利率期限结构

不同形式的市场预期假设在常数的风险以酬条件下可以同时成立，从而就解决了CIR(1981)所提出的不同形式的市场预期假设在风险以酬为0时互相矛盾的问题。 这个模型在利率波动不大是可以比较好的拟合数据，但是如果利率的波动率很大，则模型表现很差。其主要原因是它是一阶泰勒估计，忽略了二阶问题。 11 Bierwag(1977)对不同利率期限结构随机变动的久期计算方法以及保值问题进行了分析。 Campbell and Shiller(1991) 分析了Yield spread对将来利率变动的预期能力并发现了一些与市场预期假设不符的现象。一个大的Yield spread预期将来利率的上升，这与预期假设一致。但是同时，大的Yield spread也预期长期债券收益率相对短期债券收益率的下降，这与市场预期不一致。提出结论认为发生这种现象的原因是因为流动性溢酬随时间的变化。 Mankiw and Miron(1986)通过将历史资料划分成不同的区域(regime)对利率期限结构的市场预期假设进行了实证检验。通过划分成不同的时间区域，中央银行的利率政策就可以进行分析。实证研究结果表明在1915年以前，市场预期假设在某种程度上成立，1915年以后，市场预期假设不在成立，短期利率服从随机游走过程。 1模型:, 指两期债券的收益率; 指一起债券的收益率。 RrR,,，(r，Er)tttt，1tt2 . Er,r,,2,，2(R,r)t，1ttt ,. ,,,2,,,,2r,r,,，,(R,r)，vt，1tttt，1 从1915, 接近于0，显著的不等于2。而且，资料还表明随着时间变化。 ,, 在这种情况下，即使，市场预期假设也能被拒绝。 ,,0 , ,r,,，vE,r,,,0,cont.t，1t，1tt，1 但是，这篇文章使用的资料仅仅包括三个月以及六个月资料，没有使用远期资料，所以所得的结论受到限制。 Santomero(1975)利用欧元资料对利率期限结构的错误纠正(error-learning)假设进行了分析和验证。 1/n 1，R,[(1，R)(1，r)(1，r)...(1，r)]，，，,nt1tt11tt21ttn11t 个人会根据预期的错误不断的调整他们对将来利率的预期。 . r,r,F(R,r)t，n1tt，n1t,11tt1t,1 Bekaert, Hodrick and Marshall(1997)对市场预期假设回归模型中的小样本偏误问题进行了分析，表明，小样本时间可以导致估计的偏误。它主要分析了Campbell and Shiller(1991)的计量分析方法。经过偏误调整之后，市场预期假设可以被拒绝。 Froot(1989)根据市场调查资料对市场预期假设在估计将来利率的有效性进行了实证分析。实证分析结果表明市场预期假设在短期内无效，在长期内具有一定的估计能力。实证结果还表明预期利率对短期利率反应不足，对远期利率反应则过度。通过将预测误差分解成流动性溢酬以及一个估计误差，结果表明随时间变化的流动性溢酬是造成短期偏误的最主要原因，对长期而言，反应不足和过度反应也很重要。 评论:但是，它根据的是市场的调查资料，而不是交易资料，所以由于样本的问题可能存在系统性偏误。 Cox, Ingersoll and Ross(1981)通过对不同形式的市场预期假设的分析，发现它们之间在风险溢酬为,的条件下互相矛盾。主要原因是 P,E(X),1/P,E(1/X),ln(P),E(lnX)不能同时成立，除非X是确定的。 12 Campbell and Shiller(1984)通过一个久期的概念对利率进行了一个线性关系的分析，发现长期利率对短期利率存在着反应不足的现象。 总结: 1、 在三个假设中，市场分割假设逐渐被人们所遗忘，因为随着市场的发展，技术的进步， 市场交易规模的扩大，市场已经逐渐形成一个统一的整体; 2、 市场预期假设如果没有同流动性假设相结合，都会被市场资料所拒绝。而且流动性溢酬 呈现出不断变化的特征。 