利率期限结构

利率期限结构 利率期限结构(Term Structure of Interest Rates) 林 海 (厦门大学金融系，361005) 2002年09月06日 内容提要:本文主要对目前利率期限结构的研究状况进行一个评述性的研究，并在此基础上对中国的利率期限结构进行估计，为中国利率期限结构的模型研究以及中国衍生证券的定价作一些基础性研究。内容总共分为五个部分:第一个部分是利率的一般概述，简单介绍一些利率的基本知识;第二部分是利率的估计，对利率期限结构的估计进行描述;第三部分则主要介绍一些利率期限结构模型并推导他们的求解过程;第四部分则是对国内外相关文献进行一个比较详细的评述;第五部分则是根据中国的银行同业债券市场对中国的利率期限结构进行估计。 一、利率的一般概述 利率是因为出让货币资金在一定时期内的使用权而给货币资金所有者的报酬。在金融工程领域，它被广泛地应用于衍生产品(fixed-income security)的定价以及分析中。因为在风险中性定价(risk-neutral pricing)原理中，标的资产的收益率的漂移率必须根据无风险利率进行计算。所以，对利率的分析和估计是金融工程领域一个十分基本的问题。一个最基本的一期利率的等式就是: ， P,P(1，r)t，1t1t 对于固定收益证券而言，一般期末现金流量是固定的，因此更为一般化的等式是 Pt1， P,t1，r1t 将这个等式扩展到多期，就有两种可能性: 一、只有在多期(用n表示)的期末获得一个固定的现金流量——零息票债券 二、在每一期都能获得一个的现金流量——息票债券。 所谓的利率期限结构就是指在某个时点不同时期的零息票债券的利率的集合。因为，在零息票债券条件下，债券的到期收益率和利率相等，所以利率期限结构也可以成为到期收益率的集合，或者是到期收益率曲线(yield curve)。假设零息票债券到期获得的现金流量都为1，则期限为n的零息票债券的价格可以表示为: 1P, ntn(1，r)nt 以连续复利收益率表示则为: ,rnt p,e nt 1 比如，在某个时点t, 市场有的零息票债券的市场价格，我们就可以通过P,P,...,P1t2tnt ，这就是一个时点t的利率期限结构。所以，利率期限结构可以上式分别计算出r,r,...r1t2tnt 直接从零息票债券价格中计算出来。但在我国债券市场上，不存在零息票债券，所以这种计算方法在我国债券市场上无法使用。 1对息票债券而言，则可以有好几种表示方法: 第一种方法是把息票债券看作是一个不同期限零息票债券的组合，这样就可以利用零息票债券的利率期限结构进行计算。 n,1CC，1in，如果债券息票利率保持不变，即C不变，则可以简化为: P,，,ntin(1，r)(1，r)i,1itnt n,1CC，1。 P,，,ntin(1，r)(1，r)i,1itnt 第二种方法是利用到期收益率(yield to maturity)的概念。所谓到期收益率，就是指使债券未来的现金流量的贴现值等于当前债券价格的贴现率。 C1(1,)nnC111，y(1，y)cntcnt== P,，，,ntnin1(1，y)(1，y)(1，y),1icntcntcnt1,1，ycnt 1C(1,)n1(1，y)cnt ，ny(1，y)cntcnt nn如果则 P,1y*(1，y),C((1，y),1)，yntcntcntcntcnt 所以， y,Ccnt C1如果，则，所以。 yn,,,0,cntnyP(1，)n,cnt 从上面分析可以看出对息票债券而言，其到期收益率不等于利率水平。 所以，利率的期限结构等于零息债券的到期收益率结构，但不等于息票债券的到期收益率结构，因此，从中国的债券市场分析，我们不能直接用息票债券的到期收益率来估计利率期限结构，必须寻找其它的方法。 对息票债券一个很重要的概念是久期(duration)，是对息票债券期限的一种加权平均: ninC，,inyy(1，)(1，)i,1cntcnt， D,cntPnt 1 当然，零息债券也可以用这几种方法表示。 2 n,1,(1，y)cnt如果，则。 P,1D,ntcnt,11,(1，y)cnt y1，c,t如果，。 Dn,,,c,tyc,t 此外，我们还可以发现: dP1，yntcnt， D,,*cntd(1，y)Pcntcnt DdP1cntnt。 ,,*1，yd(1，y)Pcntcntcnt 用久期的概念可以将息票债券和零息票债券的期限近似的结合起来。