20高考复习练习题资料3。海阔凭鱼跃天高任鸟飞-24柱哥

20高考复习练习题资料3。海阔凭鱼跃天高任鸟飞-24柱哥 海阔凭鱼跃，天高任鸟飞 ——对一道数学问题解决链的深刻认识 温岭市淋川中学数学组 赵雪红 【摘 要】数学教学以“问题解决”为核心～以“思想方法”为背景～以提高“思维能力”为目标(因此～作为新时期的数学教师～如何在这些方面下功夫～如何引领学生对数学知识的提炼和组织～以“问题链”为抓手～以拓展“思想方法”为指导～通过对低层次活动本身的分析～提炼和组织形成更高层次的知识、方法与策略～从而自觉地用高观点去俯视面对的数学问题～带动学生自己去立于思维的“制高点”～剖析问题链的深层结构～追本求源～让数学问题的解决策略变得更清晰～让师生的能力在反复的实践中得到进一步地锤炼与提高( 【关键词】方程 问题链 思想方法 数学视野 当我们刚从G?波利亚的“怎样解题表”的思考中走出来时，我们就会有一种冲动:要让学生好好地学会如何解题,学会理性地思考和反思～当我们沉思于新课程数学课堂教学以“问题解决”为核心的教学理念之中时，这种“冲动”会更让我们思绪:现在的数学课堂教学的根本目的是什么,学生应该真正地学点什么,新课程实施已经好几年了，可有些问题还时不时困惑着，依据数学学科特点，我们知道数学教育是以“培养学生的思维能力”为己任的，但面对我们的课堂教学的规律发展方向，又好象总感觉与教育现实有些“不合拍”似的(为此，我们常常在思索:数学教学一定要关注学生的学习过程，可我们怎样才算是在关注呢,又如何关注才更实效呢,对于数学，我们教师自身，又应该关注些什么,“不知庐山真面目，只缘身在此山中”——课堂，让我们跳出课堂看课堂，那会是怎样一幅“景色”,学生需要的是什么,数学，能给予学生什么, 暑假里一次“帮教”活动，让我好象明白了似的:“学生在学校里，重要的不是学得多少知识和技能，而是学会一种会学习的能力，拥有自己去学习的能力(”(前苏联教育家苏霍姆林斯基语)而这种自己去学习的能力的支撑点是什么,我想不外乎是学习过程中习得的解决问题的思想方法、策略等(因此，这教育上难得的一点“顿悟”，促成了自己对“问题链”数学教学的一些探索与思考(笔者也希望通过本文，借浙教版初一数学暑假作业本中的一题的解决过程，谈谈对“问题链教学”的一点看法与认识，借此 与同行们共鸣～ 问题背景:暑假里，两位亲戚的小孩说有一些数学问题让笔者给他们点拨一下，其中一位是初一升初二的学生且在浙江诸暨读书，用新浙教版教材(下称准初二学生)，一位是一级重点高中的一年级学生(下称准高二学生)(其中在准初二学生问到暑假作业本中有这样一道题目【原始问题】:如果不论k为何值时，总是关于x的方程x,,1 kx，a2x,bk的解，则a=_____，b=_____(值得一提的是新浙教版在体系安排上,,,123 与新人教版是不一样的( 一、学生的知识在“对白”中清晰而深入 乍看此题，觉得有点意思:刚读完初一，是否有“超纲”嫌疑,但转念一想:命题者出此题时不乏一定的高度，便顺势也让这位准高二学生做了这道题目(结果情况并不如人所愿，两位学生都碰到了一些困难(首先，对于这位准初二学生来说，他一看到这题目就自言自语地说，这么多字母啊～晕死了～就打住不往下做了(此时，笔者就很纳闷，连这个解也不会代入吗,为了探究该学生现有的认知水平与认知结构，笔者x,,1 特将问题链作了如下的设计与呈现: 【问题,】:解下列方程:? ?(这两小题会吗,准初二学236xx，,,236kk，,, 生不假思索的脱口而出:“第?小题就是解一个一元一次方程，会～”“第?