二维随机变量

二维随机变量 9.二维随机变量 【教学内容】:高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》 第三章第?1二维随机变量 【教材分析】:前一章我们已经研究了一维随机变量的一些有关概念、性质和计算，本章将这些内容推广到多维的情形，主要讲授二维的随机变量，学习本节内容，要求学生掌握有关概念，并会对一些随机变量进行有关的计算。 【学情分析】: 1、知识经验分析 学生已经学习了一维随机变量的有关概念、性质和计算，掌握了随机变量的相关知识。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础知识，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练。 【教学目标】: 1、知识与技能 理解二维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求二维离散随机变量的联合分布列。 2、过程与方法 由一维随机变量的相关知识，教学中采用类比和启发式教学法，将一维连续型随机变量的概念和联合分布函数转为为二维随机变量和联合分布函数。 3、情感态度与价值观 培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质( 【教学重点、难点】: 重点:二维随机变量的概念及一些随机变量的有关计算。 难点:二维随机变量的联合分布 【教学方法】:讲授法 启发式教学法 【教学课时】:1个课时 【教学过程】: 一、 问题引入 飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标)来确定的。 检察某大学的全体学生的身体状况， 从其中随机抽取一个学生，分别以X 和Y 表示其体重和身高。 【设计意图】:让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生 40 获得良好的价值观和情感态度。 二、二维随机变量及分布函数 1、定义 定义1 如果是定义在同一个样本空间上的个随nXXX(),(),,(),,,,,,,,{},12n 机变量，则称为维随机变量或随机向量。 nXXX()((),...,()),,,,1n 定义2 设是一个随机试验它的样本空间是设和ESeXXeYYe,{},()(),,,是定义在上的随机变量由它们构成的一个向量叫作二维随机向量SXY,(,), 或二维随机变量. 3 (,),,,:定义设是二维随机变量对于任意实数二元函数XYxy FxyPXxYyPXxYy(,){()()}{,},,,,,,: 称为二维随机变量的联合分布函数或称为随机变量和的联合分布函数(,),.XYXY 2、性质 定理1 任一二维联合分布函数必具有如下四条基本性质: Fxy(,) (1)单调性:分别对或是单调不减的，即 xFxy(,)y 当xx,时有;当yy,时有。 FxyFxy(,)(,),FxyFxy(,)(,),12121212 (2)有界性:对任意的x和，有，且 0(,)1,,Fxyy FyFxyFxFxy(,)lim(,)0,(,)lim(,)0,,,,,,,,,xy,,,,,, FFxy(,)lim(,)1,，,，,,,,xy,，, (3)右连续性 对每个变量都是右连续的，即 。 FxyFxyFxyFxy(0,)(,),(,0)(,)，,，, (4)非负性 对任意的有 abcd,,, PaxbcYdFbdFadFbcFac(,)(,)(,)(,)(,)0,,,,,,,，, yx(,)(xyFxyR,，，,arctan)(arctan),,AB例1 设(,)XY的联合分布函数是 C23 其中 A ，B ，C 为常数 ， ? 确定A ，B ，C 的值; ? 求PXY{2,03},,,,,。 解:由分布函数的特征性质知 ,,,,(,((，,，,,,，，,,,，,，,ABC0,0,0,FAB)1))1,C 2222 41 ,,(( FABC(,)))0,,,，,,,，,22 ,,(( FAB(,)))0,，,,,,，,,C22 ,,B,,0, C,,0, 22 yx,,,11(,)(xy,,, ,，，, FxyRarctan)(arctan),,BCA,.22,2,3222 ()()()()? PXY{2,03},,,,,,，,,，,,，FFFF,3,02,32,0 ,,,,,,,11,，，,，，()()()(0)22,,2224222 111,,,,,,,,，，，，，,()()()(0).22242424216,, 【设计意图】:通过这个例子，让学生透彻的理解联合分布函数的概念和性质。 