但是这个方法也有缺陷:首先它假定所有期限的收益率同时移动相同数量，就是指期限结构的平行移动;而且它是一阶估计，没有考虑到凸性问题。 第三种方法就是利用远期利率(forward rate)的概念。 CCC，1P,，，...， nt1，r(1，r)(1，r)(1，r)(1，r)...(1，r)1,t1,t1,t，11,t1,t，11,t，n,1 关于利率形成理论，主要有三种假设:一种是流动性偏好(liquidity preference)理论。认为，投资者由于流动性对短期债券有偏好，因此为了诱使投资者购买长期债券，必须提供更高的利率，二者的差额就是流动性报酬(liquidity premium)。第二种是市场分割理论(market segmentation)。认为在某个分割的市场上，投资者由于自身头寸的需要，可能对某个期限的债券的需要大于其它债券，因此这个债券的价格就会上升，收益率下降。第三种是期望理论(Expectation Hypothesis)，认为当前利率代表了对未来利率变化的一种变化。因为在目前的市场上，投资者的数量众多，市场之间的联系日益紧密，所以市场分割假设就逐渐被淘汰，现在主要是将流动性偏好和市场期望假设结合起来，以便能够更好的解释利率的变化。 其中，最主要的假设就是期望假设。可以分为纯粹期望假设(pure expectation hypothesis)和一般期望假设(general expectation hypothesis)。 纯粹期望假设: (1)在某一个时期，持有短期债券和长期债券的期望收益率是一样的。对一个期限为1期的零息债券而言，其收益率为;对期限为n期的零息债券而言，其1期的收益率为 1，r1t nP(1，r)n,1,t，1nt,。所以， n,1P(1，r)n,tn,1,t，1 n(1，r)n,(n,1)nt。 1，r,E(),(1，r)E(1，r)1ttnttn,1,t，1n,1(1，r)n,1,t，1 (2)长期债券在n个时期中的收益率等于每个一期债券在n期中的复合收益率。 nn,1(1，r),E((1，r)(1，r)(1，r)....(1，r))=(1，r)E((1，r))， ntt1,t1,t，11,t，21,t，n,11ttn,1,t，1 3 n(1，r)nt， 但是根据Jansen’s inequality, 1，r,1tn,1E((1，r))tn,1,t，1 11，所以两个期望假设互相矛盾，这里面有个凸性的,E()tn,1n,1，rE((1，r))(1)n,1,t，1tn,1,t，1 问题。 (3)远期利率是未来即期利率的期望。 n(1，r)nt 1，f,,E(1，r)n,1,tt1,t，n,1n,1(1，r)n,1,t 由于存在这个问题，所以纯粹期望假设本身就存在着缺陷。为了解决这个问题，引入了期限溢酬(term premium),这个问题就可以解决了。事实上PEH是GEH的一个特例。而且，随着时间的推移，期限溢酬会不断的发生变化。这就需要新的理论和模型进行解释和分析。 二、利率的估计 要研究利率期限结构以及相关的模型理论，对利率期限结构的估计是第一部的工作。对那些零息票债券而言，它的到期收益率就是这个时期的利率水平，因此可以直接从零息债券的价格以及期限中求出利率的期限结构。但是对于息票债券而言，它就没有办法直接求出，只能通过其它方法进行估计。 如果息票债券的付息日相同或者相近，我们就可以使用息票剥离法(bootstrap method)求出 2利率的期限结构。但是如果每个债券的付息日存在着很大的差异，那么息票剥离法的应用就会受到很大的限制。 目前，用于从息票债券中估计期限结构的方法主要的是用仿样估计(spline approximation)。其研究方法具体如下: n3P,100,(m)，C,(m)，是期限为m的单位零息债券的贴现值，是债券的m,(m),00i,0i 到期日，是利息的支付日。是利息额。 mCi 如果假设: k4，， a,1,f(0),0,(m),a，af(m),00jjj,1j knk P,100(1，af(m))，C(1，af(m)),,,0jjjji,1,,01jij kn =100，C(n，1)+ a(100f(m)，Cf(m)),,0jjji,,10ji 因此，如果我们令: 2 具体参见Hull(2001). 3 也就是在m后，可以获得的1元钱相当于现在的多少钱。 4 这样就可以满足,(0),1。 