3、 利率市场是一个均值回归的市场，不满足单位根过程的假设条件，这就为利率期限结构 模型奠定了基础; (二)利率期限结构的估计 由于市场上存在的债券种类有限(特别对债券市场不发达国家而言)，如何根据有效的债券价格资料对整个利率期限结构进行估计，是进行债券研究的一个重要内容。由于美国债券市场比较发达，而且债券的种类也比较齐全，所以所使用的方法也相对比较简单，如息票剥离法(Bootstrap method)。但是对不规则的债券市场资料而言，就必须使用一些新的估计方法。 McCulloch(1971)是估计利率期限结构的经典文献。首次提出了通过对贴现函数进行估计还对利率期限结构进行估计的方法。 模型: m0，是期限为m的单位零息债券的贴现值，是债券的m,(m)P,100,(m)，c,(m)dm00,0 到期日，是利息额。 c 如果假设: k7，， a,1,f(0),0,(m),a，af(m),00jjj,1j knk P,100(1，af(m))，c(1，af(m)),,,0jjjji,1,,01jij km0=+ 100，cma(100f(m)，cf(m)dm),00jjj,0,1j 因此，如果我们令: m0，，就可以得到: y,P,100,cmx,100f(m)，cf(m)dm00jjj,0 k y,ax,jj,1j k 在回归模型中， y,ax，,,jjt,1j 所以在某个时点t,我们就可以通过对以及k的假设求出，通过就可以求出任何f(m)aajjj时期的折现值。 评论:它不是一个套利分析或者说均衡分析，只是一个简单的假设估计，所以有可能成为资 7 这样就可以满足,(0),1。 13 料挖掘(data snooping )。 Carleton and Cooper(1976) 分析了收益率曲线作为利率期限结构替代所可能存在的缺陷，并提出直接的估计方法。它是一个离散的估计形式。而且要求大多数的付息日相同或接近。 估计模型为: The estimation model: . P,bX，bX，...，bX，,0,j11,j22,j1616,jj 所以我们只能估计折现值 , 然后估计对应的远期利率。 b,b,...b1216 由于它要求付息日接近，所以这种方法不适用于中国。 Lin and Yeh(2001)则使用了B-Splien估计方法对台湾的利率期限结构进行了估计。并在此基础上对期限结构模型进行了实证分析。 估计方法: Ni , B,d(,)P(,),iimm,1m 获得现金流, 为折现价值 d(,)tP(,)immm k 如果假设, P(,),bg(,),jj,1j Nki 。 B,b(d(,)g(,)),,ijmm,,11jm spsp，，1，，11pp8, g,(),[()][max(,,,,0)],,si,,,isjsji,,,,ji s=1,2,…p+m. m是整个估计时期中子期间的个数，总共有p+m个函数以及2p+m+1个节点。 此外，还必须满足条件 。 P(0),1 9但是这种方法在使用过程中还存在很多的不确定性以及很多函数具体形式的争论。 总结:针对中国具体国情，可能采取的函数形式有: j1、最简单的就是一个多项式:，这个函数由于随着m的上升，会迅速上升，f(m),mj 所以会导致对远期贴现值的过低。 2、另外一个采用的方式是McCulloch(1971)仿样估计(spline approximation)。 3、B-spline 估计。 (三)利率期限结构模型研究 对利率期限结构模型的研究，主要有两种类型:均衡模型和无套利模型。 spsp，，1，，11pp8 原文为，疑误。 g,(),[()][max(,,,,0)],,sj,,,isjsji,,,,ji9 笔者同这篇文章的作者联系，他们证实了这一点。 14 Brenner, Harjes and Kroner(1996)提出了一个一般化的利率期限结构模型。在这个模型中，波动率不仅与利率水平相关，还和信息(information shock)相关。 