小题就是字母换了一下”，腼腆地说，“应该会～”其实，此时笔者特地观察了他的表情，发现他有 x一点犹豫，便追问:“什么是一元一次方程,与字母是关于的方程还是关于的方程或k换成其它字母有关系吗,”他顺口接了一句:“会做～就是不常见罢了～这点应该没关系(”笔者说:“哈哈～就像我们上网打游戏时，换了一个‘马甲’，其实还是这个人(” a2,，,,1,,23【问题,】:解下列方程组:(这题总会解吧,他点了点头，说:“这,,，，12ab,，,,1,23, 就是解一个二元一次方程组(”笔者特地强调了一句:“今后要习惯于看这类问题，不要被字母或者符号蒙蔽了问题本质，其实关于两个变量的方程组就是二元方程组(”到此，应该说学生对解一次方程与二元一次方程组的问题也即“正向”解决有着清晰的认识了～ a【问题,】:?已知方程的解是，则=___________. xa,,7x,,1 a?已知,是方程的一个解，则=__________. y,,138xay,,x,3 axby，,5x,4,,?已知二元一次方程组的解是，则 ( ) ,,bxay，,2y,3,, a,2a,2a,,2a,,2,,,,A、 B、 C 、 D、( ,,,,b,,1b,1b,1b,,1,,,, 没等我写完题目，他们就报出了，这说明学生对方程的解与方程组的解的问题的“逆向”认识上也不存在问题(笔者顺势追问道:“那刚才的【原始问题】如何做呢,”这位准初二学生胸有成竹地做了起来(此时，我也看了看这位准高二学生做得如何，结果 kx，a2x,bk发现两位不约而同地作了如下解答:令代入方程得x,,1,,,123 10020，，，ab,,a,,，,,1,,,,3,，，kabk223，由题知，分别取和得即，( k,0k,1，,,1,,3,，，12ab23,,b,，,,1,,,223, 点评:首先我肯定这位准初二学生，的确就他目前的知识水平而言，就只能用二元一次方程组的思想方法解决了～但对这位准高二学生而言，我此时此刻在想，多读了三年的书，难道这题的解决办法只能与这位小师弟如出一辙吗,难道这三年的数学学习，对此题没有一点帮助吗,这三年的书“读与不读”一样吗,„带着这一串串疑问，我又重新思索起来，难道本题这两位学生真得理解了吗,他们已理解到什么程度呢,他们理解的程度一样吗, 二、学生的思维在“变式”中流淌而增效 带着上述问题，笔者对问题进行了如下的变式与设计，试图进一步帮助他们建立对此问题完整的认知结构，从而更好地暴露思维的探求过程，暴露方法、策略的提炼过程( (1)231xy,,,,m出示【问题,】:已知关于的方程组 ，当为____时，方程组有xy,,1(2)xmy，,,,2 m一组解;当=___时，方程组有无数组解(当我一出示这个问题时，这个准高二学生就动笔做起来了，而这位准初二学生就呆在这里;做了一会儿，我特叫这位准高二学生说说，“你是如何想的,”下面摘入他当时大致的想法与思路: 1解:由(,)得，再把(,)代入(,)式得，，当,，,(23)0myxmy,,230m，,2 313时，即时，得，再把代入(,)式得;当时，即y,0y,0x,m,,m,,230m，,222时，得，所以无论取什么值都满足上式，这样取任一个值再代入(,)式00，,yyy x便得相应无数个的值;因此，此方程组就有无数组解(于是，我就问这位准初二学生，“怎么样,会做吗,”他说:“我听得懂～应该会做吧～不过我觉得是不是可以这样做啊,”然后，他讲了他的想法:“能否把(2)式乘以2得，然后再与(1)221xmy，, 式进行对比呢,但下面好像有一点糊涂～不过看他的答案，我又好像觉得我这样做更容易些(”(原来他呆在这里，还大有想法～)因此，我马上表扬了他的想法，这位准高二学生也笑了，说道:“噢～这个方法我这么没想到呢,”其实，这位准初二学生在这里恰当地运用了一个合情推理，才使问题简洁明了～(合情推理并非是空中楼阁，而是对贮备知识的一种顿悟，这也是新课程加强的亮点()于是，我又问道:“如果同这位同学的想法一样，的确简单～不过谁能倒过来更好地解析这个猜想的合理性呢,”他们两个面面相觑，从他们的表情中看出他们没找出答案(于是我又接着设计了下列的问题链( (1)mxy，,4,【问题,】:解关于的方程组 xy,,(2)258xy，,, yxm,,4结果他们两个都解出了这题(解法大致如下所示:由(1)得， (※) 