直线的方向向量

直线的方向向量 A(30? B(45? 3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程 (60? D(90? C一、选择题 ?AC||11(点A(,3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是( ) A(4,1,3)，B(2，,5,1)，C为线段AB上一点且C的坐标为6(已知点,，则点?3|AB|71,,,,，1，,2，2，3A. B. ,,,,22,,,,( ) 14,,7153,,,,,12，3，5()，，,2C. D. ,,，,，，,3，2A. B. ,,,,33,,2228,,,, 2??107573,,,,2(已知点A(3,3，,5)，B(2，,3,1)，C为线段AB上一点，且AC,AB，则点C的坐，,1，,，C. D. ,,,,333222,,,,标为( ) 7(如图，在正方体ABCD—ABCD中，E、F、G、H分别是AA、AB、BB、BC的中点，11111111 7153则异面直线EF与GH所成的角等于( ) A((，,，) B((，,3,2) 2228 7573C((，,1，,1) D((，,，) A(45? B(60? 3222 C(90? D(120? 3(若异面直线l，l的方向向量分别是a,(0，,2，,1)，b,(2,0,4)，则异面直线12 8(在正四棱柱ABCD—ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，111111l与l的夹角的余弦值等于( ) 12 则以下结论中不成立的是( ) 22A(, B. 55A(EF与BB垂直 1 B(EF与BD垂直 2525C(, D. 55C(EF与CD异面 4(已知向量a,(2,3,5)，b,(3，x，y)分别是直线l、l的方向向量，若l?l，则1212D(EF与AC异面 11 ( ) 9159(在正方体AC中，PQ与直线AD和AC都垂直，则直线PQ与BD111A(x,，y,15 B(x,3，y, 22 的关系是( ) 915C(x,3，y,15 D(x,，y, A(异面直线 B(平行直线 22 C(垂直不相交 D(垂直且相交 5(已知a，b是异面直线，A，B?a，C，D?b，AC?b，BD?b且AB,2，CD,1，则a 与b所成的角是( ) l的方向向量a,(2,4，x)，直线l的方向向量b,(2，y,2)，若|a|,10(已知直线 12 6，且a?b，则x，y的值是( ) A(,3或1 B(3或,1 C(,3 D(1 二、填空题 11(已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(,1,0，,1)、(2,1,1)，点P的坐标为O是正?ABC平面外一点，若OA,OB,OC,AB17(如图，点 (x,0，z)，若PA?AB，PA?AC，则P点的坐标为________( ,1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦( 12(已知A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，则点D的坐标为 ________( 18(如图所示，在长方体OABC,OABC中，|OA|,2，|AB|1111 13(已知直线l的方向向量v,(2，,1,3)，且过A(0，y,3)和B(,1,2，z)两点，则y,3，|AA|,2，E是BC的中点( 1 ,______，z,______. 114(已知两异面直线l和l的方向向量分别为v和v，若cos〈v，v〉,,，则l12121212 与l所成的角为________________( 2 三、解答题 (1)求直线AO与BE所成角的大小; 11 15(已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，,5)，若点P(x，,1，3)在平面ABC内，求x 的值( 16(已知三棱锥O—ABC中，OA,OB,1，OC,2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程 D，使BD?AC，DC?AB? 一、选择题 1(点A(,3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是( ) 71,,,,，1，,2，2，3A. B. ,,,, 22,,,, 14a,(2,3,5)，b,(3，x，y)分别是直线l、l的方向向量，若l?l，则4(已知向量1212,,,12，3，5()，，,2 D. C.,,33,,( ) [] B 915A(x,，y,15 B(x,3，y, 22[解析] 由中点坐标公式可得B. 2915??2(已知点A(3,3，,5)，B(2，,3,1)，C为线段AB上一点，且AC,AB，则点C的坐C(x,3，y,15 D(x,，y, 322 标为( ) [答案] D 7153xy3A((，,，) B((，,3,2) [解析] ?l?l，?a?b，?,,， 122228235 7573915C((，,1，,1) D((，,，) ?x,，y,. 322222 [答案] C 5(已知a，b是异面直线，A，B?a，C，D?b，AC?b，BD?b且AB,2，CD,1，则a ?与b所成的角是( ) [解析] 设C(x，y，z)，AC,(x,3，y,3，z，5) A(30? B(45? 2,(,1，,6,6) 3C(60? D(90? 7[答案] C 解得x,，y,,1，z,,1. 3??[解析] 直线a，b的方向向量分别为AB，CD， 3(若异面直线l，l的方向向量分别是a,(0，,2，,1)，b,(2,0,4)，则异面直线12 ?????AB,AC，CD，DB， l与l的夹角的余弦值等于( ) 12 ???????22?AB?CD,AC?CD，CD2，DB?CD， A(, B. 55??即2?1?cos〈AB，CD〉,1 2525C(, D. 155???cos〈AB，CD〉,， 2[答案] B ??即〈AB，CD〉,60?.故选C. [解析] a?b,,4，|a|,5，|b|,25， ?a?b,42AC||1,,,,cosθ,|cos〈a?b〉|,,. ,,,,,6(已知点A(4,1,3)，B(2，,5,1)，C为线段AB上一点且C的坐标为,，则点|a||b|105?3,,,,|AB| ( ) 17153,,,,,，,，，,3，2 B. A.,,,,422281,,,,??EF，GH〉,,,. ?cos〈222107573,,,,?