解斜三角形

解斜三角形 【知识结构】 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com1正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆 abc新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com的直径: ,,,2RsinAsinBsinC 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知两角和任 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.一边，求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角) 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com2余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com角的余弦的积的两倍 222acb，,222a，c,2accosB第一形式，=，第二形式，cosB= b2ac 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边，求 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com三个角;(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com3三角形的面积:?ABC的面积用S示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则 11?;?; S,a,h,？S,bcsinA,？a22 abc2S,2RsinAsinBsinCS,?;?; 4R abc，，p,S,p(p,a)(p,b)(p,c)?;?(其中) S,pr2 abc，,2S斜,新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.comr,4三角形内切圆的半径:，特别地， ,r直2，，abc 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com5b,a,cosC，c,cosA三角学中的射影定理:在?ABC 中，，… 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com6两内角与其正弦值:在?ABC 中，A,B,sinA,sinB，… 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com7三内角与三角函数值的关系:在?ABC 中 sin(A+B)=sinCcos(A+B) -cosCtan(A+B) -tanC,, A，BCA，BCABC，sin,coscos,sin tancot,222222 tantantantantantanABCABC，，,,, 1 31新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com例3 已知锐角?ABC中，sin(A+B)=，sin(A,B)= 55 (1)求证:tanA=2tanB; 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.(2)设AB=3，求AB边上的高 分析:有两角的和与差联想到两角和与差的正弦，以(1)为铺垫，解 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com决(2) 31(1)证明:?sin(A+B)=，sin(A,B)=， 55 3,sinAcosB，cosAsinB,,,5? ,1,sinAcosB,cosAsinB,,5, 2,sinAcosB,,tanA,5新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com,,=2 ,1tanB,cosAsinB,,5, 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.?tanA=2tanB π3新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.(2)解:,A+B,π，?sin(A+B)= 25 3?tan(A+B)=,， 4 tanA，tanB3新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com即=, 41,tanAtanB 2将tanA=2tanB代入上式整理得2tanB,4tanB,1=0， 2,6新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.解得tanB=(负值舍去) 2C 2，6得tanB=， 2 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.?tanA=2tanB=2+ 6ABD CDCD3CD新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+= tanAtanB2，6 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.由AB=3得CD=2+，所以AB边上的高为2+ 66 评述:本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com计算能力 3 2 例4 在中，，，，求的值和,ABCAC,2AB,3,ABCsincosAA，,tanA 2 的面积( 解法一: 先解三角方程，求出角A的值( 2,sin，cos,2cos(,45),,？AAA2 1,？cos(,45),.A2 ,,又0180,,A, ？,,,AA4560,105. 13， ？,，,,,,tantan(4560)23A 13, 2，6,,,,,,,sin,sin105A,sin(45，60),sin45cos60，cos45sin60,. 1126，34 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com SACABA,，,，，，sin()23,，26 ,ABC 解法二: 由sincosAA，计算它的对偶关系式sincosAA，的值( 22442 ？sincosAA，, ? 2 12？(sinA，cosA),2 1 ？2sinAcosA,, 2 ,,？0,A,180,？sinA,0,cosA,0. 32(sincos)12sincos , ？A,A,,AA,2 6 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.？,,sincosAA ? 2 26，新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.sinA, ? + ? 得 4 26,新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.cosA, ? , ? 得 4 sin264A，从而 ( tan23A,,，,,,cos4A26, 4 以下解法略去( 点评 本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重 数学考查运算能力，是一道三角的基础试题(两种解法比较起来，你认为哪一 种解法比较简单呢, 2sinA新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.例5 已知A、B、C是?ABC的三个内角，y=cotA+ cosA，cos(B,C) 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com(1)若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论(2)求y的新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com最小值 2sinπ,(B，C),,解:(1)?y=cotA+ ,,cosπ,(B，C)，cos(B,C) 2sin(B，C)=cot A+ ,cos(B，C)，cos(B,C) sinBcosC，cosBsinC=cot A+ sinBsinC =cotA+cotB+cotC， 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com?任意交换两个角的位置，y的值不变化 (2)?cos(B,C)?1， A21tan,2sinAA2?y?cotA+=+2tan A21，cosA2tan2 AA1AA新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.3tan,cot=(cot+3tan)?= 322222 π新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com故当A=B=C=时，y= 3min3 评述:本题的第(1)问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.显示了问题的有趣之处第(2)问实际上是一道常见题:在?ABC中，求证: 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.cotA+cotB+cotC? 3 sinB，sinC新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com例6 在?ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状 cosB，cosC 分析:判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的 新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋://www.xjktyg.com/wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126.comwxckt@126.com关系确定采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边” 5 解:应用正弦定理、余弦定理，可得 bc，2222新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.a=，所以b(a,b)+c(a,c)=bc(b+c)所222222cababc，,，,，2ca2ab 233222222新疆新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋源头学子小屋://www.xjktygcom./wxc/./wxc/特级教师特级教师特级教师王新敞王新敞王新敞wxckt@126.comwxckt@126com.wxckt@126com.