4 n ，，就可以得到: x,100f(m)，Cf(m)y,P,100,C(n，1),0jjji,0i k y,ax,jj,1j k 在回归模型中， y,ax，,,jjt,1j 所以在某个时点t,我们就可以通过对以及k的假设求出，通过就可以求出任何f(m)aajjj时期的折现值。因此，研究的重点在于对函数以及分割区间k的选取。对k的选取，一般在 k=2,3或者4的时候就可以获得比较好的效果，此外还可以根据，可观察到的债券价格s个数的平方根原则进行选取。(此段语病较多,请改正) j(1)对函数，一个最简单的就是一个多项式:，这个函数由于随着m的上升，f(m),mj 会迅速上升，所以会导致对远期贴现值的过低。 (2)另外一个采用的方式是仿样估计(spline approximation): 1,,2,,,mm,0md2,,,,2d2,, f(m),,11,,,,d,dmm22n,,,,2 , , , ,0,0,m,dj,1,2(m,d),j,1f(m),,d,m,d,j,2...k,1 ,jj,1j2(d,d)jj,1,2,(m,d)j1/2(d,d)，(m,d),,d,m,d,jj,1jjj，12(d,d)j，1j, ,1/2(d,d),d,m,mj，1j,1j，1n, ,,0,0md,,k,1,,2,(md),. f(m),,k,1k,,,dmmk,1n,,,2(md)nk,1,, d,m，,(m,m).m is the greatest integer in , and [j,1]n/k,1jll，1ll 。这样就可以保证在不同的时间区域内有相同的债券数量。 ,,(j,1)n/(k,1),ml (3)B-spline approximation. 由Powell (1981)提出 : 5 spsp，，，，11，，,,p1p ,,gt(),max(,)tT,0,,,,,,sj(),TT,,,,,,jsjiis,,ji，， 但是由于在实际运用过程当中，还有很多争论，所以运用得也不多。 此外，还有指数仿样估计(exponential spline approximation)等非线性模型，但是也不一定表现得比仿样估计方法好。所以，本文对中国债券市场的研究方法主要采用第2种方法。 三、利率期限结构模型 因为利率期限结构模型主要针对零息债券(zero-coupon bond)提出，因此，在下面的分析中如果没有特别指出，都是指零息债券。 根据利率期限结构模型的推倒过程，可以分为两种类型:第一种类型就是均衡模型(Equilibrium Model)，根据市场的均衡条件求出利率所必须遵循的一个过程，在这些模型中，相关的经济变量是输入变量，利率水平是输出变量;这类模型有Viesicek Model, CIR model 等;另一种类型是无套利模型(No arbitrage Model)，通过相关债券等资产之间必须满足的无套利条件进行分析，此是利率水平是一个输入变量，相关金融工具的价格是输出变量。这类模型有Hull and White Model, HJM model, BGM model等。 在连续复利条件下，到期收益率为 lnB(t,T)，，表示时刻t到期日为T的零B(t,T)exp((T,t)r(t,T)),1r(t,T),,B(t,T)T,t 息债券价格。 远期利率 B(t,T)因为:B(t,T),B(t,T，,),0， B(t,T，), B(t,T),exp(,R(t,T,T，,))， B(t,T，), ,lnB(t,T),lnB(t,T，),R(t,T,T，),, , ,BtTln(,)ftT,RtTT，,,， ,(,)(,,)lim,T,,0 T此外，。 r(t),f(t,t)，B(t,T),exp(,f(t,u)du),t 5(一)Vasicek Model 利率的变化过程遵从: ，都是常数。 dr(t),a(b,r(t))dt，,dza,b,, 计算过程: atatatat，所以 d(er(t)),edr(t)，r(t)de,e(abdt，,dz) 5 Campbell el.(1990) 以及 Dai and Singleton(2002)使用了仿射收益率模型(affine yield model)作为利率期限模型的一般化。其中使用了定价核(也就是随即贴现因子)的概念。但这种方法显得很不直观，所以本文则直接对各种主要的具体利率期限模型做一个运算分析。 