25(4)8xmx，,,(25)12,,,mx把(※)代入(2)，得，解得 ， 2当，即时，方程无解，则原方程组无解. m,250,,m5 212当，即时，方程解为 m,x,250,,m552m, 1288,m将代入(※)，得 x,y,52m,25,m 12,x,,2,52m,故当m,时，原方程组的解为 ,88,m5,y,,25,m, x看他们这么快解出这道题目，我顺手将题目作了进一步改编，【问题,】:解关于、的y axbyc，,,111abcabcabab方程组，其中、、、、、均为已知数，且与、与都,1112221122axbyc，,222, 至少有一个不等于零(结果这位准初二学生写出以下结果: cbbc,,2121x,,abba,,2121abba,,0abba,,0当时,原方程组的解为 当时,原方程组无解. 21212121,acca,2121,y,,abba,2121, (在此，我深有感触:学生的潜能是无限的～关键是看教师如何激发,授之以鱼，不如授之以渔～) 而这位准高二学生写出以下结果: ababc11111,,,当时，原方程组有惟一解; 当时，原方程组有无穷多组解; ababc22222 abc111,,当时，原方程组无解. abc222 其实,他们俩的写法都存在着一定的问题，不过这位准高二学生的写法蕴含着更深层的含义.本题是一个含字母系数的二元一次方程组,它和数字系数的方程组的解法相同，但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况(就从这方面来说，学生已自觉地注意到分类讨论，在思维能力上就已迈进了一大步～这是可喜可贺的(此时，笔者已觉得从学生角度来继续讲方程组的有关理论已经没必要了(同时，笔者也觉得通过上述的一系列变式好像把他们俩带入了一片花丛中，只是看到了一望无际的花海，始终看不到花海的“另一边”(于是笔者追问了一句:“从【问题,】到【问题,】为什么有时只有一解,有时有无数解,有时无解呢,以及【原始问题】中为什么取和就行了呢,如k,0k,1 ab,果我们取别的值，结果对的值会影响吗,” k 三、师生的观点在“拓展”中锤炼而开阔 带着这些解而未决的问题，我们又踏上了征途之旅～正如罗增儒教授所提倡的，解题分析应该有“第二过程”的暴露，即倡导解题过程的“自觉分析”，也就是要在暴露结论发现、思路探求的基础上，继续反思数学解题的思维过程，从解决问题的方法与策略上加以强化与提炼(这样才能更好地拓展师生“解题活动”的时间和空间，提升“解 题活动”的质量与功能(在此，笔者在想，我们该把学生带到“多高”的高度去看花海那一边的“风景”呢,为此，笔者好好地对上述问题链进行了一番梳理与研究，觉得应该给学生渗透、烘托以下的思想方法，让学生体验如何用思想方法去分析和解决问题，从而更好地拓展对知识本原的认识，加深对问题深层的理解，开阔学生的数学视野( 观点之一:数形结合思想 笔者首先让学生相应翻开人教版《义务教育课程实验教科书数学?八年级()》,页看第一段，书中写道:一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，43 于是也对应两条直线(从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值;从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标(此时，两个学生不约而同地说:“噢～刚才【问题,】到【问题,】的结果出现的情况我明白了～”其中那个准高二学生还补充了一句:“这不是我们高中数学《必修,》平面解析几何初步中学的直线内容吗～”准初二学生也接了一句:“怎么，高中数学中还讲这个啊,”此时，我说道:“对～函数、方程的知识在今后高中还会进一步学习，初中有关这方面的内容还要达到活用的地步(”对于上述问题中无数组解的问题，就是两条直线重合时情形～这样理解起来就太直观、易懂了～看着他们兴趣昂然、余兴未减的样子，我就趁热打铁顺势再将知识作了如下的拓展与讲述:过两相交直线AxByC，，,0AxByC，，,0和交点的直线系方程:111222 