一个多边形的面积公式【精品-doc】

一个多边形的面积公式【精品-doc】 一個多邊形的面積公式 指導老師:王柏齡。 作者:劉昱志。 一個多邊形的面積公式 A.研究動機 找出頂點為格子點的多邊形其面積的簡單計算方式。 B.研究目的 今年大學指定科目考試數學乙有一考題: 當平面上的點(x,y)之座標x與y都是整數時,稱點 (x,y)為格子點。數學家知道:座標平面上三個頂點皆為格子點的三角形之面積可以用公式aS+bI+c來示,其中S代表三角形三邊邊上的格子點數,I是落在三角形內部:不含邊上:的格子點數,a,b,c是固定常數。 則::a,b,c:=: : 本研究將找出上述之:a,b,c:並將這個公式推廣到n邊形。 C.研究方法 觀察,計算,分割合併歸納 D.研究過程 一個頂點為格子點的多邊形的面積與其內部格子點數和邊上格子點數有什麼關係, a.試算: 先觀察二股分別平行兩座標軸,一股為2,另一股分別為1、2、3的直角三角形。 底 1 2 3 面積:A: 1 2 3 內部的格子點:I: 0 0 1 邊上的格子點:S: 由上表得: 4 6 6 4a+0b+c=1,,6a+0b+c=2 , ,6a+1b+c=3, 1 解得a=,b=1,c=-12 b.長寬分別平行二軸的長方形成立: 如果長、寬分別平行二軸的長方形的長為M,寬為N,則 , 長方形面積A=MN , 長方形邊上的格子點數S=2M+2N , 長方形內部的格子點數I=:M-1::N-1:=MN-M-N+1 M 把這些計算式合併,得到 1 S+I-12 N 1 ,，，(2M2N)+(MN-M-N1)-12 ,，，(MN)+(MN-M-N1)-1 ,MN =A 所以長寬分別平行兩軸的長方形是成立的。 c.二股分別平行二軸的直角三角形成立: 設二股分別平行二軸的直角三角形的斜邊上有P點,剩下兩邊長分別為M和N, 則 , 直角三角形面積 MN A,2 , 直角三角形內部點有 P點 M S,M，N，P , 直角三角形邊上的點有 (M-1)(N-1),(P-2) I,,MN-M-N，1-P，22 N 把算式綜合起來,得到 1S+I-1 2 1MN-M-N1-P-2，,，，，(MNP-1)-1 22 MN ,2 ,A因此二股分別平行二軸的直角三角形是成立的。 d.一個性質: G1 P G2 如圖,G1和G2是頂點為格子點的多邊形並恰好共用一邊,G3是G1和G2的合併圖 形。 設A1是G1的面積,A2是G2的面積,A3是G3的面積,S1是G1的邊上格子點數,S2 是G2的邊上格子點數,S3是G3的邊上格子點數,I1是G1的內部格子點數,I2是 G2的內部格子點數,I3是G3的內部格子點數,則 AAA(1)，, 123 SS-2P2S(2)，，, 123 IIP-2I(3)，，, 123 1111(2)SSP1S(4)，，,，,:1232222 111 (3)(4):SISI1SI，，，，,,，112233222 111(SI1)(SI1)SI1(5)，,，，,,，, 112233222 11，，，，(1)(5)A(SI1)A(SI1),,，,，,，,:111222 ,,,,22，，，， 1，，,,，A(SI,，，1)*333 ,,2，， ，*，之意義: ，1，若G1,G2公式成立則由，*，得 1 ，，0，0,A-(S，I-1)333,,2，， 得併合圖形G3公式成立。 ，2，若G1,G3公式成立,則由，*，得 1 ，，0+A-(S+I-1)=0222,, 2，， 得由G3裁去G1後之圖形G2公式成立。 e.只有一邊平行兩軸的三角形成立: 由，2， 成立 成立 成立 f.所有邊都不平行x軸與y軸的三角形成立: 由，2， 成立 成立 成立 成立 g.任意多邊形成立: 由，1， 1 3 2 4 因1,2,3,4成立,故逐次合併後n邊形就成立。 E.結論 1頂點為格子點的多邊形之面積等於,其中S為多邊形邊上格子點數,I為S+I-12 多邊形內部格子點數。 F.參考書籍 93年大學指定科目考試數學乙試題。