基于美式看跌期权的再装期权定价

基于美式看跌期权的再装期权定价 第23卷第2期 2009年5月JOURNALOF 五邑大学学报(自然科学版) WUYIUNIVERSITY(NaturalScienceEdition) Vb1.23 May No.2 2009 文章编号:l006.7302(2009)02.0033.04 基于美式看跌期权的再装期权定价 胡煜寒,姜本源,颜涵,谭力珊 (辽宁科技大学理学院,辽宁鞍山114051) 摘要:基于美式看跌期权的特点,采用二叉树模型,得到了考虑红利支付情况下的美式再装期 权的定价模型,并通过实例分析了再装期权对传统美式看跌期权的影响. 关键词:期权;再装期权;二叉树模型 中图分类号:02l1.9文献标识码:A ValuationofReloadOptionsBasedonAmerican-styiePutOptions HUYu-ban,JIANGBen-yuan,YANHan,TANM-shan (SchoolofScience,UniversityofScienceandTechnologyLiaoning,Anshan114051,China) Abstract:BasedonthecharacteristicsofAmerican—styleputoption,thispaper,byusingabinomial model,getsthepricingmodelofAmericanreloadoptionwithdividendpayment.Atthesametime,the paperanalyzestheimpactofreloadoptionontraditionalAmerican—styleputoptions. Keywords:options;reloadoptions;binomialmodel 传统的美式看跌期权是指期权持有者有权在期权到期日之前任一确定时间以确定的价格执行 期权.再装期权是一种新型的欧式看跌期权,它允许期权持有者在到期日之前的一个或多个特定日 期执行欧式看跌期权且保证期权处于实值状态,同时获得一个数量为被执行期权的执行价格与执行 日股票价格的比,到期日不变,执行价格为执行日股票价格的新的欧式看跌期权. 近年来,再装期权的定价问题在国内外得到了广泛的研究.傅强等人对股票价格服从指数o-u 过程的再装期权定价以及再装期权在经理激励中的应用等问题做了比较深入的研究【卜1.Hemmer】 等人考虑了再装期权在实际应用中的多种形式,给出了最佳执行策略,用二叉树模型161评估了一个 基于股票价格利率为常数的再装期权价值.Salyt1等人使用二叉树模型评估了一个限制执行次数的 再装期权价值.实践证明,二叉树模型是一种非常灵活的定价方法,它能够透明地处理期权的各种 特征,让使用者对期权价值的来源有一个比较直观的认识和了解.本文使用二叉树模型,推导了基 于美式看跌期权的再装期权定价模型,并且考虑了是否支付红利的问题,通过实例探讨了再装期权 对传统美式看跌期权的影响. 1二叉树模型简介 设标的资产价格为,服从对数正态分布,波动率为,无风险利率为,.,7’为初始日至到期 收稿日期:2008-l卜l2 基金项目:辽宁省教育科学”十一五”规划2008年度基金资助项目(JB08DB028) 作者简介:胡煜寒(1975一),男,陕西周至人,讲师,硕士,研究方向:金融数学,E-mail:anshanhyh@163.com 五邑大学学报(自然科学版)2009年 日的时间,对一个?期的二叉树而吉,每一期的长度At=T/N,标的资产价格变化只有上升或者下 降两种可能.上升因子为”:e,下降因子为d=e-O,风险中性概率为P:.一 口 2再装期权定价模型 2.1不支付红利的再装期权定价模型 假设一个不支付红利股票的美式看跌期权的有效期被分为个长度为?f的小段.设.,表示 /At时刻第个节点的美式期权价格,其中0f?N,0J?N.在节点(f,_,)处的股票价格为d. 由美式看跌期权在到期日的价值为ma)({一,0),可知: . ,=max{X—Suds-j,0),_,=0,l,…,Jv.(1) 在时刻从节点(f,.,)向(i+I)Af时刻的节点(f+l,1)移动的概率为P,在时刻从节点(f’.,)向 (i+1)At时刻的节点(什1,)移动的概率为l—P. 若不提前执行,依据风险中性估价公式,则节点(f,_,)处的美式期权为: . J=e-rAt【尼,:+l, I+(1一p)+1.】,0?7sN—l,0?Ji.(2) 若提前执行,考虑到期权的内涵价值,则节点(,,_,)处的美式期权为: max{X—Sud’-j,e-r~#【+(1一p),】)f, l.,=max{X—Sud~C-J,0} 由上式可以推导出不支付红利的美式再装期权价格的递推公式为: , (,,,,,)=ma)c{【一+刍,,(m—l,s/,)】’ e-rAt【+I,川(,So,X)+(1-p)f(m,So,)】>.(4) .』 (册,,)=max{X一,0),0fN,O<j<i,=Sud卜 其中. ,(肘,So,)表示再装次数为,起始价格为,在节点(f,_,)处到期日不变,执行价格为的 再装期权价格;., (,,)表示到期日美式再装期权价格,以此价格作为边界条件向前推出各节 点_,)处的美式再装期权价格.,, So,X),然后再按照求欧式看跌期权价格的方法从iAt时刻各个 节点开始向前推,从而求得初始时刻(i=0,-,=0)该美式再装期权的价格..(肌,&,). 