AxByCAxByC，，，，，,,()0，式中为任意常数，但不包括直线,111222 nAxByC，，,0mAxByCnAxByC()()0，，，，，,(如果取,,，方程变为，式222111222m 中m，n不同时为零的常数，方程可表示过两已知直线交点的所有直线( 讲述之后，我们便又对【原始问题】作了进一步解释，令代入方程x,,1 ba15kx，a2x,bk,，，kabk2得，即按k为变量整理，得，()0,，，,k,,,1，,,123322323 ab,只要把该等式中的相应地换成，即可很清晰地把问题化归为上述直线系问题，xy, ab,从而便也解决了【原始问题】中取别的值，结果对的值影响与不影响的问题(这k 让学生赏心悦目，觉得也挺容易接受的～这也正是新课程中需要加强的——特别是在代 数中介绍有关几何背景，也就是所谓的加强直观教学吧～ 观点之二:函数与方程思想 实际上，直线对应的就是二元一次方程与一次函数(因此，这块内容自然跟函数与方程息息相关(而函数与方程是数学中重要的概念和思想，正如新教材主编所提倡的，对于那些重要的概念和思想要螺旋上升地呈现(因此，从方程思想进一步考虑:进而【原 ba15始问题】转化为对一切实数k恒成立问题(再加上学生对一个完全平()0,，，,k3223 b1,,,0,,32方式或多个完全平方式之和恒等于零问题的启发，学生自然就想到:令即可,a5,，,0,23, ba15得出答案～从函数思想进一步考虑:记，则是一个一次函数，fk()fkk()(),,，，3223 进一步是一个零的常函数即可(所以，我们的教学一方面要不断地深化对方程和函数的理解，一方面要强化它们之间的联系，从函数角度提高对方程等内容的认识( 剖析后，笔者给出了【问题7】:(“希望杯”邀请赛试题)当b=1时，关于x的方 a程axbxx(32)(23)87,，,,,有无数多个解，则等于( ) 2A、2 B、 C、 D、不存在 ,2,3 结果，他们都觉得这道竞赛题原来也不过如此～还给出两、三种方法解释( 观点之三:特殊化的思想 其实【原始问题】中为什么取和就行了，这里也蕴含着这种将一般问题k,0k,1 特殊化，从而更好地解决原问题的思想方法，也即特殊化思想( 观点之四:向量的思想 进一步，【原始问题】还可以用高中新课程中引进的平面向量来认识，即与平面向量基本定理有密切关联，甚至可以用高等代数中有关线性代数知识来认识( 当然，除了上述思想方法之外，在上述问题链中还有转化与化归思想、分类讨论思想等都可以利用恰当的时机一一地向学生加以渗透、烘托( 四、教师的教学观在“行动”中审视而践行 ,、探究“问题链”的形成方式，落实问题链教学 在现有的新课程教材中，各知识有许多方面保留着较大余地，对形成“问题链”较为有利，只要做一位“有心人”，在教学中，对课本上的例、习题加以改编，挖掘同一领域内容之间的相互关联，知识与系统之间的相互支撑，利用学生思维习惯与生活经验，在数学核心概念、法则的内涵或外延处，形成递进或突变式的“问题链”;在“链”的魅力下，实现新课程所强调的“突出知识之间的联系与综合”的特征与理念，为学生提供一个自由发展的思维平台，更好地提高课堂单位效益( ,、把握“问题链”的思想内涵，加强思想方法教学 数学“问题链”的形成，实施中往往会于问题的解决中，揭示数学知识发生、发展的过程，同时也是其思想方法产生、同化的过程(数学思想方法是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑，它来源于现实原型又高于现实原型，往往借助现实原型使数学思想方法得以生动地表现，有利于对数学问题深入地理解和把握(但是大量的思想方法却是蕴含于表层知识之中，处于潜形态(作为教师，教学过程中应该将深层知识揭示出来，将这些深层知识由“潜形态”转变为“显形态”，让学生对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握(这样才能根据学生实际，采取适当措施去体现思想方法的教学(但是结合初中生的身心特点，数学教师应适时地利用“问题链”，用简朴，易懂的范例，不断地渗透、烘托常见的数学思想方法，在提升教师自身数学素养的同时，也为学生打开探究数学问题、掌握数学地思考本原的窗户，让窗户外的风景更好地纳入学生的视野范围( ,、发挥“问题链”的教学功能，加强分层教学 