三、联合分布律 1、定义4 如果二维随机变量(,)xy只取有限个或可列个数对，则称为(,)XY(,)XYij二维离散随机变量，称 pPXxYyij,,,,,,,(,),,1,2, ijij 为的联合分布律。还可以用书135页的表格形式记联合分布列。 (,)XY 2、联合分布列的基本性质: ，,，, p,1.p,0;(1)非负性 (2)正则性 ,,ijij,,ij11 例1从1，2，3中任取一数记为，再从1，…，中任取一数记为，求的(,)XYXXY联合分布列及 F(2,2) 解:确定随机变量的取值: (({)()pPXiYjXiYjPYjXiXi,,,,,,,,,,,,)}{}() PP:ij 11,,,iji=(1,2,3,)i3 42 X 1 2 3 Y 1111 369 2 11 0 69 3 1 00 9 p FxyPXxYy,{,},,,,，，,,ijy,,xxyij 2p,,，,,,,，,,FPXYPXYPXYPXY2,2=1,=1(1,2)+(2,1)(2,2)=,,，，，，ij,,22ij3 【设计意图】:给出二维离散型随机变量的联合分布律的计算方法。 四、思考与提问: 一维随机变量和二维随机变量的分布函数有什么区别, 五、内容小结 1、 (,)XY的联合分布函数FxyPXxYy(,){,},,, , PxXxyYyFxyFxyFxyFxy{}(,)(,)(,)(,),,,,,,，,122111122122 2、二维离散型随机变量的联合分布律pPXxYyij,,,,,,,(,),,1,2, ijij {p(,)}xy,,,,其分布函数和联合分布律的关系为FPXxYy, ,ijy,,,xxyij六、课外作业: P84: 1 ， 2 七、板书设计 二维随机变量 定义1 一、问题引入 XXX(),(),,(),,,,,,如果是定义12n飞机的重心在空中的位置是由三个随 机变量(三个坐标)来确定的。 检察某大学n在同一个样本空间,,{},上的个随机 的全体学生的身体状况， 从其中随机抽取 nXXX()((),...,()),,,,变量，则称为1n一个学生，分别以X 和Y 表示其体重和身 维随机变量或随机向量。 高。 二、二维随机变量及分布函数 1、定义 43 定义2 设是一个随机试验它的样本空间是设和ESeXXeYYe,{},()(),,,yx(,)(xyFxyR,，，,arctan)(arctan),,ABC23是定义在上的随机变量由它们构成的一个向量叫作二维随机向量SXY,(,), 或二维随机变量. 其中 A ，B ，C 为常数 ， ? 确定A ， 3 (,),定义设是二维随机变量XYB ，C 的值; ? 求对于任意实数二元函数xy,,: 。 PXY{2,03},,,,,FxyPXxYy(,){()()},,,: ,,,PXxYy{,}三、联合分布律 称为二维随机变量(,)XY 1、定义4 如果二维随机变量只(,)XY 的联合分布函数或称为, 取有限个或可列个数对，则称(,)xy随机变量和的联合分布函数XY.ij2、性质 为二维离散随机变量，称 (,)XY 定理1 任一二维联合分布函数Fxy(,) pPXxYyij,,,,,,,(,),,1,2,ijij必具有如下四条基本性质: (1)单调性:分别对或是单为的联合分布律。还可以用书135xFxy(,)(,)XYy 调不减的，即 页的表格形式记联合分布列。 2、联合分布列的基本性质: 当xx,时有;当FxyFxy(,)(,),1212 p,0; 非负性 (2)正则性 ijyy,时有FxyFxy(,)(,),。 1212，,，, p,1. (2)有界性:对任意的x和，有 y,,ij,,ij11 ，且 0(,)1,,Fxy例2从1，2，3中任取一数记为，X FyFxyFxFxy(,)lim(,)0,(,)lim(,)0,,,,,,,,,再从1，…，中任取一数记为，求(,)XYxy,,,,,,XYFFxy(,)lim(,)1,，,，,,,xy,，,,的联合分布列及。F(2,2) (3)右连续性 对每个变量都是右连续的， 即 FxyFxyFxyFxy(0,)(,),(,0)(,)，,，, 。 abcd,,, (4)非负性 对任意的有 PaxbcYdFbdFadFbcFac(,)(,)(,)(,)(,)0,,,,,,,，, (,)XY例1 设的联合分布函数是 44 45