6 ttatauau er(t),r(0)，abedu，,edz(u),,00 tt,atauau， r(t),e(r(0)，abedu，,edz(u)),,00 所以我们可以得出: tatauatatatat,,,, E(r(t)),e(r(0)，abedu),e(r(0)，be,b),r(0)e，b(1,e),0 ,2att1e,2,2at22au2(r(t))eedu。 ,,,,,,02a TTTtt,,atauatau r(t)dt,e(r(0)，abedu)dt，e,edz(u)dt,,,,,00000 TTTt,,,atauatat e(r(0)，abedu)dt,r(0)edt，bT,bedt,,,,0000 ,aTe,1=， ,r,b，bT((0))*a TtTTTT,,,atauatauauat e,edz(u)dt,e,edtdz(u),,edtdz(u),,,,,,0000uu au,aTTe1,=， ,dz(u),,0a TTT= B(0,T),Eexp(,r(t)dt)exp(E(,r(t)dt)，1/2var(r(t)dt),,,000 ,aTTe,1 E(,r(t)dt),(,(r(0),b)*,bT),0a 2()2au,aTau,aTTTTTe,2e，1,222au,aTau,aT varr(t)dt,du,(edu,2edu，T),22,,,,0000aa2,2aT,aT21,e1,e,,,2aT,aT= (,2，T),(1,e,4，4e，2aT)23a2aa2a 2,aT1,e,= (,，T)22aa ,aT,aT21,e1,e,,2aT,aT= B(0,T),exp(,r(0)*，b(，T)，(,3,e，4e，2aT))3aa4a 22,,2exp(,r(0)*C(0,T)，(C(0,T)，T)(b,),C(0,T)),D(0,T)exp(,C(0,T)r(0))22a4a ,aTe1,CT, (0,),a 7 2,222。 D(0,T),exp(C(0,T)，T)(b,/2a),C(0,T)),4a 这个等式可以扩展到任何时刻t。 Hull and White Model, CIR model, HJM Model: df(t,T),,(t,T)dt，,(t,T)dz(t) T, B(t,T),exp(,f(t,u)du),t TT= d,f(t,u)du,f(t,t)dt,df(t,u)du,,tt T f(t,t)dt,(,(t,u)dt，,(t,u)dz(t))du,,t TT** f(t,t)dt,,(t,u)dudt,,(t,u)dudz(t),r(t)dt,,(t,T)dt,,(t,T)dz(t),,tt TTT12dB(t,T),d(exp(,f(t,u)du)),B(t,T)d(,f(t,u)du)，B(t,T)(d(,,f(t,u)du)),,,ttt2 **2*= B(t,T)(r(t),,(t,T)，1/2,(t,T))dt,,(t,T)B(t,T)dz(t) 因此，风险价格为 **2,,,，1/2~,，如果设，就可以转化为风险中性定价: dz(t),,,(t)dt，dz(t)(t),*, *~。因此，在风险中性世界中， dB(t,T),B(t,T)r(t)dt,,B(t,T)dz(t) **2，我们可以得到: ,(t,T)，1/2,(t,T),0 T，因此整个模型估计的参数只有一个，即波动性，而且这个波,(t,T),,(t,T),(t,u)du,t 动性不会随着测度的变化而变化。 BGM Model 是HJM 模型的一个特例。对这些模型详细的解释可以参阅Shreve(1996)。 四、文献综述: (一)利率形成假设; 利率形成假设主要有市场分割假设、市场预期假设以及流动性假设。其中，市场期望假设是最基本的假设。许多学者都对此进行了理论和实证上的研究和探讨。 Cargill(1975) 利用英国的资料对利率期限结构的预期假设进行了实证分析并拒绝了市场预期假设。在它的文章中，使用了两个市场预期的方法: 1、FR(T，t,t),FR(T，t,t，1),....,FR(T，t,T，t) 是一个鞅过程。FR(T，t,t) 表示时刻t，T+t时刻的远期利率(?)。HOW LONG? 瞬时? Then E(FR(T，t，1),FR(T，t)),0,?