平面向量中三点共线定理的扩展及其应用

平面向量中三点共线定理的扩展及其应用 广东省云浮市邓发纪念中学 杨再华 一、问题的提出及证明。 1、向量三点共线定理:在平面中A、B、C三点共线的充要条件是: (O为平面内任意一点)，其中。 xy，,1OAxOByOC,，. 、时分别有什么结证,并给予证明。 那么xy，,1xy，,1 结论扩展如下:1、如果O为平面内直线BC外任意一点，则 当时 A与O点在直线BC同侧，时， xy，,1xy，,1 A与O点在直线BC的异侧，证明如下: 设 OAxOByOC,， 1且 A与B、C不共线，延长OA与直线BC交于A点 11设 (?0、?1)A与B、C共线 OAOA,,,, 则 存在两个不全为零的实数m、n 1 且 OAmOBnOC,，mn，,1 则 ,OAmOBnOC,， mn ,,，OAOBOC,, mn、 ？,,yx,, mn，1 xy，,,,, 1(1) 则 则 xy，,1,,1A C 1 111 ,,OAOAOAB ,A ？A与O点在直线BC的同侧(如图[1]) O 图[1] 11(2),则，此时与反向 ，,,,,,0OAOAxy01, A与O在直线BC的同侧(如图[2]) 1B C A 1 O 图[2] A 1 (3)，则 xy，,1o,,,1A 111C 此时 ,,OAOAOAB ,1A A与O在直线BC的异侧(如图[3]) ？1 O 图[3] B A 2、如图[4]过O作直线平行AB， ? ? 延长BO、AO、将AB的O侧区 ? ? 域划分为6个部分，并设, OPxOAyOB,，O ? ? 则点P落在各区域时，、满足的条件是: yx图[4] x,0x,0x,0,,, ,,,(?)区: (?)区: (?)区: y,0y,0y,0,,, ,,,01,，,xy01,，,xy01,，,xy,,, x,0x,0,,x,0,,,(?)区: (?)区: (?)区: y,0y,0,,,y,0,,,,,，,11xy,,，,10xy,,(证明略) 二、用扩展定理解高考题。 (1)[2006年湖南(文)10] 如图[5] ，点P在由射线,线段及ABOMABOMOB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)，且，则实数对(、)OPxOAyOB,，yx 可以是……( ) 13221317 A.(，) B.(，) C.(，) D.(，) ,,,44345534 解:根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理，则 ，且，则选C Oxy,，,1x,0 AB (2)[2006年湖南(理)15] 如图[5]，点P在由射线，线段及OMABOMOB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且，则的取值OPxOAyOB,，x 1范围是 。当时，的取值范围是 。 yx,,2 解:根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有: 1113 ，且当，有:，即 Oxy,，,1x,,x,0Oyy,,，,,,,12222 13B 为:，(，)x,0P 22M 图[5] A O 2 3