一种改进的正弦波频率谱估计方法

一种改进的正弦波频率谱估计 () 文章编号 : 100025714 20040420328204 Ξ 一种改进的正弦波频率谱估计方法 何仁贵 , 黄登山 , 陈绍炜 () 西北工业大学 电子信息学院 ,西安 710072 摘 要 : 当 OV SS 谱估计方法中构造的奇异矩阵的行数大于信号频率个数加 1 时 ,会产生虚假的正弦信号 , 在实际应用时容易造成误判. 本文通过修正 OV SS 谱估计式的分母 ,由原来单一的正交乘积 ,变为多个正交乘 积的加权求和得到了一种改进算法. 改进算法能彻底消除伪峰 ,且性能稳定 ,分辨率高. 仿真结果明改进算 法整体上优于 OV SS 方法. 关键词 :正交子空间 ;信号子空间 ;谱估计 ;OV SS 中图号 : TN911 . 7 文献标识码 : A A modif ied method to estimate f requency of sine wave H E Ren- g ui , HU A N G Den g-s ha n , C H EN S hao- w ei ( ) School of Elect ro nic & Info r matio n ,No rt hwestern Polytechnical U niversit y , Xi’an 710072 ,ChinaAbstract : When t he number of rows is more t han t he number of sine wave signals adding 1 ,t he spect ral estimatio n met hod OV SS shall p roduce so me false sine wave signals , which can bring error in p ractical applicatio ns. By modif ying t he deno minator in t he spect ral estimatio n formula of OV SS , changing t he single ort hgo nal p roduct into weighted sum of several ort hogo nal p roduct s , a modified algorit hm is p roposed. The modified algorit hm can eliminate t he false peaks co mpletely. It has steady performance and high resolutio n ratio . The emulatio n result s show t hat t he modified algorit hm is bet ter t han OV SS in whole. Key Words : Ort hogo nal subspace ; Signal subspace ; Spect ral estimatio n ;OV SS () ( ) 对于混有白噪声的正弦信号设有 K 个复正弦信号的频率估计和功率谱估计问 ,都是采用将 P + 1 ( ) 维信号相关阵进行特征值分解 Eigenvalue deco mpo sitio n , EVD,得到一组相互正交的特征矢量 ,从而形成 一个向量空间. 进一步该向量空间又可分成两个子空间 ,一个是由 K 个大特征值所对应的 K 个特征矢量 ( ) ( ) 张成的信号子空间 ,另一个则由 P + 1 - K个特征值所对应的 P + 1 - K个特征矢量张成的噪声子空间 1 2 () 或正交子空间. 基于信号子空间的频率和功率谱估计方法 如 A R,MV 法等具有较好的统计稳定性 ; 3 () 基于正交子空间的频率和功率谱估计方法 如 M U S IC法等具有更高的谱分辨率. 文献4 、5 提出了一 种新的正交矢量谱估计方法 , 称为 OV SS 法. 该方法有很高的分辨率 , 在相同条件下优于其他通用方 5 法 . 但它的性能受到参数的影响 ,当 OV SS 谱估计方法中构造的奇异矩阵的行数大于信号频率个数加 1 时 ,会产生虚假的正弦信号 ,其产生的原因是 : OV SS 谱估计式的分母多项式的零点中除了实际的正弦波频率外 ,还存在寄生零点 ,从而形成了伪峰 ,这对实际应用很不利. 为此 ,本文提出了一种改进算法 ,该算法 对参数的变化不敏感 ,性能稳定 ,且抗噪能力强. 1 OV SS 方法 ( 假设信号为 K 个复正弦波 在信号个数未知时可按照文献[ 6 , 7 ]提供的 A IC 准则和 MDL 准则来估 Ξ 收稿日期 :2004205228 ( ) ( ) 作者简介 :何仁贵1979 - ,男汉族,西北工业大学硕士研究生. ) 计加复高斯白噪声 , 理论上信号的P ×P 维自相关阵为 )( ))( ( p r 0 1 1 - r - r K )( )( )( r 1 r 0 r 2 - p2 2 H ρ( ) ( δδU f U f)( ) + I = R + I R = = 1 k P k P k 0 ?