时点? cov((FR(T，t,t，1),FR(T，t,t)),(FR(T，t,t),FR(T，t,t,1))),0, 8 cov((FR(T，t,t，1),FR(T，t,t)),(FR(T，t,1,t),FR(T，t,1,t,1))),0 ,62、 ，表示时刻t，n期债券的收益率。 R(n,t)R(n,t),,R(j,t,j),j,n,jj0, 结论:流动性溢酬的不断变动是市场预期假设无法得到验证的主要原因。 Lee(1989)利用GMM 方法对市场预期假设的非线性关系进行了分析，得出结论认为随时间变化的奉献(?)溢酬和异方差对分析战后美国的债券市场十分重要。 ,t模型:,约束条件: E,U(C),t0t,0 BBtntn1，1， PC，，,Pm，B，Btttttnt1n1(1)，i，itnt1 是时刻t的价格水平, 时刻t购买的j期无风险债券的数量, 指时刻t到期的jPBBjt，jjtt 期债券的数量。(支出<收入) 所以最优方程为 ,BBt1t1ntn，，，可以得出 EUC，Pm，B，B,PC,,,((),()),0tttt1tntttn，i，i1(1)t0,1tnt ,1t，1, ,E()t,1，i1tt ,1ntn，, ,E()tn,(1，i)ntt if n=2, we can get ,,,,1，1，2，1，2tttt,,,, ,E(()),E()E(E)，cov，1ttttt2,,,,(1，i)2，1，1ttttt 11Ecov= ，tt1i1i，，11，1tt 根据市场预期假设, 111,, *2ˆ(1，i)1，i，i12t1t1t，1 1为预期远期利率. 流动性溢酬为: ˆ1，i1t，1 6 这种方法有三个限定条件:一个是即期短期利率是一个协方差平稳过程;二是信息指包含历史利率;三是预期是线性的。 9 ˆ. i,E(i)1t，1t1t，1 使用Woodward(1983)的风险溢酬概念: 11, S,,E()tˆ，i，i111t，11t，1 S . cov,t1，i1t 因为条件协方差随着时间变动，化的风险溢酬也会随时间变动。它是一个非线性关系。 在一个一般的相对风险厌恶系数为常数的值数效用函数条件下: 1C1，i,,t，11t ,E[()],E(V)tt1t，1,,C1，t1t nt1C(1，i)n,,t，nnt (),E[(),E(V)ttnt，n,,C1，tnt 所以非线性的计量分析方法为: ，1Ci，，,,，t11t,,()1,,,，1Ct1t,,,, (,)uhxbnt，，tntn0，(1)Ci,,n,,，tnnt,,()1,,,，1C，，tnt 而对数线性模型为: n , E(r,r|,),,,0,nt，n1t，itni,1 j,代表 j期的真实利率。 r,ln(1，i),ln(1，,)jt，jjtjt 代表一个流动性溢酬，为一个不变常数。 ,n 实证结论支持了非线性模型，拒绝了线性模型。非线性模型中还在考虑异方差基础上进行了分析，发现方差也是一个重要因素。 评论:对利率市场的均衡进行了一个详细的分析，综合考虑了效用函数、流动性溢酬以及异方差性，使用的计量方法也具有普遍性。但它只能用于债券，不能用于股票，因为股票的期末价格是不固定的。 Culbertson(1957)对流动性溢酬等影响利率期限结构的因素进行了分析，发现市场预期假设不能解释美国战后资料。 Wang and Zhang(1997)则对利率的单位根问题进行了实证分析，以对利率市场的有效性进行验证。根据他们的检验方法以及检验结果，单位根过程可以被显著地拒绝，表明利率市场存在着均值回归过程。 估计的模型是: , 单位根过程就是检验. 将截距从式子中去掉，我们r,,，,r，,i,1,2,...N,,1t,it,1,it,i 10 就可以得到: ˆ r,,r，,t,it,1,it,i 1ˆ, r,r,rr,r,,t,it,iiit,iT 22但是文章有个假设条件:, E(,),0,E(,),,titi,, 但实际上不同到期日资料的方差可能不相等。这是一个不足之处。 Lai(1997)对单位根问题进行了一个非常好的理论分析和实证检验。因为单位根只是检验I(1) 或者 I(0)过程, 它没有检验I(d) d<1，因此在实证中假设条件太强。所以需要一个新的方法来验证I(d), 01。 26 Journal of Finance, vol.30, 761-771. 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