模型: 利率水平模型: ,, 代表利率水平，是参数。反映均值回归的速度。r,,,,,,,dr,(,，,r)dt，,rdW, CIR model:; ,,1/2 RB model (Rendleman and Barter);; ,,0,,,1 Vasicek’s Model: ; ,,0 在这些模型中，参数都是常数，因此无法反应相关系数变动的可能性。Ho and Lee(1986) 假设是时间t的一个函数，并假定 。 Hull and White(1990) 则考虑均值回归过,,0,,,0, 程并假定. 但这些都是从条件均值的角度出发，没有考虑条件波动率可能的变化。 ,,0 , r,r,,，,r，,tt,1t,1t 2222,, E(,|I),0,E(,|I),,,,rtt,tt,ttt,111 222条件方差的变动可以由或者的变动引起。如果假定服从, ,r,,,a，a,，b,tt,1tttt01,11,1它就可以考虑信息的因素。考虑到杠杆效应， 2222, . ,,a，a,，a,，b,,,min(,,0)ttttt,1t,101,12,11,1 在这篇文献中，考虑的是另外一个模型: 22222, ,,a，a,，a,，b,，brttttt01,12,11,12,1 2,评论:如果 是变化的，则条件方差和之间的关系是非线性的。但是在替代模型中，,rtt,1 它是线性的。 Marsh and Rosenfeld(1982)则对三个利率模型进行了分析，发现利率期限结构模型的均值回归系数都无法显著的与0区别，而波动率则十分显著。 缺陷:假设所有参数都是常数。 Glodstein(2000)则将远期利率作为一个随机域进行分析，并考虑到不同的到期日的创新之间的相关关系。在这个模型中，整个收益率曲线是一个输入变量，而不仅仅是短期利率。 模型: TNdP(s),iNiTi,r(s)ds,,dZ(s),{dZ(s)} 是独立的布朗运动变量。 ,,1QiQTP(s),1i ,TT,,因为,利用Ito引理， f(s)logP(s),T 15 NN,TiTiii df(s),,(s),(s)ds，,(s)dZ(s),,TTQ,1,1ii ,ii,T, ,(s)[,(s)]T,T NTTii12因此， 。 df(s)df(s),,(s),(s)ds,TT12,1i 如果将到期时间作为不确定性的原因，我们就可以假定: N2TQTi, 。 df(s),u(s)ds，,(s)dZ(s),(s),[,(s)],TTQTT,1i TT12相关函数为。 dZ(s)dZ(s),c(s,T,T)ds12QQ TT12。 因此一个必要的条件是 df(s)df(s),,(s),(s)c(s,T,T)dsTT1212 Nii。 ,(s),(s)ds,,(s),(s)c(s,T,T)ds,TTTT121212i,1 在随机域模型中，样本路径是整个曲线，而不是一个单独的数。 TT12如果，模型就变为单因子 HJM模型。它是HJM的一个扩展。 dZ(s),dZ(s),dZ(s)QQQ 缺陷:理论上完美，但很难进行实证检验。 Roberts(1980)通过最小化一个效用函数的方差来研究利率的期限结构。模型将债券投资看作 用于满足消费的一种方式。但是，这篇文章的分析存在数学推导上的失误。 012方差方称为 , U,F(C)，F(E(C),V)，F(E(C),V)01122 W,C，pxa，px(1,a)，pxb，px(1,b)0011112222 投资者购买债券的数量分为期末用于消费的部分以及进行再投资部分。 1一期债券到期时的预期价格，事实上它是确定的。 uS 11 E(C),uax，ubx1S1L2 1 是两期债券在一期期末的预期价格。 uL 1在一期期末，投资者出售获得, 然后重新购买一期债券。如果次使价x(1,a)ux(1,a)1S1 11ux,aux(1,a)(1)'2SS11格为,我们得到 ,然后在第二期期末价值为 。因此 pu1S''pp11 1ux,a(1)22S1=+. 