ω k = 1 )( )( )( r P - 1 r P - 2 r 0 2 ρδ式中 :为第 k 个正弦波的功率 ;为白噪声的方差. k ππ( ) j2fj2P - 1fT k k ( ) ( )U f = 1 , e 2 e , ,P k R 的特征值/ 特征矢 ( ) ( ) 式中 : U f 为第 k 个复正弦信号矢量 , f 为第 k 个复正弦频率 k = 1 , 2 , 3 , . , KP k k 量分解为 : K P 2 H 2 H(λδ) δ( )R = + uu + u u 3 0 i i i i i ?? i = 1 i = K +1 2 2 λδ= = 为噪声特 P λλ(λδ) λλ式中 :为 R的 K 个非零特征值;= + 为 R 的主特征值 ,= = 0 i 0 i 0 i K + 1 K + 2 征值. 文献[ 5 ]已经证明 ( ) ( ) ( )span{ u, u,( ) 4 , u } = span{ U f , U f , , U f } 1 2 KP 1 P 2 P K 而 H )( ) ( ( )u U f = 0i = K + 1 , 5 , K , P ; k = 1 , 2 , i P k 所以最大特征值对应的特征矢量 u可以写成信号矢量的线性和 1 T u ,u , u= u, 11 12 1 P1 K )( ( )6 = bU f 1 k P k ?i = 1 T ) ( > v 1, ( ) )( v 2, P v , 将它构成 L ×M 阶矩阵 ( )( )( ) M v v 1 2 v ( )( )v Ks + 1 v Ks + 2 ( )v M + Ks ( )7 V = ω ( ) ( )v [ L - 1Ks + 1 ] v [ M + L - 1 Ks ] ( )( ) 式中 : min L , M K , 1 ? Ks ? M , M + L- 1Ks ? P , 且均为整数 , 文献[ 5 ]证明了 V 是一个奇异> ( ) 矩阵 , 其秩恒等于信号个数 , 与信噪比 SN R无关 ; V 阵的零奇异值对应的右奇异矢量与 M 维信号矢量 ( ) 正交. 由此可以用 8式进行功率谱估计 : 1 )( ( ) 8 Pf = s d T 2ω( ) | U f | M M ω( ) ( ) 式中 :为 V 阵最小奇异值对应的右奇异矢量 ; U f 为信号矢量 , 其定义由 2式给出. M M 2 OV SS 存在的缺陷 ( ) 令 V 阵为一个方阵 , 即 L = M , 则当 L > K + 1 时 , 将有 L - K个零奇异特征值 , 且其右奇异特征矢 ( ) ( ) 量有 L 个元素. 用 8式进行谱估计的实质就是在 0 , 1区间上搜索下列多项式的根 : L - 1 ( ) ω( ) ( π))( V f = k exp j 2kf 9 M ?k = 0 ω( ) ( ) ( ) ( ) ω 式中 :k 为 的元素 ; V f 为一个 L - 1阶的多项式 , 根据多项式理论 , 它应该有 L - 1个实根.M M ( ) ( ) ( ) ) ze ros . 这时如果用 8式进行谱估计 , 将会产生 L - K - 1个虚假的正弦信号 伪峰. 因此 , 当 L > K + 1 ( ) 时 8式不再适用. 文献[ 5 ]采用多次平均减少或去掉伪峰 , 但效果不太理想. 3 OV SS 方法的改进 ( ) ( ) 当 L > K + 1 时 , 将有 L - K个零奇异特征值 , 对应 L - K个右奇异特征矢量 , 将它们分别代入 ( ) ( ) 9式将产生 L - K个不同系数的同阶次多项式. 由于前面提到的正交关系 , 这些多项式将有 K 个相同 ( ) 的实根 , 对应 K 个信号频率 , 其余 L - K - 1个实根则各不相同. 由于信号矢量和所有零奇异值对应的右奇异矢量都是正交的 , 那么和它们的线性组合也应该是正交 的 , 即 L T αω) ( ) ( U f = 0( )10 kk L i ?k = K+1 式中 : i = 1 , 2 ,, K ; f 为信号频率. 那么 i L L T T T 2 ( ) ( αω) ( )αω( ) ( )U f Uf = | Uf | = 011 L i kk L i k k L i ??k = K +1 k = K +1 α 式中 :取正实数. 所以k 1 ( )( ) 12 Pf = L s d T 2αω( ) | U f | k k L ?k = K +1 ( ) Pf 为有限值 , 在图形上表现为尖峰. 这些 在 f = f 处应是无穷大 , 但由于相关阵是估计出来的 , 因此 i s d i ( ) 峰值对应的频率就是估计出来的正弦信号频率. 