，电阻R1和R2可按相同的百分比同时变化，以调整截止频率fc而不影响电路的Qp值。 5. 这种电路只能用于增益和极偶品质Qp都不大于10的滤波器或滤波节，若Qp较低，k可以适当提高，但是其上限为kQp<＝100和Qp<＝10；如果不能满足要求，上述调整步骤需反复进行。 6. 滤波器的输入端到地之间，必须要有直流通路。 7. 根据所给定的过渡带带宽宽度，应用最低阶数的选取方法，求出所需的滤波器的阶数，或者根据给定最低阶数，来推算滤波器的过渡带宽度。 4、奇数阶低通滤波器设计方法 1.一节一阶低通滤波器传递函数： 2.一阶低通滤波器电路模型 如前方法可得： 奇数阶数低通滤波器设计方法： 1. 根据给定的fc和增益k，确定采用巴特沃斯还是切比雪夫低通滤波器，然后查出一阶滤波器的归一化系数C。 2. 任意选定的C1/uF的标称值，建议让C1的值接近于10/fc。 若k>1，根据上面式子计算R1～R3值，并尽量取靠近其计算值的标定值。 若k＝1，R1通过上面式子计算，R2、R3为0。 3. 奇数阶低通滤波器的其他各二阶低通滤波器电路与前面设计方法相同，并与第一节的一阶滤波器电路相级联而组成整个滤波电路。 需要注意： 1. 在设计k>1时的一阶滤波电路过程中，R2和R3需要尽可能地运用使运放的直流偏置最小，因此在保持它们的比值不变的前提下，也可以选用另外数值，但是滤波电路的增益需要满足：k＝1＋R3/R2 2. 滤波器的输入端到地之间必须要有直流通路。 3. 要调整一阶低通滤波器的增益，可以用一只精密的电位器取代R2和R3来实现增益的灵活整流，电位器的中心抽头应连接到运放的反相输入端，改变R1可以调整截止频率fc。 四、高通滤波器 1. 二阶高通滤波器的传递函数： 由此可知，高通滤波器可以由低通滤波器以/s代替s/ 因此巴特沃斯或切比雪夫高通滤波器的二阶传递函数为： 高通滤波电路的设计与低通的相同，详细推倒过程略 2.无限增益多端反馈高通滤波器电路 由此可知： 解得： 设计方法及注意问题： 设计方法： 1. 根据截止频率fc和增益，需要确定采用巴特沃斯高通滤波器还是切比雪夫高通滤波器，然后通过查表获得归一化低通系数B和C。 2. C1的取值方法接近于10/fc uF的数值，并选定C1的标称值，然后选定C2的最大标称值。 3. 选取的电阻的标称值尽量接近计算结果，按图构成二阶高通滤波器或高通滤波节。特别注意的是，增益k为靓电容的比值，所以应该把电容C1和C2的数值选成符合电容标称值的元件，否则就需要在电路中并联微调电容，这将增加调试难度。 注意问题： 1. 所选元件的标称值必须与计算结果非常接近，高阶高通滤波器要求元件比低阶要更精确些，若电路中全部电阻值乘以某一常数，同时全部电容都除以该常数，滤波器性能不会改变，这样可以微选取元件的标称值带来好处。 2. 运放的输入阻抗至少应为10Req，且Req＝R2，运放的开环增益至少应为滤波器或滤波节应用在最高频率fc时的幅度增益的50倍，运放的上升速度（V/us）至少应等于乘以输出电压的峰峰值。 3. 调整R1和R2可使幅度峰值落在频率为fm处，然后以相同的百分比同时调整R1和R2，可以把截止点移到fc上而极偶品质因数的值并不变，如没有满足设计需要，上述设计步骤可反复进行，直到满足要求为止。 4. 增益为反相，即为负值，且k＝C1/C2,因此微调C1和C2可调整该滤波电路的增益。 5. 本电路只适用于增益k和极偶品质因数Qp均不超过10的二阶高通滤波器或者二阶滤波节，若极偶品质因数Qp较低时，k可相应提高，且要求限制于kQp<=100或Qp<＝10 6. 给定过渡宽带，求高通滤波器所需最低阶数，或者给定高通滤波器的最低阶数求过渡宽带，都可以应用上述方法计算解决。 3.压控电压源高通滤波器 由此可知： 解得： 若k＝1，则R3所在之路相当于开路，而R4可为任意值，一般，在实际使用中，将R4所在支路短路，此时该运放实际上起电压跟随器的作用，电阻R1和R2的值不变。 设计方法和注意问题： 设计方法： 1. 根据给定的截止频率fc和增益k，确定选用哪种滤波器，并从相应表查得归一化低通系数B和C. 2. C1的取值方法是接近于10/fc uF的数值，并选定C1的标称值。 3. 所选的电阻标称值尽量接近计算结果，按图连接，特别注意，增益k为两电阻R4和R3的比值，所以应该把电阻R4和R3的数值选成符合电阻元件的标称值。 注意问题： 1. 所选用的元件标称值必须与计算值非常接近，高阶高通滤波器要求元件值比低阶要更精确，若电路全部电阻值乘以某一常数，同时全部电容都除以该常数，滤波器性能并不会改变，这样可以为选取元件的标称值带来好处。 2. 运放的输入阻抗至少为10Req，且Req＝R2。运放的开环增益至少为滤波器或滤波节应用在最高频率fc时幅度增益的50倍，运放的上上速率（V/us）至少等于乘以输出电压的峰峰值 3. 调整R1和R2可使幅度峰值落在频率fm处，然后以相同的百分比同时调整R1和R2，可以把截止点移到fc上而极偶品质因数的值不变，如没有满足设计要求，上述步骤可反复进行，直到满足要求为止。 4. 给定过渡宽带，求高通滤波器所需最低阶数，或者给定高通滤波器的最低阶数，求过渡宽带，都可以应用上述方法计算解决。 5. R3和R4的值使在增益k>1时应用的，选择它们时，应尽量使运放直流偏置最小，由于滤波节的增益为正相，且增益值为k＝1＋R4/R3,因此只要保持两个电阻的比值不变，R3和R4也可以选用另外的数值。若k＝1，则R3 开路而R4可为任意值，但实际应用中把R4短路，此时电路变成一个跟随器。 6. 电阻R1和R2可以按照相同的百分比一同调整，一边把截止点移到fc而不影响极偶品质因数Qp，增益k可以用一只电位器取代R3和R4来调整，电位器的中间点连接到运放的反相输入端 4.奇数阶高通滤波器设计 由此可知： C1建议取值是接近于10/fc uF的数值，若希望增益k＝1，R1可以利用获得，并且取接近于计算值的标称值，但R2应开路，R3＝R1但实用中常常把R3短路，这是电路变成一个电压跟随器。 其余各滤波器都是二阶的，可以应用前面方法进行设计，最后将各节高通滤波器级联起来，便构成完整的高通滤波电路。 五、带通滤波器 1. 带通滤波器的传递函数： 2. 无限增益多端反馈带通滤波器电路 根据公式可得： 若令C3=C4＝C,则有： 于是可以得到： 解得： 其中，带宽BW为： 由上面式子可知，若R2<