每周一讲第7讲可导可微与连续的关系

可导、可微以及连续之间的关系 ?讲义内容:设函数在的邻域内有定义，如果在处可导，那么在处xxxfx()fx()fx()000必然连续. fxfx,，，，，0?讲解:函数在处可导，即存在，由于时，分母 fxxxx,lim，，00xx,0xx,0 ，故分子，即函数在处连续。但是，这个命 fxxx,,0xlim0fxfx,,，，，，，，，，000，，xx,0 x,0题的逆命题不成立，如在点处是连续但不可导的。另外，我们也可以从图fxx,，， 形的角度区别可导与连续，可导指的是函数的图像是一条光滑的曲线，而连续是指函数的图像不间断。 ?讲义内容:设函数在的邻域内有定义，那么函数在处可微与函数在xxfx()fx()fx()00处可导是等价的，也就是说:可微必可导，可导必可微.进一步地，我们还可以得到fx()x0 '在处的微分dyfxx,,. x，，00 fx,,,，,,,yAxoxx,0?讲解:若函数在处可微，则。 x，，，，0 Axox,，,，，,y,limlim根据导数的定义，，故可微必可导。 fxA,,,，，0,,,,xx00,,xx ,y,ylimlimfx,A反之，若函数在x处可导，则存在，不妨记，得 ，，0,,x0,,x0,x,x ,y,,,yAx,,,,，即，由高阶无穷小的定义可知:lim0lim0,,,A,,,,,,x0,,x0,x,x,,,, ,,,,,,,yAxoxx,0,,,，,,,yAxoxx,0，也即，故可导必可微。 ，，，， fx,,,，,,,yAxoxx,0x从该证明过程中也可以看出，函数在处可微时，，其，，，，0 ,,Afxdyfxdx,,,中的。 ，，，，00 讲解:简单解释一下上述定理的意义: 首先，可导的函数必连续，这几乎是高等数学中最基本的结论之一了。它在解题时可以给我们一些隐藏的条件，只要题目中告诉了函数是可导的，也就意味着函数连续。 另外，透过可导与可微的关系，我们可以弄清楚微分的几何意义 同时，由于可导与可微等价，而微分的计算也等价与导数的计算，因此，对一元函数来说， 只要弄清了导数，也就弄清楚了微分。而导数无论从理解的角度还是从应用的角度都要比微 分方便很多，所以微积分将研究的重点放在了导数上。