而在 f 为多余的“寄生零点 ”处的时候 , 由于在 12式的 ( ) 分母中只有一个求和项为零 即产生该零点的那个多项式为零, 而其余项都不为零 , 所以求和后分母不为 ( ) ( ) 零 ,伪峰不再存在. 因此用 12式代替 8式进行功率谱估计 , 其他步骤不变 , 将适合 L > K + 1 这一更为 普遍的情况 , 且抗噪声能力和稳定性要优于 OV SS 法. 4 仿真结果 以两个复正弦波加白噪声进行计算机仿真 , 设信号模型为 : ππj2nf j2nf 1 2 ( )( ) = e + e +( ) n = 0 , 1 , , N - 1 x n W n, 2 2 ( ) δδ式中 : f 、f 是两个数字归一化正弦波频率 ; W n 的复高斯噪声 ;决定信噪比 为均值为零 , 方差为 1 2 ( ( ) ( ) ) SN R的大小 , N 为取样数据长度. 所有模拟结果 , 功率谱轴采用归一化功率谱密度 Pf , 用分贝 s d ( ) dB表示. 并令 : K = 2 , L = M , Ks = 2 , N = 25 , f = 0 . 2 , f = 0 . 23 . 为方便计 , 当 L = M = m 时 , 我们称 1 2 ( ) ( ) ( ) αOV SS 法为 OV SS m 法 , 称改进型 OV SS 法 Mo dified OV SS为 MOV SS m 法 , 且均取 1 . k ( )( ) 图 1 高阶 OV SS 方法 SN R = ?图 2 5 阶 OV SS 方法与 MOV SS SN R = 10 dB ( )Fig. 1 High- ranks OV SS met hodSN R = ? ( )Fig. 2 5- ranks OV SS and MOV SS met hod SN R = 10 dB ( ) 图 3 10 次平均 SN R = 0dB图 4 10 次平均后谱峰附近的放大图 ( )Fig. 4 Magnified figure of 10 times round t he Fig. 3 The average of 10 times SN R = 0dB spect ral peaks of t he average 图 1 是在无噪声情况下 , OV SS 法当 L 分别为 3 , 4 , 5 时所作的谱估计曲线. 从图中不难看出 , 伪峰的 个数随着 L 的增大而增加. 且伪峰的水平很高 , 无法准确判断真实的正弦波频率. 伪峰个数为 L - K - 1 . ( ) 图 2 是在 SN R = 10 dB 情况下所作的两种方法的比较图 , L 为 5 . 从图中可以看出 , MOV SS 5有着非 ( ) 常平坦的旁瓣 , 伪峰被消除. 而 OV SS 5中存在伪峰 , 且电平相当高. ( ) 图 3 是在 SN R = 0 dB 情况下所作的 10 次试验的平均 , M 为 6 阶数选为 6 是为了提高抗噪能力. 从 ( ) ( ) 中可看出 , MOV SS 6法的谱估计曲线的谱峰位置准确 , 且没有伪峰 , 旁瓣几乎是一条直线. 而 OV SS 6法的谱曲线在谱峰附近有很多尖峰. 图 4 为放大后谱峰附近的情形. 这就给判断真实信号的频率带来了困难 , 且旁瓣起伏非常剧烈. 这是因为由于噪声的影响 , 每个单次试验产生的伪峰位置不一 , 且主瓣谱峰也因噪声的影响而产生或左或右的 偏移 , 从而在取平均后就产生了上述现象. 这就说明改进后的算法有更好的统计稳定性和抗噪声能力. 5 结 论 本文从理论上证明了 OV SS 方法在估计正弦波信号频率时 ,在 L > K + 1 这一更为普遍的情况下 ,不 () 可避免的会产生高强度的虚假信号频率 伪峰. 并 OV SS 针对方法所存在的缺陷 ,提出了改进算法 ,仿真 结果表明改进型 OV SS 法有更好的抗噪能力和统计稳定性 ,是一种更为理想的现代功率谱估计方法. 参 考 文 献 : () () 1 刘军 ,戴宪华. 改进的 AR 模型谱估计法提取载波频率J . 汕头大学学报 自然科学版,2002 ,17 3:53 () 董臻 ,朱国富 ,梁甸农 ,等. 一种修正极小方差谱估计算法J . 系统工程与电子技术 ,2002 ,24 1:89 2 ( ) Schmidt R O. Multiple emitter location and signal parameter estimationJ . IEEE Trans . Antennas Pro pag. 1986 ,34 March:276 3 () 黄登山 ,保铮. 系数矩阵正交矢量谱估计J . 电子科学学刊 ,1988 ,10 4:289 4 () 黄登山 ,王顶. 一种新的正弦波频率估计方法研究J . 电子与信息学报 ,2002 ,24 12:1857 5 胡广. 数字信号处理 ———理论 、算法与实现M . 北京 :清华大学出版社 ,1997 6 [ 美 S. M . 凯依著 ,黄建国译. 现代谱估计原理与应用M . 北京 :科学出版社 ,1994 7 ()责任编辑 、校对 魏明明