新课程提出的核心理念:“为了每一个学生的发展”是不容置疑的，体现在教学中，就是加强分层教学，即让“不同的人在数学上得到不同的发展”(但课堂上做好这件事，按现有班级授课方式，其艰难程度是不言而喻的(不过，“问题链”是一个值得一试的方法(从上述两位学生，特别是这位准初二学生来看，如果教师能通过合适的机会，搭建恰当的平台，还是可以得到长足的发展，他甚至还可以理解到高一级的基础知识，进而反过来推动对旧知识的深刻理解(因此，教师在平时的教学中，利用“问题链”强化 分层教学意识，为学生搭建好共同学习的平台的同时，发挥“问题链”的功能:递进层次分明，选择性强和灵活性大，将不同学生的大脑中已有的知识储备同时激活，充分地利用初中数学中隐含着的现代数学的一些原始生长点，能让每一个学生都有机会接触、了解，钻研自己感兴趣的数学问题，最大限度的满足每一个学生的数学需要，最大限度的发挥每一个学生的智慧潜能(而且，从面向每一个人出发，也能为有特殊才能和爱好的学生提供更多的发展机会，真正地落实好新课程提出的“不同的人在数学上得到不同的发展”等理念( ,、利用“问题链”的趋进模式，加强初高中衔接内容的研究 初中教材中有些内容特别是探究活动课的内容，是新课标的延续，也是高中内容的奠基(将这些奠基用“问题链”的形式与探究活动“串联”起来，在学生学习方法上给予必要的指导，使学生学会一些科学的学习方法，懂得知识间的来龙去脉，从而更好地拓展了学生的知识观、学习观，加深对初中知识本原的理解(当然，在此实施过程中，初中教师在关注初中本身的教学内容外，还应该要关注高中的有关数学内容，知道初中哪些内容是今后继续学习的生长点与奠基石(如:初中几何体的三视图将为高中立体几何的学习打基础，我们就应该侧重培养学生的空间观念、几何变换的能力为本;初中概率统计方面是高中进一步学习这一块内容的基础，因而在教学生列举法(包括列表、画树状图)计算简单事件发生的概率时，我们就要加强基本的训练，侧重于思想方法的渗透;初中函数与方程知识，将是高中学习其它基本初等函数与平面解析几何的坚实基础，我们就应该通过螺旋上升的方法，不失时机地加以强化(从另一个方面来看，每年的中考中总有一些以高中数学知识为背景或素材的试题出现(总之，我们要加强初高中衔接内容的研究，对衔接点做到心中有数，充分地利用“问题链”的趋近模式开展衔接教学，形成众多的“知识链”、“方法串”和“思维模块”，有利于学生的今后学习，从而也提高学生对现有知识的理解水平～ 【参考文献】 [1]教育部《基础教育课程》编辑部组织编写 中学新课标资源库?数学卷[M] 北京: 北京工业大学出版社～2004 [2]罗增儒(解题分析～应该有“第二过程”的暴露,续一,[J] 中学数学教学参考,上 半月?高中,～2008,10 [3]浙江省中小学教师培训中心编写 新课程教学设计与案例分析学科教学评价初中数 学[M] [4]义务教育课程标准实验教科书数学?八年级,上册, 北京:人民教育出版社～ 2004～ 12 [5]普通高中课程标准实验教科书?数学必修1，必修5,A版, 北京:人民教育出版社～ 2007～1 [6]中华人民共和国教育部制定 全日制义务教育数学课程标准,实验稿,,S, 北京: 北京师范大学出版社～2001 [7]徐光考 中学数学学与教[M] 中国戏剧出版社 2006 [8]徐文彬 数学“解决问题的策略”的理解、设计与教学[J] 课程•教材•教法 2009,1