微尺度流道内液体摩擦系数的理论计算

微尺度流道内液体摩擦系数的理论计算 ,天津 ,300072 天津大学 摘要 :讨论了各向同性壁面对微流道内液体摩擦系数的影响 ,给出了考虑壁面影响的摩擦 系数计算公式 ,为进一步计算粘性系数提供了基础 。研究结果明 ,在靠近壁面处 ,壁面对液 体摩擦系数的影响较大 ,但随着离壁距离的增大 ,壁面影响衰减很快 ,影响深度很小 。对于液 态氩 ,壁面影响大约可到第 8 层氩分子 ,即影响深度为 3 n m 左右 。 关键词 :微尺度流道 ;摩擦系数 ;粘性系数 ;固壁影响 () 中图分类号 : O35 文章编号 :1004 —132 ?200514 —1278 —04 Theoretical Study on Fr iction Coeff ic ient of L iquid in Microchannel s Yo u Xueyi Zhe ng Xia ngj un L i Da n Tia nji n U niver sit y , Tia nji n , 300072 Abstract : The f rictio n coefficie nt of liqui d f lo wi ng i n microcha nnel s wit h i so t ropic soli d wall wa s st udie d. The fo r mula of f rictio n coefficie nt of liqui d wa s p re se nt ed fo r t a ki ng acco u nt of t he c ha nnel wall . The a nal y si s re sult s sho w t hat t he eff ect s of c ha nnel wall o n t he f rictio n co efficie nt of liqui d a re decrea sed rapi dl y wit h i ncrea si ng t he di st a nce away f ro m t he wall . The i nf l ue nce di st a nce i s ve r y sho r t . Fo r liqui d A r go n , t he i nf l ue nce di st a nce i s o nl y 8 la ye r s of A r go n , w hich i s a bo ut 3 nm . Key s : microc ha n nel ;f rictio n coefficie nt ; vi sco sit y ; wall - eff ect ,对粘性系数的性质已 参数之一 。在宏观流动中 引言 0 有很好的了解 ,并且有很可靠的实验方法来测定 粘性系数是描述流动中输运现象的重要物理 各种流体的粘性系数 。但是 ,在微流动中 ,人们却 [ 1,3 ] 收稿日期 :2005 —03 —20 观察到很多反常现象,使人们对传统的粘性 ( ) 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 20376053 ; 教育部留学 系数是 否 适 用 于 微 流 动 产 生 了 质 疑 。Pf a hler 回国人员科研启动基金 a Surf ace Micro machined Backplate U sing Elect ro2 系 。从图 7 可以看出 ,随着微构件谐振频率的增 plating Technolo gy. J o ur nal of Microelect ro mechan2 大 ,阻尼力呈线性增大 。随着微谐振器向高频方 () ical System ,1994 ,3 2:69,75 向发展 ,阻尼力对系统的影响愈加显著 ,使系统的 Cha ng K M , L ee S C , L i S H . Squeeze Fil m Da mp2 [ 3 ] 能耗增大 。 ing Eff ect o n a Mems To r sio n Mir ro r . J o ur nal of ( ) Micro mechanical Microengineering , 2002 , 12 4 : 556,561 Veijola T , L a hdenpera J . The Inf l uence of Ga s - [ 4 ] surf ace Interactio n o n Ga s Fil m Damping in A Sili2 co n Accelero meter . Senso r a nd Act uato r s A , 1998 , () 66 2:83,92 图 6 不同平板边长 图 7 不同谐振频率的 () 编辑 卢湘帆空气阻尼力变化曲线 空气阻尼力变化曲线 作者简介 :王小静 , 女 , 1970 年生 。