2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）含答案解析 2015年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科) 一、选择:(本大题共12小题，每小题5分，共60分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的() 1((5分)(2015•沈阳一模)若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合(?M)?N等于( ) U A( {2，3} B( {2，3，5，6} C( {1，4} D( {1，4，5，6} 【考点】: 交、并、补集的混合运算( 【专题】: 集合( 【分析】: 根据集合的基本运算即可得到结论( 【解析】: 解:由补集的定义可得?N={2，3，5}， U 则(?N)?M={2，3}， U 故选:A 【点评】: 本题主要考查集合的基本运算，比较基础( 2((5分)(2015•沈阳一模)设复数z满足(1,i)z=2i，则z=( ) A( ,1+i B( ,1,i C( 1+i D( 1,i 【考点】: 复数代数形式的乘除运算( 【专题】: ( 【分析】: 根据所给的等式两边同时除以1,i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果( 【解析】: 解:?复数z满足z(1,i)=2i， ?z==,1+i 故选A( 【点评】: 本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算( 3((5分)(2014•安徽)“x,0”是“ln(x+1),0”的( ) A( 充分不必要条件 B( 必要不充分条件 C( 充分必要条件 D( 既不充分也不必要条件 【考点】: 充要条件( 【专题】: 计算题;简易逻辑( 【分析】: 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论( 【解析】: 解:?x,0，?x+1,1，当x+1,0时，ln(x+1),0; ?ln(x+1),0，?0,x+1,1，?,1,x,0，?x,0， ?“x,0”是ln(x+1),0的必要不充分条件( 故选:B( 【点评】: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础( 24((5分)(2015•沈阳一模)抛物线y=4ax(a?0)的焦点坐标是( ) A( (0，a) B( (a，0) C( (0，) D( (，0) 【考点】: 抛物线的简单性质( 【专题】: 圆锥曲线的定义、性质与方程( 【分析】: 先将抛物线的方程化为式，再求出抛物线的焦点坐标( 22【解析】: 解:由题意知，y=4ax(a?0)，则x=， 2所以抛物线y=4ax(a?0)的焦点坐标是(0，)， 故选:C( 【点评】: 本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题( 5((5分)(2015•沈阳一模)设S为等差数列{a}的前n项和，若a=1，公差d=2，S,S=36，nn1n+2n则n=( ) A( 5 B( 6 C( 7 D( 8 【考点】: 等差数列的性质( 【专题】: 等差数列与等比数列( 【分析】: 由S,S=36，得a+a=36，代入等差数列的通项求解n( n+2nn+1n+2 【解析】: 解:由S,S=36，得:a+a=36， n+2nn+1n+2 即a+nd+a+(n+1)d=36， 11 又a=1，d=2， 1 ?2+2n+2(n+1)=36( 解得:n=8( 故选:D( 【点评】: 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题( 6((5分)(2015•沈阳一模)已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸 (单位:cm)， 可得这个几何体的体积是( ) 33 A( B( C( 2cm D( 4cm 【考点】: 棱柱、棱锥、棱台的体积( 【专题】: 空间位置关系与距离( 【分析】: 由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解( 【解析】: 解:由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥， 如图， 故， 故选B( 【点评】: 本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题( 7((5分)(2015•沈阳一模)已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为( ) A( 3 B( ,3 C( 1 D( 【考点】: 简单线性规划( 【专题】: 计算题( 【分析】: 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可( 【解析】: 解:作图 易知可行域为一个三角形， 当直线z=2x+y过点A(2，,1)时，z最大是3， 故选A( 【点评】: 本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题( 8((5分)(2015•沈阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为( ) A( 4 B( 5 C( 6 D( 7 【考点】: 程序框图( 【专题】: 计算题;规律型;算法和程序框图( 【分析】: 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知:该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…,100时，k+1的值( 【解析】: 解:分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知:该程序的作用是: 输出不满足条件S=0+1+2+8+…,100时，k+1的值( 第一次运行:满足条件，s=1，k=1; 第二次运行:满足条件，s=3，k=2; 第三次运行:满足条件，s=11,100，k=3;满足判断框的条件，继续运行， 11第四次运行:s=1+2+8+2,100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环( 故最后输出k的值为4( 故选:A( 【点评】: 本题考查根据流程图(或伪代码)输出程序的运行结果(这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是::?分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计 算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用对数据进行分析管理)??建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型?