分离参数法求二次方程在区间上有解时参数范围

分离参数法求二次方程在区间上有解时参数范围 江西省乐安县第一中学 黄绍荣 344300 2[1,5]a题1:已知方程 在区间上有解,求的取值范围; 微xxa，,,20 2[1,5]a微题2:已知方程 在区间上有解,求的取值范围; axx，,,20 2[1,5]a微题3:已知方程 在区间上有解,求的取值范围. xax，,,20 2[1,5]a微练习:已知方程 在区间上有解,求的取值范围. xax，，,20 微思想:在方程有解(解的存在性)求参数范围的问题中，分离参数可使问题转化为求函数值 域，这是一种避免分类讨论、化繁为简、通用性强的解题策略。 2[1,5]a微题1:已知方程 在区间上有解,求的取值范围; xxa，,,20 2[1,5]解:原问题 在区间上有解 2axx,，, 2x,[1,5]fx() 令，，于是的取值范围就是的值域. 2afxxx(),， 1fx()fx()[1,5]fx()[2,30]x,, 在R上的对称轴为在上是递增的，易得的值域为 ,2 [1,15]a 所以的取值范围是 微点评:在方程解的存在性问题中,运用分离参数的方法,将问题转化为求值域,有时比数形结合的方法更方便、更简洁. 2[1,5]a微题2:已知方程 在区间上有解,求的取值范围; axx，,,20 aaa微分析:如果用二次函数的知识解本题，那么首先要讨论是否为0,然后要对>0及<0两种情况进行分类讨论,而且对轴与区间的位置关系须作进一步的讨论, 有一解还是两解也得讨论一 x,[1,5]下,这样一来,解题过程会显得非常杂，难度很大. 然而,从另一个角度,考虑到,其中不含0,这为分离参数提供了便利条件. 221,x[1,5]解: 原问题 在区间上有解 a,,,,22xxx 112[,1]令tx,,,[1,5], 于是原问题 在区间上有解 att,,2,5x 12ft()at,[,1]令,, 于是的取值范围就是的值域. fttt()2,,5 11ft()a[,1],[,1],不难求得的值域是， 所以的取值范围是 88 微点评:在上面这种分离参数的解法中,对二次项系数不必作任何讨论,就直接将问题转化为一个简单的求值域问题. 2[1,5]a微题3:已知方程 在区间上有解,求的取值范围. xax，,,20 222,xx,[1,5]解: 原问题， ax,,,,xx 2x,[1,5]fxx(),,令， x 23fx()[,1],显然是一个减函数，易求得其值域为 5 23a[,1],所以的取值范围是 5 2[1,5]a微练习:已知方程 在区间上有解,求的取值范围. xax，，,20 2x，22[1,5]解: 原问题在上有解. ,,,，ax,xx 2x,[1,5]令fxx(),，，， x 27fx()fx()显然的图像是对钩函数的一部分,易求得的值域为[22,] 5 2727,aa所以的取值范围是[22,], 从而的取值范围是 [,22],,55 :以上几个问题的求解过程表明,在二次方程有解的问题中，无论参数出现在二次系数、一次项系数，还是出现在常数项，分离参数之后的函数不再含参数，而且这个函数要么仍然是二次函数(如微题1),要么换元后是二次函数(如微题2),要么是一个单调函数(如微题3),要么是一个对钩函数(如微练习),无论是其中的哪一种函数,其值域都是很容易求的.所以二次方程有解求参数范围问题中,分离参数法比分类讨论、数形结合等方法更快捷、更高效。