但是在文章中， E(C)u(1,b)xu2L2S'p1 16 22=. 数学推导上发生了错误。他实际上没有考虑重新投资时E(C)ux(1,a)，ux(1,b)2S1L2 的价格。 Campbell(1986)研究了一个简单交换经济中的债券和股票收益率行为。 模型: 1,,,,ckktk，,,max(),, EucE,,ttkt，1,,k0k0,, ,,2初始禀赋: . 。 logc,gt，,(L)e,gt，,e,,,,,,0,,1,,ttktkki0,limik0k0,,,,同时为了满足可逆性，. ,(1),,,0,k 对债券而言，期末的价值为1。一阶条件为: i,,,i, E[,(c/c)],P,(1，R)tt，ititit 2i,1,22, log(1)log(1/)[()]i，R,i,，,ig，,,,,e,,s,,itk，ikt,kke2k,0为创新的标准差。 se I期债券j期内的持有收益率为: j1,22,,,[,(,,,)]s ,ijtkkijke,，k0, 在一期条件下， 22.只要，持有期收益率大于0。 ,,,[1,,]s,,1ijti,ei,11 所以问题的关键就在于对禀赋不确定性的分析。在模型中考虑了习惯的变动，但这很难进行 实证上的衡量。 Cox, Ingersoll and Ross(1985a,b)在一个跨期的资产市场均衡模型中对利率的期限结构模型进 行了研究，并提出了CIR模型。所使用的研究方法与Merton(1990类似，认为投资集是随机 变动的。模型的主要结论是: JJWWWYrWYt,a，aGGaW，aGS (,,)*',*''*()*''()JJWW kJWJWYvarcov,WWWYia*',,(,)(),(,)()= ,JWJW,1iWW 无风险利率等于最优投资的预期收益率减去财富边际效用的变动。 ii,,r,,cov(F,W)/FJ。 iW 或有索取权F的价格必须满足: 17 kkk11(varW)F，(covW,Y)F，(covY,Y)F,,,WWiWYijYYiij22,,,11iiji kkJJWYWWi ，[rW,C*]F，F[u,(,)(covW,Y),(,)(covY,Y)]，,,WYiiijiJJ,,11iiWWF,r，,,0t 所提出的CIR模型为:。 dr,k(,,r)dt，,rdZ 评论:只进行了理论上探讨，没有进行实证分析。 Bansal and Zhou(2001)对存在机制转换情况下的利率期限结构问题进行了研究和分析。所使 用的计量分析方法是半参数(SNP)以及有效矩(EMM)方法。检验结果表明两因子机制转换模 型可以很好的拟合历史资料。这篇文献也发现了类似于Campbell and Shiller(1984)年的违反市场预期假设的现象。 模型:在对数效用函数假设条件下, u'(C)Ct，1t. M,,,,t，1u'(C)Ctt，1 欧拉方程为: ,VVCV，tt，1t，1t， 。 E,,,tCCC1,,tt，1t V，C1,1tt，1，1. R,,(,C/C),cttt,，1，1MVt，1t . M,exp(,r),r,logRt，1c,t，1c,t，1c,t，1 ,,x2t()假定 r,x，，xuc,t，1ttt，1,2, 在RS模型中，可以为或者. ,,,,,,,,,0011 ,,x2t. M,exp(,(x，()，x()u))t，1t0,1t0,1t，1,,2 ，所以。 EM,exp(,x)x,rtt，1ttf,t . A(0),B(0),0, P(t,n),exp(,A(n),B(n)x)t A(1),0,B(1),1, 连续债券收益率为 P(t，1,n,1)h,log,,A(n,1),B(n,1)x，A(n)，B(n)x n,t，1t，1tP(t,n) u,,A(n,1),B(n,1)E(x)，A(n)，B(n)x n,ttt，1t 18 22考虑GARCH效应， ,,B(n,1)var(x)n,ttt，1 = EMEh，cov(M,h)E(Mh)tt，1tn,t，1tt，1n,t，1tt，1n,t，1 2,nt, ,exp(,x，u，，B(n,1),x),1tntt,2 ,所以. cov(M,h),B(n,1),xx,B(n,1),xtt，1n,t，1ttt, 评论:基于CIR平方根模型上进行估计，没有考虑其它的模型。 