，,1，,，C. D. ,,,,2233222,,,, ??[答案] C ?〈EF，GH〉,120?， ??异面直线EF，GH成60?角( AC||1[解析] 设C(x，y，z)，?C为线段AB上一点且,. ?38(在正四棱柱ABCD—ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，则以111111|AB| 下结论中不成立的是( ) 1???AC,AB， 3A(EF与BB垂直 1 1B(EF与BD垂直 即(x,4，y,1，z,3),(,2，,6，,2)， 3C(EF与CD异面 107?x,，y,,1，z,. D(EF与AC异面 1133 [答案] D 7(如图，在正方体ABCD—ABCD中，E、F、G、H分别是AA、AB、BB、BC的中点，11111111 [解析] 建立空间直角坐标系后，验证A、B、C正确，故选D. 则异面直线EF与GH所成的角等于( ) 9(在正方体AC中，PQ与直线AD和AC都垂直，则直线PQ与BD111 的关系是( ) A(异面直线 B(平行直线 C(垂直不相交 D(垂直且相交 [答案] B A(45? B(60? [解析] 取D点为坐标原点建系后， C(90? D(120? ??DA,(1,0,1)，AC,(,1,1,0)， 1[答案] B a，c,0[解析] 取D点为坐标原点，DA，DC，DD为x，y，z轴建系，设棱长为1， 1,?设PQ,(a，b，c)，则 , ,a，b,0，,1111,,,,??0，，,,，0，则EF,，GH,， ,,,,2222,,,,?取PQ,(1,1，,1)( ???BD,(0,0,1),(1,1,0),(,1，,1,1),,PQ， 1 ??l的方向向量v,(2，,1,3)，且过A(0，y,3)和B(,1,2，z)两点，则y13(已知直线PQ?BD，?PQ?BD. ?11 ,______，z,______. 10(已知直线l的方向向量a,(2,4，x)，直线l的方向向量b,(2，y,2)，若|a|,12 336，且a?b，则x，y的值是( ) [答案] 22A(,3或1 B(3或,1 ??[解析] ?v?AB，而AB,(,1,2,y，z,3) C(,3 D(1 ,12,yz,3[答案] A ?, ,2,13[解析] ?|a|,6，?x,?4. 33?y,，z,. 又a?b，?2y，x，2,0. 22当x,4时y,,3，x，y,1; 114(已知两异面直线l和l的方向向量分别为v和v，若cos〈v，v〉,,，则l12121212当x,,4时y,1，x，y,,3.故选A. 与l所成的角为________________( 2二、填空题 [答案] 60? 11(已知点A、B、C的坐标分别为(0,1,0)、(,1,0，,1)、(2,1,1)，点P的坐标为 [解析] 由异面直线夹角的范围可得( (x,0，z)，若PA?AB，PA?AC，则P点的坐标为________( 三、解答题 [答案] (,1,0,2) 15(已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，,5)，若点P(x，,1，3)在平面ABC内，求x???[解析] 由已知，AB,(,1，,1，,1)，AC,(2,0,1)，PA,(,x,1，,z)， 的值( ??,PA?AB,0x,1，z,0x,,1,,,?[解析] AB,(,2,2,2)， 由，得，解得. ,,, ??,2x,z,0z,2,,,PA?AC,0,??AC,(,1,6，,8)，AP,(x,4，,2,0)( ?P(,1,0,2)( ???因为点P在平面ABC内，则存在一对实数λ，μ，使得AP,λAB，μAC. 12(已知A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)，且ABCD是平行四边形，则点D的坐标为 x,4,,2λ,μ，________( , ,2,2λ，6μ，故解得x,11. ,[答案] (1,2,0) ,0,,2λ,8μ.???[解析] BC,(,2，,2,0)，而AD,BC， 16(已知三棱锥O—ABC中，OA,OB,1，OC,2，OA，OB，OC两两垂直，试找出一点 ????OD,BC，OA,(,2，,2,0)，(3,4,0),(1,2,0)， D，使BD?AC，DC?AB? ?D点坐标为(1,2,0)( A(1,0,0)，[解析] 建立如右图所示的空间直角坐标系，则 B(0,1,0)，C(0,0,2)，设所求点D(x，y，z)( ????由BD?AC，DC?AB?BD?AC.DC?AB， 因此 AO与BE所成角的大小; (1)求直线11 (x，y,1，z),k(,1，0，2)，1,(2)作OD?AC于D，求点O到点D的距离( ,11 (,x，,y，2,z),k(,1，1，0)，,2 [解析] 如图所示，建立空间直角坐标系( x,,1，(1)由题设知，A(2,0,0)，O(0,0,2)， 1, y,1，?D点的坐标为(,1,1,2)( 即,B(2,3,2)，E(1,3,0) 1 ,z,2. ???AO,(,2,0,2)，BE,(,1,0，,2)( 1117(如图，点O是正?ABC平面外一点，若OA,OB,OC,AB ,210??,1，E、F分别是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦( ?cos,,,. 1110210???[解析] 设OA,a，OB,b，OC,c，则a?b,b?c,c?a,10?AO与BE所成角的大小为arccos. 11110，|a|,|b|,|c|,1， 2 ????(2)由题意得OD?AC，AD?AC. 111,,??c,bOE?BF,(a，b)? ,,22?C(0,3,0)，设D(x，y,0)， ,, ??111,,2?OD,(x，y，,2)，AD,(x,2，y,0)， 1a?c，b?c,a?b,|b|, ,,222,, ?AC,(,2,3,0) 11111,,，,,1,,,， ,,44222,,18,2x，3y,0，x,，,,,13,11812,???D(，，0)( ,??x,2y,2OE?BF21313??12,， ,?cos〈OE，BF〉,,,,. ,23y,.,,??333,13|OE|?|BF|?22 1812?222?|OD|,(,0)，(,0)，(0,2) 211313?OE与BF所成角的余弦为. 3 228618(如图所示，在长方体OABC,OABC中，|OA|,2，|AB|,3，|AA|,2，E是BC的11111,. 13 中点(