以(b+c)a=(b+c)+bc(b+c)所以a=b,bc+c+bc所以a=b+c所以?ABC 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com是直角三角形 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.评述:恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键若考虑三内角的 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.关系，本题可以从已知条件推出cosA=0 例7 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，?ABC外的地 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.方种草，?ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花若BC=a，?ABC=,，设?ABC的面积为S，正方形的面积为S( 12 (1)用a，,表示S和S; 12 S1(2)当a固定，变化时，求取最小值时的角( ,,S2 解 (,)? AC,asin,,AB,acos,. 11A22? S,asin,cos,,asin2,.124PS 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com设正方形边长为x BCRQ 则BQ= ？xctg,，x，xtg,,a.xctg,,RC,xtg, ,,,aasincosasin2 x,,,ctg,，tg,，11，sin,cos,2，sin2, 22,,aasin2sin22 ？S,,().22，,2sin2，,，,4sin24sin2 (,)当固定，,变化时， a 1122,,，asin2(1sin2) S14142,,,，，(sin24).,1Ssin24sin22,,2asin2,4 12(1sin2)，,2 S141令 ,,,，，则sin2,(4).ttSt42 4,f(t),t， 令 ？0,,,？0,t,1.,t2 任取，且， t,t,(0,1]t,t1212 6 4(t,t)(tt,4)441212( ()()()()()ft,ft,t,t，,,t,t,,t,t12121212ttt,ttt121212 ， ？t,t,0,0tt,1,tt,4,0,？f(t),f(t),012121212 4是减函数( ？f(t),t，在(0,1]t S,1？t,1时,取最小值，此时 ,.,S42 点评 三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例(通过引入角 度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化 4为我们熟知的函数(这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢, ftt(),，t 例8 某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心BO点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在LOA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为 直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把OAA、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短? 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com并求其最短距离(不要求作近似计算) 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.解:在?AOB中，设OA=a，OB=b 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以?AOB=135? 22222则|AB|=a+b,2abcos135?=a+b+ab?2ab+ab=(2+)ab，当且仅222 新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋./wxc/./wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126com.wxckt@126com.当a=b时，“=”成立又O到AB的距离为10，设?OAB=α，则?OBA=45?,α所 1010以a=，b=， sin,sin(45:,,) 1010010ab=?= sin,sin(45:,,)sin,,sin(45:,,) 100100== 2222sin,(cos,,sin,)sin2,,(1,cos2,)2244 400400=?， 2sin(2,，45:),22,2 新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com当且仅当α=22?30′时，“=”成立 400(2，2)22所以|AB|?=400(+1)， 22,2 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.当且仅当a=b，α=22?30′时，“=”成立 10(22，2)所以当a=b==10时，|AB|最短，其最短距离为20(+1)，2,sin22:30 (22，2)即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处，能使|AB|最短，最短距离 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.为20(,1) 2 7 1新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.4在?ABC中，“A,30?”是“sinA,”的 2 新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋./wxc/./wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126com.wxckt@126com.A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋./wxc/./wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126com.wxckt@126com.C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 1解:在?ABC中，A,30?0,sinA,1，推不出sinA,; ,2 1新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.sinA,30?,A,150?A,30? ,,2 :B 新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.5在?ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋./wxc/./wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126com.wxckt@126com.Ab=20，A=45?，C=80? Ba=30，c=28，B=60? 新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋./wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126com.wxckt@126.comCa=14，b=16，A=45? Da=12，c=15，A=120? sinBsinA42新疆源头学子小屋./wxc/特级教师王新敞wxckt@126com.解:由a=14，b=16，A=45?及正弦定理，得=，所以sinB=因而B有两值16147新疆源头学子小屋特级教师王新敞wxckt@126.com答案:C 新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋./wxc/./wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126com.wxckt@126com.6已知(a+b+c)(b+c,a)=3bc，则?A=_______ 22222解:由已知得(b+c),a=3bc，?b+c,a=bc 222bca1π，,新疆新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋源头学子小屋://www.xjktygcom./wxc/./wxc/特级教师特级教师特级教师王新敞王新敞王新敞wxckt@126.comwxckt@126com.wxckt@126com.?=??A= 232bc π答案: 3 新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋./wxc/./wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126com.wxckt@126com.7在锐角?ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______ 222abc，,新疆新疆源头学子小屋源头学子小屋./wxc/特级教师特级教师王新敞王新敞wxckt@126com.wxckt@126.com解:若c是最大边，则cosC,0?,0，?c, 52ab 若b是最大边，则cosB>0,?c> 3 答案:(，) 53 9