考虑最简单的情形:假设m=l,即只再装一次,则, 一 1,,)表示获得的数量为, 执行价格为执行日股票价格()的欧式看跌期权的价值.当m=0时,,, (0,So,)表示不能再装,则 此时就当作传统欧式看跌期权价格来算. 2.2支付红利时的再装期权定价模型 假设股票价格由两部分组成:一部分是不确定的,而另一部分是期权有效期内所有未来红利的 现值.假设在期权有效期内只有一个除息日f,而且/cat?f?(k+1)A/. 在时刻股价不确定部分的价值为: .s’= {一.0砌,,三.c5 第23卷第2期胡煜寒等:基于美式看跌期权的再装期权定价35 其中D是红利. 设’是’的标准差,R为常数,将其作为波动率代入二叉树模型中,计算相应的参数,从而 构造的二叉树图.通过未来红利(如果有的话)的现值加在每个节点的股票价格上,就会使原来 的二叉树图转化为另一个新的二叉树图.在,?,时刻,当iAtf时,这个树图上的节点所对应的股票 价格为S’材d+De’,J=O,l,…,i;当iAt>r时,这个数图上的节点所对应的股票价格为 S’l,d,J=0,?,i.这样在,?,时刻就只有,+1个节点了. 于是在已知红利数额的情况下.传统美式看跌期权为: = S”uJdi- e J , l’1一(6) 考虑到运算的复杂程度,上述价格变动模型可以由Matlab程序实现t.1. 将式(6)得到的代人式(4)中就可以得到支付红利时的美式再装期权定价模型,形式上与 式(4)完全相同. 3实例 在已知红利数额的情况下,计算传统美式看跌期权的价格和美式再装期权的价格.已知:股票 价格为=40,无风险收益率为,.=8%,期权有效期为T=5m,波动率的标准差为O.38,在三个半 月(折合时间为3.5)发放红利D=1.82元,看跌期权执行价格=36元.取?=5.At=l,则 e--1.0067,风险中性概率为P--0.5032.建立二叉树,如图1所示. r_i-磊 k —p/,~54.93110531172/1Q『,,, 7.1533 N3O.6925 5.3075 图1传统美式看跌期权价格树图 根据式(6),由二叉树图从后向前递推,可以计算出传统美式看跌期权的价格为2.2659. 下面考虑基于上述美式看跌期权的再装期权价格. 以JV点,即节点(4,3)为例,考虑再装一次时的再装期权. 根据前面推出的已知红利数额美式再装期权模型公式: 36五邑大学学报(自然科学版)2OO9年 ,,)=max{[一+一l,,)】, e一,【+1.川(,,)+(1一p)+I.J(,,)】). , ,,)=max{X一,0}(其中按照式(6)计算) 将相关数据代人.可以计算出该节点的美式再装期权价格. . 3(,,)=. (=l,=40,=36), 即-3(1,40,36):max{【一+专o,,)】,【0.5032f~.3(1,40,36)+0.4968f5.4(1,4o,36)】), 记口=—s3+毒,,(o,,爰),6【0.5032A,3(1,40,36)+0?4968f5.(1,40,36)】? 1)计算口的值一 .,(0,,),由于m=0,表示不能再装.由再装期权定义,.,(0,,)是一个到期日不变执 行价格为执行日股票价格(即X=)的新的欧式看跌期权价值. 由欧式看跌期权公式:. , (0,,)而1【. ,(0,霹,X=)+(1).(0,,=)】? 由边界条件.,(,,)=max{X一,0}得: I.3(0,,=)=max{S,’一,0}=max{30.692s一34.2509,0)=0, I.(o,,=)=max{~一,0}=max{30.6925—27.5037,o)=3.1888. 代入得:., (0,,)=—0+— 0 一_i.4968x3.一1888=1.5737. 因此,口=一+妄l3(o,,)=36-30.6925+36×1.5737=7.1533. 2)计算b的值 由边界条件.,(,,)=max{X-,0}得: l,3(1,40,36)=max{36一,0)=max{36-34.2509,0}=1.749l, I-,;.4(1,40,36)=max{36一,0’=max{36—27.5037,0}=8.4963. 代入得:6il【o?5o32. )(1,40,36)+0.4968fs.(1,40,36)】=5-0672? 所以,.3(1,40,36)=max{a,b)=max{7.1533,5.0672}=7.1533,这就是?节点(4,3)的美式再装期 权价格. 按传统美式看跌期权二叉树模型,从N节点(4,3)开始向前求出每个节点的期权价格,最后求得 初始时刻的美式再装期权价格. .(,,)=fo..(1,40,36)=2.2087. 传统美式看跌期权价格为2.2659,而初始时刻i=0时的美式再装期权价格为2.2087<2.2659, 说明美式再装看跌期权的价格小于传统美式看跌期权的价格,因此若忽略该美式再装特性,传统美 式看跌期权价格影响较小. 实例只选择在节点(4,3)再装一次期权得到初始时刻的美式再装期权的价格,同理也可以选择在 期权有效期内的其它任意节点(f,)处再装,根据同样的方法可得到相应的初始节点的美式再装期权 价格.对于再装多次的情况,也可以依照此方法计算. (下转第78页) 78五邑大学学报(自然科学版)2009缸 【2】 【3】 【4】 【5】 【6】 【7】 ofMathematics,1995. 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