2013年高考数学总温习 9-7 用向量方法证实平行与垂直(理) 新人教B版[精彩]

2013年高考数学总温习 9-7 用向量方法证实平行与垂直(理) 新人教B版[精彩] 2013年高考数学总复习 9-7 用向量方法证明平行与垂直(理) 新人教B版 ???? 1.已知正方体ABCD,ABCD中，E为侧面BCCB的中心(若AE,zAA，xAB，yAD，则x1111111，y，z的值为( ) 3A(1 B. 2 3C(2 D. 4 [答案] C ??????11[解析] ?AE,AB，BE,AB，AA，AD. 122 11?x，y，z,1，，,2. 22 2((2011?银川月考)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l?α的可能是( ) A(a,(1,0,0)，n,(,2,0,0) B(a,(1,3,5)，n,(1,0,1) C(a,(0,2,1)，n,(,1,0，,1) D(a,(1，,1,3)，n,(0,3,1) [答案] D [解析] 欲使l?α，应有n?a， ?n?a,0，故选D. 3(二面角α,l,β等于120?，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC?l，BD?l，且AB,AC,BD,1，则CD的长等于( ) A.2 B.3 C(2 D.5 [答案] C [解析] 如下图(?二面角α,l,β等于120?， ?? ?CA与BD夹角为60?. ??????? 由题设知，?，?，||,||,||,1，[来源:Z_xx_k.Com]CAABABBDABACBD ?????????????22222|CD|,|CA，AB，BD|,|CA|，|AB|，|BD|，2CA?AB，2AB?BD，2CA?BD,3，2×cos60?,4， ? ?|CD|,2. 4((2011?宁德模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(,2,1,6)，C(1，,1,5)(若|a|,3， ?? 且，垂直，则向量a分别与ABACa为( ) A((1,1,1) B((,1，,1，,1) C((1,1,1)或(,1，,1，,1) D((1，,1,1)或(,1,1，,1) [答案] C ???[解析] 设a,(x，y，z)，由条件知AB,(,2，,1,3)，AC,(1，,3,2)，?a?AB，? a?AC，|a|,3， ,2,，3,0xyz,,,3，2,0xyz? ，将选项代入检验知选C., 222,,，，,3xyz 5(平面α经过三点A(,1,0,1)、B(1,1,2)，C(2，,1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是( ) 1,,，,1，,1A. B((6，,2，,2),,2,, C((4,2,2) D((,1,1,4) [答案] D ?????? [解析] 设平面α的法向量为n，则n?AB，n?AC，n?BC，所有与AB(或AC、BC)平 ?? 行的向量或可用AB与AC线性示的向量都与n垂直，故选D. ???116(将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足BP,BA,BC，22??2BD，则|BP|的值为( ) 3A. B(2 2 10,29C. D.[来源:Zxxk.Com]44 [答案] D [解析] 由题意，翻折后AC,AB,BC， ????1122??ABC,60?，?|BP|,|BA,BC，BD| 22 ?????????111111222,|BA|，|BC|，|BD|,BA?BC,BC?BD，BA?BD,，，2,×1×1×cos60?442442 9,1×2cos45?，1×2×cos45?,. 4 7((2011?南通模拟)设平面α与向量a,(,1,2，,4)垂直，平面β与向量b,(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系是________( [答案] 垂直 [解析] ?a?b,,1×2，2×3，(,4)×1,0，且a与b分别是平面α、β的法向量，?α?β. ? AC||18((2011?金华模拟)已知点(4,1,3)，(2，,5,1)，为线段上一点且ABCAB,，?3 |AB|则点的坐标为________( C 107[答案] (，,1，) 33 [解析] ?C为线段AB上一点， ?? ?存在实数λ>0，使AC,λAB， ?? 又AB,(,2，,6，,2)，?AC,(,2λ，,6λ，,2λ)， ??||22AC11?AC,(,，,2，,)， ,，?λ,，??3333 |AB| 107?C(，,1，)( 33 9.如下图，正方体ABCD,ABCD的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD上的点，如果BE111111?平面ABF，则CE与DF的和的值为________( [答案] 1 [解析] 以为原点，直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，DDADCDDxyz111111 则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B(1,1,0)， 1 设DF,t，CE,k，则DF,1,t，?F(0,0,1,t)，E(k,1,1)，要使BE?平面ABF，易11知AB?BE，故只要BE?AF即可， 11 ?? ?AF,(,1,0，,t)，BE,(k,1,0,1)， 1 ?? ?AF?BE,1,k,t,0，?k，t,1，即CE，DF,1. 1 10((2011?绍兴月考)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 的中点，用向量方法求证: (1)E、F、G、H四点共面; (2)BD?平面EFGH. [证明] ??? (1)如上图，EG,EB，BG ???1,EB，(BC，BD) 2 ??? ,，，EBBFEH ?? ,EF，EH， 由共面向量定理知:E、F、G、H四点共面( ??? (2)?EH,AH,AE ?????1111,AD,AB,(AD,AB),BD， 2222 且E、H、B、D四点不共线，?EH?BD. 