一元三次方程求根公式

一元三次方程求根公式 盛金公式 三次方程新解法——盛金公式解题法 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。 盛金公式(Shengjin's Formulas) 一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，(a，b，c，d?R，且a?0)。 重根判别式:A=b^2,3ac;B=bc,9ad;C=c^2,3bd， 总判别式:Δ=B^2,4AC。 当A=B=0时，盛金公式?: X1=X2=X3=,b/(3a)=,c/b=,3d/c。 当Δ=B^2,4AC>0时，盛金公式?: X1=(,b,(Y1)^(1/3),(Y2)^(1/3))/(3a); X2，X3=(,2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)?3^(1/2)((Y1)^(1/3) ,(Y2)^(1/3))i/(6a)， 其中Y1，Y2=Ab+3a(,B?(B^2,4AC)^(1/2))/2，i^2=,1。 当Δ=B^2,4AC=0时，盛金公式?: X1=,b/a+K;X2=X3=,K/2， 其中K=B/A，(A?0)。 当Δ=B^2,4AC<0时，盛金公式?: X1=(,b,2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a); X2，X3=(,b+A^(1/2)(cos(θ/3)?3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)， 其中θ=arccosT，T= (2Ab,3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，,10时，方程有一个实根和一对共轭虚根; ? 当Δ=B^2,4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根; ?当Δ=B^2,4AC<0时，方程有三个不相等的实根。 编辑本段盛金定理 盛金定理(Shengjin's Theorems) 当b=0，c=0时，盛金公式?无意义;当A=0时，盛金公式?无意义;当A?0时，盛金公式?无意义;当T<-1或T>1时，盛金公式?无意义。 当b=0，c=0时，盛金公式?是否成立,盛金公式?与盛金公式?是否存在A?0的值,盛金公式?是否存在T<-1或T>1的值,盛金定理给出如 下回答: 盛金定理1:当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0(此时，方程有一个三重实根0，盛金公式?仍成立)。 盛金定理2:当A=B=0时，若b?0，则必定有c?0(此时,适用盛金公式?解题)。 盛金定理3:当A=B=0时，则必定有C=0(此时,适用盛金公式?解题)。 盛金定理4:当A=0时，若B?0，则必定有Δ>0(此时，适用盛金公式?解题)。 盛金定理5:当A<0时，则必定有Δ>0(此时，适用盛金公式?解题)。 盛金定理6:当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0(此时，适用盛金公式?解题)。 盛金定理7:当Δ=0时，若B?0，盛金公式?一定不存在A?0的值(此时，适用盛金公式?解题)。 盛金定理8:当Δ<0时，盛金公式?一定不存在A?0的值。(此时，适用盛金公式?解题)。 盛金定理9:当Δ<0时，盛金公式?一定不存在T?-1或T?1的值，即T出现的值必定是-10时，不一定有A<0。 盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。 当Δ=0(d?0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高;盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2,3ac;B=bc,9ad;C=c^2,3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2,4AC也是最简明的式子(是非常美妙的式子)，其形状与一元二次方程的根的判别式相同;盛金公式?中的式子(,B?(B^2,4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。 以上结论，发表在《海南师范学院学报(自然科学版)》(第2卷，第2期;1989年12月，中国海南。国内统一刊号:CN46-1014)，第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。(NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2;Dec，1989), A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.，Fan Shengjin. PP?91—98 . 编辑本段传统解法 一元 三次ax^3 +bx^2+cx+d=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔?花木子米给出。南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。 (《数学九章》等) 编辑本段方程公式历史 一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的求根公式是1545年由意大利学者卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式(有的数学资料叫“卡尔丹公式”)。可是事实上，发现公式的人并不是卡当本人，而是塔塔利亚(Tartaglia N.，约1499~1557)。发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。 尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。 卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道:“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。 塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩 论。 许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论，可是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的;卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃;而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公式;称为卡当公式是历史的误会。 一元三次方程应有三个根。塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。 塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。这时，意大利数学家卡当出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡当对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三次方程式的秘密。塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡当。六年以后，卡当不顾原来的信约，在他的著作《关于代数的大法》中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把这个方法叫作“卡当公式”塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。 至于一元四次方程ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡当的学生费拉里找到了。 关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位(即-1开根)。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、 欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶

分析

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、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具。 一元三次、四次方程求根公式找到后，人们在努力寻找一元五次方程求根公式，三百年过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。 后来年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实， n次方程(n?5)没有公式解。不过，对这个问题的研究，其实并没结束，因为人们发现有些n次方程(n?5)可有求根公式。那么又是什么样的一元n次方程才没没有求根公式呢, 不久，这一问题在19世纪上半期，被法国数学家伽罗华利用他创造的全新的数学方法所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。 编辑本段一元三次方程求根公式 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如 ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 卡尔丹公式的推导 第一步: ax^3+bx^2+cx+d=0 为了方便，约去a得到 x^3+kx^2+mx+n=0 令x=y-k/3 ， 代入方程 (y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ， (y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ， k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ， 所以相加后y^2抵消 ， 得到y^3+py+q=0， 其中p=(-k^2/3)+m ， q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。 第二步: 方程x^3+px+q=0的三个根为: x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3); x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3); x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)， 其中 w=(-1+i?3)/2。 ×推导过程: 1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i?3/2=ω，x3=-1/2-i?3/2=ω^2 ; 2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ， 3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a?0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。 再令x=y-s/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。 设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得: (u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ?， 如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则?成立， 由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。 解之得，y=-q/2?((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)， 不妨设 A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/ 2)， 则u^3=A;v^3=B ， u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ; v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ， 但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解: u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3); u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2; u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω， 最后: 方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即 x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3); x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2; x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 卡尔丹公式 方程x^3+px+q=0，(p，q?R) 判别式?=(q/2)^2+(p/3)^3。 x1=A^(1/3)+B^(1/3); x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2; x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 这就是著名的卡尔丹公式。 卡尔丹判别法 当?=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根; 当?=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等; 当?=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。 编辑本段根与系数的关系 设ax^3+bx^2+cx+d=0(a?0)的三根为x1，x2，x3，则 x1+x2+x3=-b/a; x1x2+x2x3+x1x3=c/a; x1x2x3=-d/a。 编辑本段一个三次方求根计算方法 下面介绍一个三次方求根计算方法: X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3 n,n+1是下角标，A被开方数。 例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1;1.2;1.3;1.4;1.5;1.6;1.7;1.8;1.9;2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么: 第一步，2+[5/(2×2)-2]×1/3=1.7=X1; 第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2; 第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3; 每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。