[试
]作用力和反作用力做功
作用力和反作用力做功
引言
牛顿第三运动定律告诉我们,作用力和反作用力是大小相等,方向相反的,在解决质点组动力学问题时,经常要涉及到作用力和反作用力做功问题。根据牛顿第三定律知作用力和反作用力是大小相等、方向相反的,作用力和反作用力所做的功是不是总是大小相等、方向相反,代数和总是为零,作用力和反作用力做功及其代数和与参考系的选取有什么关系呢?
1 作用力与反作用力的做功并不一定是大小相等、方向相反
,, 在质点组内任选两个质点1和2,它们之间的作用力与反作用力为和,二质FF1221
,,点相对选定的参照系的位置矢量分别为和,如图1所示,二质点分别沿图1中的虚rr21
线轨迹运动,根据功的定义,和F做功分别为 F2112
,,,,WFdr,,WFdr,, 11212212,,
,,在式中由于,作用力和反作用力作用于不同的质点,二质点沿不同的路径运,,FF2112
F动,所以和所作用的质点的位移是相互独立的,因此尽管每时每刻作用力和反F2112
,,,,WWdr作用力大小相等,方向相反,,但和确不一定等值反号,只要与,,FFF121211212
,,dr的夹角为锐角,与的夹角也为锐角,这对作用力与反作用力就可以同时做正功;F221
同理若都为钝角,则都做负工,同时也会出现一个为零,即一个做功一个不做功的情况。
,,,,,drFdrdr将分解为与水平方向和垂直方向的二分位移和,力只在平行的分位移r12
,,,FdrF上起做功,如图b所示,力在方向上的投影为,于是做功r2r
,,ˆˆ dAFrdrrFdr,,,()rr
,,ˆ为上的单位矢量,由此式进一步
明二质点作用力和反作用力的做功之和决定于rr
dAdr力和质点间相对距离的改变。元功的正负由和的正负决定,只有当二质点沿Fr
力的方向上无相对运动时,作用力和反作用力的和等于0~
例,开普勒第三运动定律指出,行星绕太阳作椭圆运动,太阳位于椭圆的一个焦点上,若两行星在太空中作大小不等的椭圆运动,当他们分别由各自的远日点向近日点运动时,他们之间的万有引力分别与受力点的位移夹锐角,如图2 所示,所以这对作用力与反作用力同时做正功,当他们分别由近日点向远日点运动时,他们之间的万有引力和受力点的位移夹钝角,这时候作用力和反作用力做负工。
2 作用力与反作用的做功之和与选取的坐标无关
2.1 在 K 系中,作用力、反作用力做功的代数和
,,,,,,, dA,dA,dA,F,dr,F,dr12121212
FF,,由于 1221
dAFdrFdrFdrr,,,,,,,() 1211221212
rr,rrr,,drdrr,,()式中的是质点1相对于2的位置矢量,令,则表示质点1相121212
对于质点2的元位移,则
dAFdr, 12
2.2 在 K′系中,作用力、反作用力做功的代数和
''' dA,dA,dA,F,dr,F,dr12121212由于 FF,,1221
''''' 由图可知,= rr,dAFdrr,,,'()rr,,r12121212
'所以 由以上分析可知作用力和反作用力做功的代数和与坐标系选取无关。dAFdr,12