上海大学机电工程与自动化 参考文献 : 学院研究员 、博士 。研究方向为摩擦学 、微机电系统设计 。发表 [ 1 ] No vack M J . Design a nd Fabricatio n of a Thin Fil m 论文 30 余篇 。刘永武 , 男 , 1979 年生 。上海大学机电工程与自 Micro machined Accelero meter : [ Mar ster ’s Di sser2 动化学院硕士研究生 。王 敏 ,男 , 1981 年生 。上海大学机电工 程与自动化学院硕士研究生 。陈晓阳 , 男 ,1960 年生 。上海大学 tatio n ] . Ma ssachuset t s : Ma ssachuset t s Instit ute of 机电工程与自动化学院研究员 、博士研究生导师 。 Technolo gy , 1992 [ 2 ] Ber gqvi st J , Go bert J . Cap acitive Microp ho ne wit h [ 1 ] ,至 该过程将沿着哪个时间方向发生 。一般来说 等用表观粘性代替传统的粘性值 ,代入 Na vie r - Sto ke s 方程 , 预测微流道中的流动行为 , 其 理 少在理论上这种微观可逆性同样适用于气态或液 [ 4 ] 论结果 与 实 验 数 据 相 吻 合 。Israelac hvili测 量 态的复杂的 、多粒子相互碰撞过程 。这种微观可 ( ) ( ) 了纳米流道中的正十四 碳烷 C H3 C H2 12 C H3逆和宏观不可逆的矛盾称为 Lo sch mi dt ’s 可逆性 和水的表观粘性 ,从测量结果看 ,当流道的尺度降 佯谬 。 到微/ 纳米量级时 ,液体的表观粘性与流道的宽度 系统的宏观不可逆要求存在某个物理过程 ,无关 。目前对微流道中液体流动的研究才刚刚开 在系统向平衡态转移的过程中 ,该物理过程可以 始 ,没有足够的实验数据可以利用 ; 同时 ,在微尺 度下进行测量又异常困难 ,因此 ,从理论上计算流 消除系统初始时刻的非均匀性 。所以任何运动学 体的粘性系数就成为研究微流动粘性系数的一种 理论在物理上都要求能明确地表示出相互作用的 重要方法 。 过程 ,而该过程能保证宏观系统的不可逆 。不可 文献 [ 5,7 ]最早研究了液体的微观结构 ,即 逆也可以解释成在任意时刻系统对其历史没有记 分子排 布和 动 量输 运的 关 系 , 此 后 Ki r kwoo d - 忆 ,因此在向平衡态运动的过程中 ,不可能返回 。Ei se n sc hitz 理 论 得 到 了 不 断 完 善 。Billi ngto n [ 8 ] 等较系统地论述了这种理论 ,并通过分子间作 Ki r kwoo d - Ei se n sc hitz 理论是整个完整理 [ 9 ] 用力积分得到了液体的粘性系数 。Xu 等将这 论系统的基础 ,这里我们只给出有关摩擦系数计 种方法运用到微尺度下粘性系数的计算 ,但他们 算部分 。 的积分过程中未考虑壁面的存在 ,即相当于研究 液体分子与周围分子间总是存在比较强的作 了真空中一个小液滴的粘性 。存在固壁的时侯 , α用力 ,设 t 时刻某个液体分子所受的总的作用力 由于积分球内含壁面分子 ,他们的方法就不适用 了 。另外 ,他们在计算中采用的液体是极性物质 ( ) 为 F t, 经过一个很小的时间间隔 t后′ , 该分子 水 ,由于存在偶极矩 , Ki r kwoo d 的液体微观结构 ( ) ( ) 所受的力为 F t + t′。由于分子的运动 , F t + t′与 是否仍旧适用还有待商榷 。考虑上述原因 ,研究 ( ) F t的大小和方向都不同 。理论上讲 , 既然所 有中我们选用对称性好的液态氩 。在考虑壁面存在 分子的运动方程都可解 , 对于任何的时间间隔 t,′ 的前提下 ,利用文献 [ 8 ] 的理论 ,得出了适用于微 流道内粘性系数计算的公式 。本文给出了研究粘 ( ) ( ) 都可以从 F t解得 F t + t′。但在实际计算 [ 5 ] 性系数过程中必须计算的一个重要参数 ———摩擦 中 , 这是不可能实现的 。因此 , Ki r kwoo d假定 ,系数的计算过程 。 ( τ) ( ) τ经过某一时间间隔后 , F t +就与 F t统计 无 τ关了 。可取非常小 , 以至在该时间间隔内 , 液 体 的性质不会发生任何可觉察的变化 。 ( ) 当某个分子静止时 , 其所受的力 F t在方向 上是完全随机的 。