§2 牛顿—莱布尼茨公式

§2 牛顿—莱布尼茨 《数学》教案 第九章 定积分 滨州学院数学与信息科学系 ?2 牛顿—莱布尼茨公式 教学目的:熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式( 教学内容:牛顿-莱布尼茨公式( (1) 基本要求:熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式( (2) 较高要求:利用定积分的定义来处理一些特殊的极限( 教学建议: (1) 要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式( (2) 利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种类型的目( 教学程序: 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。 9-1 若数在上连续，且存在原函数，则在上可积，且 f(x)[a,b]F(x)f(x)[a,b] bf(x)dx,F(b),F(a) ,a bbf(x)dx,F(x),F(b),F(a)这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为。 ,aa ,:a,x,x,？,x,b[a,b]01n证 给定任意一个分割:， nn ,,F(b),F(a),F(x),F(x),f(,),x,,1,kkkk,1,1kk ， ,,[x,x],x,x,xf(x),C[a,b]f[a,b]kk,1kkkk,1这里，，用了Lagrange 中值定理。，由Cantor 定理，在 ,f,f,()(),,,,,,,,,,,[a,b],,,0，,,0b,a一致连续，所以，，只要，，就有。 ,,max,x,,k,,,[x,x]kk,1k1,k,n于是，当时，对，有 nn ,,,,,f(),x,F(b),F(a),f,(),f(,),x,,,,kkkkkk,1k,1 。 注1:在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如:在上连续，在内可导，且F(x)[a,b](a,b),。而只要在上可积即可。 F(x),f(x),x,(a,b)f(x)[a,b] 注2:本定理对的要求是多余的。 F(x) ,f(x)[a,b]F(x)[a,b]F(x),f(x)(a,b) 设在可积(不一定连续)，又设在上连续，并且在上，，则bbf(x)dx,F(x),F(b),F(a),aa。 ,:a,x,x,？,x,b[a,b]01n证 任给一分割，由Lagrange中值定理 n F(b),F(a),f(,),x,kk,,(x,x)kk,1k,1k ，。 1 《数学分析》教案 第九章 定积分 滨州学院数学与信息科学系 b,f(x)dx,,max,x,0k,[a,b]fa1,k,n 因在可积，令，则上式右边。所以 bF(b),F(a),f(x)dx,a 。 例 1 利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分: bbbdxnx1)xdx(n为整数); 2)(0