又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH， ?BD?平面EFGH. 11.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都 垂直于AB.已知AB,4，AC,6，BD,8，CD,217，则该二面角的大小为( ) A(150? B(45? C(60? D(120? [答案] C ???? [解析] 由条件知，?,0，?,0， CAABABBD ???? CD,CA，AB， BD. ??????????2222222?|CD|,|CA|，|AB|，|BD|，2CA?AB，2AB?BD，2CA?BD,6，4，8， ?? 2×6×8cos〈CA，BD〉 ??2,116，96cos〈CA，BD〉,(217)， ??1?cos〈CA，BD〉,,， 2 ?? ?〈CA，BD〉,120?，所以二面角的大小为60?. 12(在棱长为1的正方体AC中，O为BD的中点(求证:BO?平面ACD.111111 [证明] 建立如下图所示的空间直角坐标系，O为AC的中点，由于正方体的棱长为1， 1111则B(1,0,0)，O(，，1)，D(0,1,1)，O(，，0)( 112222??1111?BO,(,，，1)，OD,(,，，1)， 112222 ?? ,，?，?BOODBO?OD 1111 又?平面，?平面，?.BOACDODACDBO?平面ACD 11111113.直三棱柱ABC,A′B′C′中，AC,BC,AA′，?ACB,90?，D、E分别为AB、BB′ 的中点( 求证:CE?A′D. ??? [证明] 设CA,a，CB,b，CC′,c，根据题意，|a|,|b|,|c|， 且a?b,b?c,c?a,0， ????1?CE,b，c，A′D,CD,CA′ 2 ???????111,(CA，CB),(CA，CC′),,CA，CB,CC′ 222 11,,c，b,a. 22 ??1122?CE?A′D,,c，b,0. 22 ?? ?CE?A′D，即CE?A′D. 14.在长方体ABCD,ABCD中，AA,2AB,2BC，E、F、E分别是棱AA，BB，AB的中1111111111 点( 求证:平面CEF?平面CEF. 11 [证明] 以D为原点，DA，DC，DD所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，1 1设BC,1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,2)，F(1,1,1)，E(1，，2)(112 设平面的法向量,(，，)( CEFnxyz11 ??1?CE,(1，,，0)，FC,(,1,0,1)， 1112 ?1,,,n?CE,0,x,y,0112? ，即，,,? , ,,，,0xz,,?,0nFC1 令x,1，则y,2，z,1，?n,(1,2,1)( 设平面EFC的法向量为m,(a，b，c)， ?? 由EF,(0,1,0)，FC,(,1,0，,1)， ?,,,m?EF,0b,0,,? ，即., ?,a,c,0,, ,,m?FC,0 令a,,1，则m,(,1,0,1)( ??,1×(,1)，2×0，1×1,0， mn ?平面CEF?平面CEF. 11 15((2011?海口调研)在四棱锥P,ABCD中，平面PAD?平面ABCD，?PAD是等边三角 形，底面ABCD是边长为2的菱形，?BAD,60?，E是AD的中点，F是PC的中点( (1)求证:BE?平面PAD; (2)求证:EF?平面PAB; (3)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值( [解析] 解法一:(1)?E是AD中点，连接PE， ?AB,2，AE,1. 222BE,AB，AE,2AB?AE?cos?BAD ,4，1,2×2×1×cos60?,3. 222?AE，BE,1，3,4,AB，?BE?AE. 又平面PAD?平面ABCD，交线为AD， ?BE?平面PAD. (2)取PB中点为H，连接FH，AH， 1?AE綊BC，又?HF是?PBC的中位线， 2 1?HF綊BC，?AE綊HF， 2 ?AHFE是平行四边形，?EF?AH， 又EF?平面PAB，AH?平面PAB， ?EF?平面PAB. (3)由(1)知，BC?BE，PE?BC， 又PE，BE是平面PBE内两相交直线， ?BC?平面PBE， 又由(2)知，HF?BC，?HF?平面PBE， ??FEH是直线EF与平面PBE所成的角， 易知BE,PE,3，在Rt?PEB中， 616EH,，?tan?FEH,,， 236 2 15?cos?FEH,. 5 15故直线与平面所成角的余弦值为. EFPBE5 解法二:容易证明EP，EA，EB两两垂直，建立空间直角坐标系E,xyz如下图( 易求BE,PE,3，则E(0,0,0)，A(1,0,0)， B(0，3，0)，C(,2，3，0)，D(,1,0,0)，P(0,0，3)， 33因为F是PC的中点，则F(,1，，)( 22 ?? (1)?EB?EA,0?1，3?0,0?0,0， ?? ?EB?EA，即EB?EA， ?? ?EB?EP,0?0，3?0，0?3,0， ?? ?EB?EP，即EB?EP， ?EA，EP是平面PAD内的两相交直线， ?EB?平面PAD. 33(2)取PB中点为H，连接FH，AH，则H(0，，)， 22 ?33?,(,1，，)， EF22 ?3333AH,(0，，),(1,0,0),(,1，，)， 2222 ?? ?EF?AH， ?又EF?平面PAB，AH?平面PAB， ?平面. EF?PAB (3)?y轴?平面PBE，z轴?平面PBE， ?平面PBE的法向量为n,(1,0,0)， ?33?EF,(,1，，)， 22 设直线EF与平面PBE所成角为θ， ? |EF?n|1015?sinθ, ,，?cosθ,，?55 |EF||n| 15故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为. 5