a-第六讲 向量的线性相关性(窄)

a-第六讲 向量的线性相关性(窄) 问:如何判定线性方程组是有解, 解的唯一性问题, 齐次线性方程组是否有非零解,《——》(解的唯一性问题,) 第三章 向量的线性相关性与秩 ? 3.1 维向量及其线性运算 n (定义3.1): , 强调:一个向量不是个数，而是一个点、一个状态，是一个集成化的整n 体对象。 定义3.2; , 运算律(规范性);与矩阵相同。 定义3.3 设为一组维向量，为一组实数，称,,,,,,？ccc,,,？n12s12s ccc,,,，，，？1122ss为的一个线性组合，称为组合系数。(可以看成一种新,,,,,,？ccc,,,？12s12s 的运算) 若将上述运算结果记为 ， ,,,,,，，，ccc？1122ss则说可以由线性表示(线性表出)，称为表示系数。 ,,,,,,？ccc,,,？,12s12s ab,,,,1i1,,,,,,1,2,,,,？,,？？is, 如果记，，则上式也就是 i,,,,banni,,,, aaab,,,,,,,,1s11121,,,,,,,,？？？？？ccc，，，,， (*) 12s,,,,,,,,aaabnnnsn12,,,,,,,, 按照向量线性运算的法则，便得到一组等式 acacacb，，，,？,11112211ss,？？？？？？， (**) , ,acacacb，，，,？nnnssn1122, ccc,,,？ns，如果视为变元，上式就是一个一般的线性方程组。所以把(*)12s 式称为线性方程组(**)的向量形式。(n->向量维数，s->向量个数) ,,,,,,？这就是说，,可以由线性表出与方程组(**)有解是一回事。 12s ? 3.2 向量的线性相关性 n定义3.4 设为中的一组向量，若其中至少有一个向R,,,,？,,(s,1)12s s,1量可以由其余的个向量线性表示，则说它们线性相关(leaner department); 否则的话，就说它们线性无关(leaner indepartment)。 线性无关也就是线性独立。 一组向量线性无关，也就是这组向量中的任一向量都不能由本组中的其余向 量通过线性组合来替代，从而都有其独立的地位。 线性无关《——》对应的齐次线性方程组没有非零解。(只有零解) 线性相关《——》对应的齐次线性方程组有非零解。 方程的个数等于向量的维数，未知数的个数是向量的个数。 1. 从定义出发:用矩阵行变换，解齐次方程组; , , 例(包含向量的向量组线性相关) 0 2. 判定齐次方程组是否有非零解; ,,,线性无关iff非零，即(推论1); 3. 一个向量:,, 4. 两个向量:线性相关iff的分量成比例(推论2); ,,,,,,1212 5. 个数等于维数:利用行列式(定理3.3); 6. 个数大于维数:必相关(定理3.4);n+1个n维向量线性相关。(解方程 组) , 由此可以知道:所有的维向量中，线性无关的最多只有个。 nn 7. 表示关系与相关性(定理3.2): 设向量组,,,,？,,线性无关，而向量组,,,,？,,,线性相关, 则必可,,12s12s 以由向量组,,,,？,,唯一地线性表示。 12s 8. 扩充定理(定理3.5):部分组相关 ? 全组相关; (两个推论，尤其是逆否命题:无关组的部分组仍无关); 9. 接长定理(定理3.6): 无关向量组接长(,)后仍无关; “与齐次线性方程组的关系”。等价与在对应方程组增加了一个方程。 (逆否命题:相关向量组截短后仍相关) (与扩充定理的区别) 10. 分量一致交换不改变相关性(定理3.7)。 “与齐次线性方程组的关系”。 1. 向量组的线性表示:“表示矩阵”; ,,？,,,,,,？,, 定义3.5 设有两个同维向量组 (I): 和 (II): ，1t12s 如果(I)中的每一个向量都可以由(II)中的向量线性表示，就说向量组(I) 可以由(II)表示 ,,,,k，？，k,11111ss,？？？？？？？表达式: , ,,,k,，？，k,tt11tss, 1. 两向量组的表示关系与向量个数之间的联系: 如果向量组(I)可以由(II)表示，而且t>s，那么，向量组(I)线性相关。(多的由少的线性表示，那么多的线性相关) 未知数个数>方程个数，方程组必有非零解。(利用上面的6) 定理3.8();设有同维行向量组(I): 和(II): , 若,,,,？,,,,？,,12s1t s,t(I)组线性无关，且(I)组可以由(II)组线性表示，则。 4. 推论:等价的无关组等量(即所含向量个数相等，这表示一种特征)。 如果(II)可以由(I)表示，同时(I)也可以由(II)表示，则说向量组(I)和(II)。 1. 极大无关组的定义: nTA定义3.6 设为中的一个向量组，是它的一个部分组，如果满足: R AT(1)是的一个无关部分组;“无关” TAA(2)中的任一向量添入都将使变为相关组;“极大” AT则说是的一个极大无关组。 2. 极大无关组的性质(定理3.9): (1)不唯一性(讨论:何时唯一,) (2)等价性;向量组与它的极大无关组等价。 (3)等量性:一个向量组的极大无关组中向量的个数是唯一的。 由此可知，一个向量组的极大无关组可以不唯一，但最多可以有几个向量线性无关，却是唯一的，这是向量组本身所固有的性质。 (:等级、档次、排位) 1. 定义: TT定义3.7 向量组的任一极大无关组所含向量的个数称为的秩，记作。 r(T) 2. 几个性质: (1)无关iff满秩(定理3.10)(向量的个数等于秩数); (2)若(I)可由(II)表示 ? r(I),r(II)(定理3.11); (3)等价的向量组等秩(推论)(注意:反之不然)。----------------------------知识改变生活 精品 word文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ----------------------------知识改变生活 精品word文档 值得下载 值得拥有 ----------------------------------------------