rc,t，1 Longstaff and Schwartz(1992)在CIR模型基础之上考虑了一个两因子均衡模型。这两个因子是短期利率和波动率。这个模型可以解释不同形状的收益率曲线。所使用的计量分析方法为GMM。 模型: ， CIR model dQ/Q,(uX，,Y)dt，,YdZu,01 X 代表与生产不确定性无关的预期收益率因子。Y 则与二者都有关系。 dX,(a,bX)dt，cXdZ2 dY,(d,eY)dt，fYdZ3 与无关。 ZZ,Z213 ,最大化 , Eexp(,,s)ln(C)dsts,t dQdW,W,Cdt Q 所以 C,,W dW,(uX，,Y,,)Wdt，W,YdZ1 W2t，1 rE,uX，(,,,)Y,logt,Wt 22222 var(r),V,ucX，(,,,)fY 2如果,我们就可以通过X,Y计算r,V。所以两个状态变量就可以用r，V代替。 uc,,,, 因此，就可以计算r,V的变动情况，零息债券的价格，以及债券期权的价格。而且在这个模型中，收益率曲线可以为任意形状。而且债券期权的价格可以利率的增函数或者减函数。 Heath, Jarrow and Morton(1990)对连续的HJM模型进行了一个二叉树估计。 f(t,T),,log(P(t,T，,)/P(t,T))/,. 19 T,1 , . t,tN,t/,P(t,T),exp(,f(t,j,),),j,t 在两个随机源以及二叉数的假定条件下， tt f(t,T),f(0,T)，a[u(j,,T),v(j,,T)]，v(j,,T),,111j,1,1jj tt ，b[u(j,,T),v(j,,T)]，v(j,,T),,222j,,11jj 服从于某种概率。 a,b,1,0jj tt = r(t),f(t,t)f(0,t)，a[u(j,,t),v(j,,t)]，v(j,,t),,111j,1,1jj tt . ，b[u(j,,t),v(j,,t)]，v(j,,t),,222j,,11jj t,1 货币资金帐户 . B(t),exp(r(j,),),j,0 T,11t, Z(t,T),P(t,T)/B(t),exp(,f(t,j,),,f(j,,j,),),,j,tj,0在这个条件下， 远期利率是一个无套利定价过程; 存在一个鞅测度使得Z(t,T)是一个鞅过程。满足: {a,b}jj T,1 ,(t)exp(,(v(t,j,)，v(t,j,))),0012j,t T,1 + ,(t)exp(,(v(t,j,)，u(t,j,))),0112j,t T,1 ，,(t)exp(,(u(t,j,)，v(t,j,))),1012j,t T,1 =1 ，,(t)exp(,(u(t,j,)，u(t,j,))),1112j,t 然后，可以对远期利率的波动率做一些假定得出一些特殊的结论。Ho and Lee模型只考虑一 个波动源而且波动率是一个常数。 Sanders and Unal(1988)对Vasicek模型的机制转换问题进行了分析，并且发现不同的机制可 以表现出不同的均值回归特征。一些均值回归现象是显著的，而一些则是不显著的。所以在 20 研究利率的行为时，时间窗口的选择十分关键。 模型: dr,k(u,r)dt，,dz ,r,k(u,r)，,tt,1t ,r,,,，,r，,,j,1,2...t0j1j1jt,1tj Constantinides(1992)则在CIR基础之上提出了一个一般化的模型。在CIR模型中，期限溢酬在所有状态和所有的期限下都是同一个符号，因此期限结构的形状就受到限制。模型所使用的方法是定价核方法，而且估计是非线性的。 