2003 已知：如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆M经过原点及A

2003 已知：如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆M经过原点及A 湖北省石首市文峰中学 张青云 434400 从2001年到2004年连续四年，荆州市中考数学试都是由荆州市教科院数学教研员陈子俊老 师命制的。纵向研究其压轴题的风格，可以看出在体现时代要求的同时，陈老师也充分现出 了自己的命题理念在变化中渐臻成熟，在成熟中形成自己的个性特色。 12001 设二次函数y=ax2+bx+c(a＞0，b＞0)的图象经过(0，y)、1 222(1，y)和(-1，y)三点，且满足y=y=y=1。 23123 (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 设这个二次函数的图象与x轴的两个交点为A(x，0)，1B(x,0)，x＜x，C为顶点，连结AC、BC，动点P从A点出发沿折线212 ACB运动，求?ABP的面积的最大值。 (3) 当点P在折线ACB上运动时，是否存在点P使?APB的外接圆的圆心在x轴上？请说明理由。 b：(1) 由题意a＞0，b＞0，可知：<0，故抛物线对称轴必在y轴左侧。 x,,2a ? 点(0，y)和点(1，y)在抛物线对称轴右侧，(-1，y)和(1，y) 不是关于对称轴对称的两点。1232222? y ＜y，y?y ? y=y=y=1，? y=-1，y=1，y=-1。 12312312 23 ?抛物线经过点(0，-1)、(1，1)和(-1，-1)三点。 c,,1,a,1,,,?a，b，c,1 解得 ?二次函数的解析式b,1,, ,,c,,1a,b，c,,1,, 2为 y = x+x –1 1522(2) ?y,x，x,1,(x，), 24 15 ? 顶点C的坐标为（,,,） 24 2由题意可得到，x+x= -1，xx= -1，? ?当点P运AB,|x,x|,(x，x),4xx,51212121212 155动到图象上最低点即点C时，?ABP的面积最大，最大值为S,S,，5，,5 ,ABP,ABC248 (3) 存在符合题意的点P，因为从题意看，?ABP外接圆的圆心必定同时在对称轴和x轴上， 所以符合条件的外接圆应当就是以AB为直径的圆 ，此圆与AC、BC必有交点，交点即为所求点P。 ：本题是以二次函数为主体的代数几何综合题，起点要求有点儿高，需对二次函数的增减 性、对称性有很好的理解方能准确作答，但随后的两个小题都寓静以动，仅取常见的面积最大值计 算和运动中特殊点的说理来体现探究，令人有头重脚轻之感。 22002 32 如图，一次函数 y,,x，1的图象与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第3 一象限内作等边?ABC， （1）求?ABC的面积； 1y；试用含有a的代)2 数式表示四边形ABPO的面积，并求出当?ABP的面积与?ABC的面C（2）如果在第二象限内有一点P（a，积相等时a的值 （3）在x轴上，是否存在点M，使?MAB为等腰三角形？若存BP在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 AOX 3（1）由y,,，1分别令x=0 和y=0可知：图象与x3 22轴和y轴的交点坐标分别为：A ( 3,03)，B (0 ,1 ) , ? OA=，OB=1， AB==2. OA，OB 1?. S,，2，3,3,ABC2 11111（2）? ? S,，OB，|a|,|a|,,aS,S，S,,a，3,BOPABPO,BOP,AOB22222 111113?S,S,S,,a，3,，，3,,a， ,ABPABPO,AOP222224 13由题意，当,a，,3S,S时，则，,ABP,ABC24 3?； a,,32 （3）如图，符合条件的点M共有4个，它们的 坐标分别为M33（-，0）；M（-2，0）； M123 3,03（），M（+2，0）。 43 ：本题属于一次函数与直线形知识的综合，用面积做主线，将三角形和一次函数等主干知 识串为一体，起点低，层次分明。第(3)问对等腰三角形的分类讨论为全题的亮点，突出了对学生数 学思想和发散思维能力、探究能力等方面的考查，但作为压轴题，其份量与应有的区分度相比， 似乎稍许不够。 32003 3、如图，在平面直角坐标系xoy中，半径为2的半圆O与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，T是OB上一点，OT= a（0＜a＜2，过 A作AC?AB，且AC=AT，连结CP并延长交半圆于另一点Q，且Q恰为弧PB的中点 （1）求出点Q的坐标 （2）求直线CP的解析式及a的值； （3）由点P发出的光线，经过T点处反射后，反射光 线是否通过点Q？请说明理由 （1）连OQ，作QD?x轴于D，?Q为弧BP的中点，??QOD=45? ? QD?x轴，OQ=2 ?OD=DQ= ?点Q的坐标为（，）。 222 （2）点P的坐标为（0，2），设直线CP的解析式为y=kx+b， 2,b,? 解得k = b=2 1,2,2,2k，b, ?直线CP的解析式为y= ()x+2 1,2 ?AC=AT=2+a ? 点C坐标为（-2，2+a） ? 2+a= -2()+2 1,2 ? a=2-2 2 (3) TD=OD-OT=- (2-2) =2- 222 OP2OPQDQD2?,,2，1 ? ,,,2，1OTOTTDTD22,22,2 ? ?POT=?QDT=90?? ?POT??QDT ? ?PTO=?QTB, ? ?1=?2 所以反射光线经过点Q。 本题是以圆、相似形等几何知识为主体，并结合一次函数解析式相关知识的综合题。全 题以点Q为“题眼”，由浅入深，层层攀升，最后在用跨学科的反射概念考查学生运用三角形相似 的有关知识之后，又重新回到了Q点，构思如此精巧，实为一道难得的好题。 42004 4 至此，我们看到：在平面直角坐标系中，以函数为载体，将包括分类讨论等重要数学思想方法 在内的代数和几何知识融为一体的探究性试题，成为陈老师命制压轴题首选的指导思想。毫无疑问， 这种定位既是我们荆州初中数学教育教学实际状况与社会时代大环境相结合的产物，又是这种试题 自身所潜在的考试评价价值张扬的结果。从这四年的发展趋势上看，我们有理由相信：今后我市中 考数学压轴题的定会更加丰富多彩，对学生探究能力的要求定会更高。