但是液体中所有分子都处于持 续的运动中 , 若该分子在某个时刻获得了速度 v ,1 液体的摩擦系数 ( ) F t在方向上就不再是完全随机的 。平均来看 , [ 8 ] 宏观和微观系统的行为有很大不同,所有 该力会阻止分子的运动 , 这种效果可以被解释成 的宏观系统偏离平衡状态时 ,即使没有外力的推 [ 5 ] 摩擦力 。Ki r kwoo d假定摩擦力只线性依赖于分 动 ,也会自发地返回到平衡态 ,即所有的宏观系统 子的速度 v , 分子所受的合力可以写成都在向一个方向运动 。在热动力学中 ,这种系统 只向一个方向运动的性质用熵增原理来表示 ,即 )( β( ) ( ) 1 Ft= - m v + Gt任何孤立系统的熵 ,在平衡时达到最大值 ,而孤立 ( ) 式中 , Gt为方向上完全随机的波动力 , 始终作用在该运 系统的熵不会减少 。对于宏观系统 ,这种返回平 β动分子上 ;为摩擦系数 ; m 为分子质量 。 衡态的不可逆过程需耗费有限的时间 ,所以这种 像在布朗运动中那样 , 力的非对称部分表达 与时间有关的效应就用松弛时间来表征 。系统从 成一个稳态的阻力 , 说明存在一个平均的过程来 非平衡态返回到平衡态可用耗散过程来描述 。在 消除非对称效果 。 连续性理论中 ,用传输系数来描述耗散过程 , β文献 [ 10 ] 给出了的表达式 :包括粘性系数 、传热系数和扩散系数 。从理论上 讲 ,我们需用相互作用的分子的集体行为来定义 ? 2 π ψ ψ2 5 4n52 (2) 1/ 2这些系数 。与宏观系统的不可逆过程相反 ,在微 β ( ( ) ( )) = [ r +g rd r ] 2 2 0 r 5 r3 m? 5 r 观的分子水平上 ,所有的物理机制都是可逆的 ,表 () 2( ) ψ 式中 , n 为分子平均密度 ; g r为平衡径向分布函数 ;现为从描述该物理机制的方程式中 ,我们看不出 为分子对的对势 , 是球对称势 。 液体中的 短程 有序 可 用径 向 分 布 函 数 来 表 ( ) ρ征 。距 离 参 考 分 子 r 处 的 分 子 密 度 为 r= 考虑图 1 所示的积分球 , 参考分子距壁面 h , 考粒子距离的函数 , 则用下式定义径向分布函数 Θ ( ) Θ = a rcco s h/ R, 则在角度为 2的球冠内为固c ( ) 2( ) g r: 壁分子 , 其余为液体分子 。对液体分子和固壁分子 (2) )( ρ( ) ( )2 3 r= ng r β应分开计算 。考虑为一个积分式 , 而积分即加 由分子理论可知 , 径向分布函数可通过相互 和 , 可作线性运算 。所以先假定积分球内的分子都 作用的势函数来定义 :( ) 是液体分子 , 对式 2的截断半径取有限值 , 得 ψ( ) () r22R c( )( ) 4 ψπg r= exp [ - ] 5 ψl l 54n (2) l 2 2 2 ) ( ) )( k T (g rd r 7 βl = r l + 2 r3 m ? r 5 r5 r a 式中 , T 为绝对温度 ; k 为波尔兹曼常量 。 在 假 定 条 件 ? 分子间的作用势 下 , 液体的径向分布 2 函数仍可取为 微观上讲 , 粒子间或分子间的作用势在决定 ψ( ) ()r2 l 液体的性质上起着很重要的作用 。在分子水平上 , ( ) gr= exp [ -] l k T 存在一个最基本的分子间的作用势 , 可以保证分 ( ) 8子或粒子间相互作用的强弱 , 通常为对势 。在液体 将图 1 所示的球冠内 中要精确描述分子间的作用势是非常困难的 , 目 充满 液 体 分 子 或 换 前常用并可比较合理地描述分子间作用势的表达 图 1 考虑壁面修正的 成固壁分子 , 可计算 式为 2 积分球示意图Δβ如下定义的: 2 Δβ= σσ1 12 6 ( ))( ψ( ) ε) ) 5 ( )( ( 9 r= 4[ - ] B - B s l r r 3 m π Θ 2 2R c εσψψ 5 52 式中 ,为势井的深度 , 即分子间的最大引力势能 ;为分l l ()2 2 ( ) B = n l r+g l θθυ ( ) lsi nd rddr2 θ 0 0h/ co s子的碰撞直径 。 ???r 5 r 5 r π Θ 2 2R σ(σ) cψ在 r = 处 , 分子间的势能为零 , 即= 0 , 显5 ψψ2 5 2 ss) θθυ( = n B r+ ssind rdds 2θ 0 0h/ co s???5 r r 5 r 然 , 该值大于分子的实际直径 。上述模型就是著 名 式中 , 下标 l 、s 分别表示球冠内是液体分子或固壁分子 。 的 L e nna r d - J o ne s 模型 , 该模型适用于非极性 分 子 。 