对号函数[1]

对号函数[1] 对号函数 双曲线的一种 形如y=ax + b/x (a×b>0)的函数 特点如下: 1.对号函数是双曲线旋转得到的，所以也有渐近线、焦点、顶点等等 2.对号函数永远是奇函数，关于原点呈中心对称 3.对号函数的两条渐进线永远是y轴和y=ax 4.当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近线的锐角之间部分，由于其对称性，只讨论第一象限中的情形。利用平均值不等式(a>0，b>0且ab的值为定值时，a+b?2?(ab))可知最小值是2?(ab)，在x=根号下b/a的时候取得，所以在(0，?(b/a))上单调递减，在(?(b/a)，+?)上单调递增 5.当a>0,b<0时，图像分布在四个象限、两条渐近线的钝角之间部分，且两条分支都是单调递增的，无极值 6.a、b其他情况可以由4、5变换得到 7.对号函数常用于研究函数的最值和恒成立问题 8.对号函数极值在ax=b/x时取得，同特点4，此时x=根号(b/a)。在ax=b/x时取得极值可用导数证明，设y(x)=ax+b/x，则 y'(x)=(ax)'+(b/x)'=a-b*x^(-2)=a-b/x²，取y'(x)=0，则a-b/x²=0，所以a=b/x²，方程两边同时乘以x得ax=b/x，即在ax=b/x时对号函数取得极值。 9.由于形似对勾，所以叫它对号函数。 10.也叫耐克函数。 基本应用 利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，(当且仅当即时取等号)，由此可得函数(a>0,b>0,x?R+)的性质: 当时，函数(a>0,b>0,x?R+)有最小值，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。函数(a>0,b>0)在区间(0，)上是减函数，在区间(，+?)上是增函数。 因为函数(a>0,b>0)是奇函数，所以可得函数(a>0,b>0,x?R-)的性质: 当时，函数(a>0,b>0,x?R-)有最大值-，特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。函数(a>0,b>0)在区间(-?，-)上是增函数，在区间(-，0)上是减函数。 利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便。 补充 : 耐克函数 顶点坐标公式 :( |?(b/a) |,|2?(ab) |) , 象 限确定符号 。 函数y=ax+b/x的性质 ?当a、b均大于零时， 性质 ?定义域:x?0 ?值 域:(-?，-2 根号ab)?(2根号ab ，+?) ?奇偶性:奇函数 ?单调性:当x，0时，当0，x，根号b/a 时，y为减函数 当x，根号b/a 时，y为增函数 当x，0时，当- 根号b/a，x，0时，y为减函数 当x，-根号b/a 时，y为增函数 ?极 值: 当x，0时，当x= 根号b/a时，y最小=2根号ab 当x，0时，当x=- 根号b/a时，y最大=-2 根号ab ?对称性:图像关于原点对称 ?顶点坐标:(根号b/a ,2根号ab )、(-根号b/a ，-2根号ab ) ?渐近线:y轴和y=ax ?当a、b均小于零时 2. 性质: ?定义域:x?0 ?值 域:(-?，-2根号ab )?(2根号ab ，+?) ?奇偶性:奇函数 ?单调性: 当x，0时，当0，x，根号b/a 时，y为增函数 当x，根号b/a 时，y为减函数 当x，0时，当- 根号b/a，x，0时，y为增函数 当x，-根号b/a 时，y为减函数 ?极 值: 当x，0时，当x=根号b/a 时，y最大=2 根号ab 当x，0时，当x=- 根号b/a时，y最小=-2根号ab ?对称性:图像关于原点对称 ?顶点坐标:(根号b/a ,2 根号ab)、(- 根号b/a，-2根号ab ) ?渐近线:y轴和y=ax