定价核模型: P(t),E(X(T)M(T))/M(t)t 2N,20 M(t),exp{,(g，)t，x(t)，(x(t),,)},0ii2,1i 在对进行一定假设之后, x(t)i . B(t,T),E(M(T))/M(t)t lnB(t,T)y(t,T),,到期收益率, T,t , r(t),limy(t,T)T,t 期限溢酬 R(t,T),r(t),EdB(t,T)/B(t,T)dt,r(t)t 瞬时期限溢酬. R(t,T),EdlnB(t,T)/dt,r(t)Gt 评论:债券的价格可以通过解析的方法求出，因此可以通过数据进行校准。可以用中国的实际数据做一个实证分析。 总结: 1、利率期限结构模型已经逐渐由简单向复杂方向发展，研究水平也逐渐深入，逐渐从单因素模型向多因素模型，从单状态模型向机制转换模型，从常数模型向动态模型拓宽，利率期限结构模型的理论研究已经到了一个层次; 2、目前对利率期限结构模型的校准(calibration)则是一个具有积极意义的工作。通过对不 10同模型的实际校准并在此基础上选择最优的模型，是一项技术性非常强的工作。 (四)利率期限结构模型的实证检验 在对利率期限结构模型的理论研究基础之上，众多的学者都对不同的期限结构模型进行了实证检验，以对不同的模型进行判别和比较。 Durham(2002)利用Durham and Gallant(2002)的计量分析方法对不同的期限结构模型进行了实证检验。检验结果表明漂移项对模型表现好坏不会产生影响。对漂移率的变化增加一些变化所能带来的效果不会好与常数漂移率。随机波动率能够提高模型的拟合程度，但是对债券 10 在这个方面，笔者曾同香港理工大学的Kok教授进行过讨论。 21 定价没有带来多大的好处。 主要的模型有: ,包括: dX,u(X;,)dt，,(X;,)dW 1/2 AFF model by Dai and Singleton(2000); dX,(,，,X)dt，(,，,X)dW1212 ,2 CEV1, constant elasticity of volatility dX,,dt，,XdW11 ,2, CEV2 dX,(,，,X)dt，,XdW121 2,2, CEV 4 dX,(,，,X，,X，,/X)dt，,XdW12341 ,1/24 dX,,dt，(,，,X，,X)dW1123 ,1/24 dX,(,，,X)dt，(,，,X，,X)dW12123 ,21/24, the model used by dX,(,，,X，,X，,/X)dt，(,，,X，,X)dW1234123 Ait-Sahalia(1996). 随机波动率模型: dX,u(X)dt，,(X)exp(H)dWXX1 。 dH,u(H)dt，,(H)dWHH2 Bali(1999)对不同的利率期限结构模型进行了实证分析，结果表明漂移率和波动率为常数的模型以及波动率为利率水平函数的模型过度强调了利率水平对波动率的影响。最好的模型是波动率为利率水平和信息两个因素的函数。 估计模型为: , dr,(,，,r，,lnr)dt，,rdWt0,t1,tt2,tttt 离散形式为: r,r,,，,r，,lnr，,tt,10,t1,tt,12,tt,1t 222,, E(,|I),0E(,|I),,rtt,1tt,t1 222,,,，,,，,,. tttttt0,1,,12,,1 Chan el.(1992)利用GMM估计方法对不同的利率期限结构模型进行了实证比较，结果表明波动率受风险水平影响的模型表现最好。结果同样表明对漂移率进行改进不会对模型产生太大的影响。而且，结果还表明一些经常运用的模型，如Vasicek 模型等，表现很差。 ,估计模型为: ，具体包括: dr,(,，,r)dt，,rdW Merton model:dr,,dt，,dW,,,,,0; Vasieck Model:dr,(,，,r)dt，,dW,,,0; 22 CIR SR Model:; dr,(,，,r)dt，,rdW,,,1/2 Dothan Model: ; dr,,rdW,,,,,0,,,1 GBM Model:; dr,,rdt，,rdW,,,0,,,1 Brennan-Schwastz Model:; dr,(,，,r)dt，,rdW,,,1 3/2CIR VR Model:; dr,,rdW,,,,,0,,,3/2 ,CEV Model: dr,,rdt，,rdW,,,0 具体分析采用离散数据: 22,,. r,r,,，,r，,E(,),0,E(,),,rt，1ttt，1t，t，t11 GMM方法使用为: ， be f(),,r,r,,,,r,t，1t，1ttt ,，，t，1,,,rt，t1,,,, f(),t,222,,,,r,t，t1,,222,(,,r)r,t，tt1，， , GMM估计方法就是最小化 E(f(,)),0t ', J(,),g(,)W(,)g(,)TTTT T1g(,),f(,), 是正定的加权矩阵。 W(,),TTtT,1t 评论:只考虑波动率受利率水平影响，没有考虑波动率受信息影响。 Fernandez(2001)利用智利的数据采用非参数检验的方法对利率期限结构进行了实证分析。所估计的模型是单因子模型，漂移率和波动率都是利率水平的函数。结果证实了智利期限结构向下的趋势，这可以用中央银行的货币政策或者市场分割理论进行解释。 。 dr,u(r)dt，,(r)dWtttt Karoui and Lacoste(2000)对HJM模型中所使用的状态变量选择问题进行了分析和研究。研究结果表明两个变量可以解释95%以上的利率变动，但是对波动率则需要更多的变量。 Brown and Dybvig(1986)利用横街面美国国库券的数据对单因子CIR模型进行了实证检验。横截面实证分析可以得出同时间序列分析类似的结论。但是这种方法会导致对贴现债券价格的低估以及期限溢酬的高估，这可能由税收效应引起。 模型:. dr,k(u,r)dt，,rdz 2dP,Pdr，1/2P(dr)，Pdt,(k(u,r)P，P，1/2P)dt，,rPdz rrrtrtrrr 23 根据均衡条件，预期收益率等于无风险利率加上风险溢酬。 dP/P,,(r,t,T)dt，v(r,t,T)dz ,(r,t,T),r，,*v(r,t,T) 如果 , 则 ,*,,r/, 2, 以及 , 可以得到P的价格。利用PrP，,rP,Pk(u,r)，P，1/2P,rP(r,T,T),1rrtrr 的实际数据，我们就可以估计利率水平和方差。 评论:的假设没有经济原因。 ,* Ball and Torous(1996)对CIR模型以及Brennan and Schwartz的两因子模型中的利率时间序列单位根问题进行了分析。当利率服从一个均值回归过程时，一般的期限结构模型可以运用;但是如果利率服从单位根过程，则就不再适用了。所进行的估计也是有偏的，这种偏误无法由GMM等计量方法进行改进。Brown and Dybvig(1986)使用横截面分析有助于降低这种偏误，因为横截面可以提供将来利率变动的一些信息。因此如果收益率曲线是平稳的，则包含的信息量少，所改进的程度也就比较少;如果收益率曲线是陡峭的，则可以进行很大的改进。 单位根问题的偏误: X,,X，,tt,1t 2ˆ如果, 那么渐进与服从一个均值为0、方差为的正态分布。但是如,,1n(,,,)1,, 果分布将是有偏的。 Lin and Yeh(2001)对B-spline估计函数估计出来的利率进行了实证分析，分析结果表明量因子模型好于单因子模型。但是考虑跳跃性的两因子模型并不能显著的优于单纯的两因子模型，但是它能够很好的解释期限结构以及利率衍生产品的定价。 总结: 1、不同的模型，不同的计量分析方法，不同的数据，所得出的实证结果都会产生差异。因此，对不同的市场，重要的是模型的适用性。 2、但是，实证分析也得出一些基本一致的结论: (1) 漂移率的假设不会对利率期限结构模型产生太大的影响; (2) 波动率是利率期限结构模型的重要因素; (3) 多因子模型要比单因子模型表现得好，但是多因子要牺牲自由度，因此，根据实证 结果，两因子模型可能是一个比较好的模型。 (4) 利率一般服从一个均值回归过程。 (五)利率期限结构和资产组合 利率作为资金的价格，属于投资者资产的收益。因此，一些学者就把它纳入到一般的资产市场均衡中，在这个均衡中分析利率的行为。CIR模型等都是这种分析的一个例子。 单纯研究利率和资产组合问题的文献有Brennan and Xia(2000)。他们对债券比率随着风险厌恶水平上升这个违反托宾定理的现象进行了分析。在托宾的理论中，利率是固定的，没有利率风险。如果考虑利率风险，则债券的比率就会随着风险厌恶水平的上升而上升因为它和未来的利率预期负相关，它具有某种保险的功能。 模型: ; dr,[,(t)，,，u,ar]dt，,dzrrr 24 . du,(,,bu)dt，,dzuuu 相对应的风险溢。 ,,,ur .根据Ito引理， P(t,T),A(t,T)exp(,B(t,T)r,C(t,T)u) ; dP/P,,(r，,)dt,B(t,T),dz,C(t,T),dujjjjrrju 。 ,,,,B(t,T),,C(t,T)jrjuj 股权溢酬假定为一个常数: dS/S,(r，,)dt，,dzsss 1,,W, 时间窗口为 T。 maxE[|I]t,,1 计算结果: JJJ,1,1,1WWrWux. *,,,,,,,,,,RrRuWJWJWJWWWWWu 最优的资产组合是均值——方差最优组合和保值需要二者共同决定的。 ,,,SP,,11,1,1,,,，,,P 是到期日为T的债券价格。 x*(1),,,,PP1,,,,,PP2,, 而且，因为到期日为T的债券收益率可以用其他两个债券收益率线性表示。 0,,,,11,1,,如果市场上没有到期日为T的债券，,，,. x*(1),,,1,,,,,,2, 如果市场上存在到期日为T的债券，,则 。根据分析，可以看出: T,T,,1,,,0112 11股票的资产比率不会发生变化;债券比率随着时间窗口和风险厌恶水平的上升而上升。 评论: 这实际上是考虑投资集可能发生的变化对资产组合的影响。 将利率同资产组合问题结合起来，考虑一个一般均衡的问题，是分析利率问题的一个重要方法。 四、中国利率期限结构的估计 因为，在中国，债券市场相对不发达，债券种类不齐全，而且绝大多数为息票债券，所以要对中国的利率期限结构进行模型上的研究和分析，首先要估计中国的利率期限结构。所采用的方法是仿样逼近(spline approximation)法。 笔者通过对仿养函数的两种不同形式(上文提到的前两种)对中国的利率期限结构进行了估 11 托宾定理在时成立。 ,,,,012 25 12计，结果发现在使用第一种方法会产生错误的统计结果，因此不进行考虑。 1、 数据的选择标准:(1)固定息票利率;(2)国债;(3)银行同业市场。 2、 数据的选取时间:2001-08-24到2002-09-02的每个星期五期末数据。 3、 划分标准:k=3; 4、 估计的利率时间:1/12,0.25,0.5,1,2,3,4,5,7,10,15; 5、 结果见Excel表格。 今后研究思路: 1、 证券市场上的债券; 2、 k=4; 3、 其他的函数形式，如B-spline 函数。 4、 对估计的利率期限结构进行模型分析，寻找一个能够切实反映中国利率变化的模型。 5、 将模型的估计利率应用于衍生产品定价，特别是中国可转化债券的定价的风险中性贴现 中。 参考文献: Bali, T.G., 1999,“An Empirical Comparison of Continuous Time Models of the Short Term Interest Rate”, The Journal of Futures Markets, vol.19, 777-197. 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