那么 , 参考分子 o 点处的摩擦系数为 2 2 ( )β Δβ β10 = l + 3 各向同性物质壁面影响下的摩擦系数 4 基本参数的确定与计算结果 模型 目前分子理论大多是在作了一定简化的基础 由于固壁存在 , 使得摩擦系数的精确计算变 上得到的 。为了确保结果的正确 , 我们选用了对称 得异常困难 , 目前的理论尚不能处理这种问 。为 性好的液态氩 , 计算了微流道内液态氩的摩擦系 了考虑固壁存在对摩擦系数的影响 , 我们作了如 数 。假定固壁分子 - 氩分子间的作用势和氩分子 下两个假定 : ?固壁的存在不影响液体分子的分 - 氩分子间的作用势都取不同参数的 L e nna r d -布及液体分子间的作用力 ; ?对各向同性物质壁 ( ( ) ) J o ne s 势能形式 式 5。对于氩分子 - 氩分子间 面 , 固壁分子均匀分布 , 则固壁的径向分布函数为 ψ的作用势, 取分子动力学模拟中氩分子的典型l ( )2 ( ) g s r= 1 。这样摩擦系数模型就被大大简化 , 可 ε l ( = 值 , 即 = 120 Kkb 为 波 尔 兹 曼 常 量 , kb以求解了 。 kb - 23 β( ( ) ) ) σ摩擦系数的计算公式 式 2是在以参考 = 11 380 66 ×10 J / K ,l01 347 nm , nl= - 3 σσ 分子为坐标原点的球坐标系中的表达式 , 并且已 01 81l , 分 子 间 距dl = 11 07,l 分 子 质 量 m= 3 23 经完成了对角度的积分 。若不对角度进行积分 , 且 40 ×01 1/ N a kg , N a = 61 022 ×10。若令固壁 β 积分球的半径取有限值 ,的表达式应为 分子数密度 ns= Cn nl , Cn 为常数 , 则固壁的分子 π π 2 2R 3 c ψ n ψ2 d d2 (2) 1/ 2( / d β + = 氩分子间的作用 r( ) θθυ间距 dsl Cn 。固壁分子 -) = [g rsi nd rdd] 2 0 0r3 m???d r r d r a εσε 势参数= C,满足关系式sll sl ( )6 1 3 ( )d+ ds l 分子平 均密 度 n , 在液 体内 为 n, 固 壁内 为l σ2 C+ 1 sl n = = 3 σ dl l2 C nn。随着参考分子距壁面的距离不同 , 积分球内液s ( )2 ( ) σ, 则固壁的径向分布函数 gr= 1 。无论固 分布 假定流道半高为 H = C。由于分子不能被s Hl 穿透 , 所以在积分分子间力时 , d作为积分分子间 壁分子的排列是否符合点阵结构 , 对各向同性固 l 体 , 固壁分子分布均匀 。另外 , 固壁分子由于液体 力的积分下限 ; 又由于流道的对称性 , 积分上限取 = 10 , Cε = 10 。 H 。计算中取 C H = 100 , Cn分子的作用力而发 生的 位 置改 变都 是可 以 忽略 若积 分 球 内 全 为 液 体 分 子 , 积 分 下 限 取 的 。因此 , 假设 ?也是合理的 。 实际壁面 的影 响 12 - 1 σ( ) β11 07时 , 由式 7可得= 41 5397 ×10s。文 献 范 围 可能 比 上 述 计 算 结 果 l l 12 - 1 β大 ,但对液态氩 ,这种偏差应是很小的 ,上述计算 [ 8 ] 的结果为= 71 3 ×10s, 与我们的结果l 结果是可以接受的 。 数量级一致 。由于文献 [ 8 ] 没有说明积分的上下 限 , 我们推测差别可能来自于积分上下限的选取 。 参考文献 : σβ若我们将积分下限改为 11 008, 计算结果变为l l [ 1 ] Pf ahler J , Ha rley J , Bau H , et al . Ga s a nd L iquid 12 - 1 = 71 3 ×10s, 与文献 [ 8 ] 的结果一致 。但若取Flo w in Small Cha nnel s. A SM E Wi nter A nnual Meeting , Atla nta , GA ,1991 σ氩分子的典型值 , 取积分下限取 11 07则更合理 。 l Pf ahler J , Ha rley J , Bau H , et al . L iquid Tra ns2 [ 2 ] β图 2 给出了不考虑壁面修正的摩擦系数和l po rt i n Micro n a nd Submicro n Channel s. Senso r s β 考虑壁面修正的摩擦系数对应于量纲一壁面距Act uato r s A , 1990 , 21 - 23 : 431,434 β离的分布 。在靠近壁面处 , 壁面对的影响很大 , Peng X F , Pet er so n G P , Wa ng B X. Frictio nal [ 3 ] 但随着离壁距离的增加 , 壁面影响衰减很快 。在本 Flo w Characteri stic s of Water Flo wing t hro ugh Rec2 文计算条件下 , 壁面影响大约到第 8 层氩分子 , 即 t angula r Microcha nnel s Exp eriment . Heat Tra ns2 影响深度为 3 n m 左右 。 f er , 1994 , 7 : 249,264 Israelachvili J N . Inter molecula r and Surf ace Fo rce s [ 4 ] wit h Applicatio ns to Colloidal a nd Biolo gical Sys2 t ems. New Yo r k/ Lo ndo n : Academic Press , 1985 Ki r kwoo d J G. The St ati stical Mechanical Theo r y of [ 5 ] Tra nspo rt Processe s. I General t heo r y. J o ur nal of Chemical Physics , 1946 , 14 :180,201 Ki r kwoo d J G , Buff F P , Green M S. The Stati sti2 [ 6 ] cal Mechanical t heo r y of Transpo rt Proce sse s. ? The Coefficient s of Shear a nd Bul k Vi sco sit y of L iq2 uids. J o ur nal of Chemical Physic s , 1949 , 17 : 988 , 1 . 考虑壁面修正 2 . 不考虑壁面修正 994 图 2 摩擦系数与量纲一壁面距离的关系Ei senschitz R. The Steady No n - unifo r m Stat e fo r [ 7 ] a L iquid. Proceedings of t he Physical Societ y , Sec2 5 假设的合理性讨论 tio n A , 1949 ,62 :41,49 Billi ngto n E W , Tate A . The Physics of Defo r ma2 以上结果都是建立在两个假设的基础上得出 [ 8 ] 的 , 为了考察结果的正确性 , 需要讨论这两个假设 tio n a nd Flo w . New Yo r k : Mc Graw - Hill , 1981 的合理性 。 Xu B , Ooi K T , Wo ng T N , et al . St udy o n t he [ 9 ] Vi sco sit y of t he L iquid Flo wing in Micro geo met r y. 假设 ?是 :固壁的存在不影响液体分子的分 J o ur nal of Micro mecha nic s Microengineering , 1999 , 布及液体分子间的作用力 。从理论上讲 , 由于固壁 9 :377,384 分子的作用力 , 液体分子的分布必然改变 , 发生变 [ 10 ] Rice S A , Kir kwoo d J G. O n a n App ro ximate 形 。这种作用又会改变液体分子间的作用力 , 使该 Theo r y of Tra nspo rt in Dense Media . J o ur nal of 作用力也成为 h 的函数 。一般来说 , 液体分子的排 Chemical Physics , 1959 ,31 :901,908 布是比较致密的 , 让液体分子改变分布需要做很 () 编辑 卢湘帆大的功 , 说明液体分子间的相对位置不是可以轻 易被改变 , 或者不可能发生一定的改变 ; 另一方作者简介 :尤学一 , 男 , 1964 年生 。天津大学环境科学与工程学 院环境科学系教授 、博士研究生导师 。主要研究方向为微流控芯 面 , 我们考虑的分子为单元素分子氩 , 本身为非极 片 、生态环境数值模拟 、环境地理信息系统等 。发表 论文 30 余 性分子 , 再加上分子体积小 , 氩分子不易变形 。因 篇 。郑湘君 ,女 ,1979 年生 。天津大学环境科学与工程学院环境 此 , 至少在讨论液态氩时 , 假设 ?是合理的 。 科学系硕士研究生 。李 丹 ,女 ,1980 年生 。天津大学环境科学 与工程学院环境科学系硕士研究生 。 假设 ?是 : 对各向同性固体 , 固壁分子均匀