解模( 9((5分)(2015•沈阳一模)已知函数，若，则f(,a)=( ) A( B( C( D( 【考点】: 函数的值( 【专题】: 计算题( 【分析】: 利用f(x)=1+，f(x)+f(,x)=2即可求得答案( 【解析】: 解:?f(x)==1+， ?f(,x)=1,， ?f(x)+f(,x)=2; ?f(a)=， ?f(,a)=2,f(a)=2,=( 故选C( 【点评】: 本题考查函数的值，求得f(x)+f(,x)=2是关键，属于中档题( 10((5分)(2015•沈阳一模)在?ABC中，若|+|=|,|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=( ) A( B( C( D( 【考点】: 平面向量数量积的运算( 【专题】: 计算题;平面向量及应用( 【分析】: 运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求( 【解析】: 解:若|+|=|,|， 则=， 即有=0， E，F为BC边的三等分点， 则=(+)•(+)=()•() =(+)•(+) =++=×(1+4)+0=( 故选B( 【点评】: 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题( 11((5分)(2015•沈阳一模)函数y=的图象与函数y=2sinπx(,2?x?4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A( 2 B( 4 C( 6 D( 8 【考点】: 奇偶函数图象的对称性;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象( 【专题】: 压轴题;数形结合( 【分析】: 的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点(1，0)中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y=2sinπx的图象的一个对称2 中心也是点(1，0)，故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2(由此不难得到正确答案( 【解析】: 解:函数，y=2sinπx的图象有公共的对称中心(1，0)，作出两个函数2 的图象如图 当1,x?4时，y,0 1 而函数y在(1，4)上出现1.5个周期的图象， 2 在和上是减函数; 在和上是增函数( ?函数y在(1，4)上函数值为负数，且与y的图象有四个交点E、F、G、H 12 相应地，y在(,2，1)上函数值为正数，且与y的图象有四个交点A、B、C、D 12 且:x+x=x+x?x+x=x+x=2，故所求的横坐标之和为8 AHBGCFDE 故选D 【点评】: 发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y=2sinπx的单调性找2出区间(1，4)上的交点个数是本题的难点所在( 12((5分)(2015•广西校级一模)定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f′(x),1，f(0) xx=4，则不等式ef(x),e+3(其中e为自然对数的底数)的解集为( ) A( (0，+?) B( (,?，0)?(3，+?) C( (,?，0)?(0，+?) D( (3，+?) 【考点】: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算( 【专题】: 导数的综合应用( xx【分析】: 构造函数g(x)=ef(x),e，(x?R)，研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 xx【解析】: 解:设g(x)=ef(x),e，(x?R)， xxxx则g′(x)=ef(x)+ef′(x),e=e[f(x)+f′(x),1]， ?f(x)+f′(x),1， ?f(x)+f′(x),1,0， ?g′(x),0， ?y=g(x)在定义域上单调递增， xx?ef(x),e+3， ?g(x),3， 00又?g(0)?ef(0),e=4,1=3， ?g(x),g(0)， ?x,0 故选:A( 【点评】: 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键( 二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分(把答案填在答题纸上.) 13((5分)(2015•沈阳一模)若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是 y=x ( 【考点】: 双曲线的简单性质( 【专题】: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程( 【分析】: 求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程( 【解析】: 解:双曲线E的标准方程是， 则a=2，b=1， 即有渐近线方程为y=x， 即为y=x( 故答案为:y=x( 【点评】: 本题考查双曲线的方程和性质:渐近线方程，考查运算能力，属于基础题( 14((5分)(2015•沈阳一模)已知{a}是等比数列，，则aa+aa+…+aa= n1223nn+1 ( 【考点】: 数列的求和;等比数列的通项公式( 【专题】: 计算题( 【分析】: 首先根据a和a求出公比q，根据数列{aa}每项的特点发现仍是等比数列，根25nn+1 据等比数列求和公式可得出答案( 【解析】: 解:由 ，解得 ( 数列{aa}仍是等比数列:其首项是aa=8，公比为， nn+112 所以， 故答案为( 【点评】: 本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用(应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息( 15((5分)(2015•沈阳一模)若直线l:(a,0，b,0)经过点(1，2)则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是 3+2 ( 【考点】: 直线的截距式方程( 【专题】: 直线与圆( 【分析】: 把点(1，1)代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=(a+b)()，展开后利用基本不等式求最值( 【解析】: 解:?直线l:(a,0，b,0)经过点(1，2) ?=1， ?a+b=(a+b)()=3+?3+2，当且仅当b=a时上式等号成立( ?直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2( 故答案为:3+2( 【点评】: 本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题( 16((5分)(2015•沈阳一模)在直三棱柱ABC,ABC中，若BC?AC，?A=，AC=4，111AA=4，M为AA的中点，点P为BM中点，Q在线段CA上，且AQ=3QC(则异面直线PQ1111与AC所成角的正弦值 ( 【考点】: 异面直线及其所成的角( 【专题】: 空间角( 【分析】: 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向1量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值( 【解析】: 解:以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC为z轴， 1建立空间直角坐标系， 则由题意得A(0，4，0)，C(0，0，0)， B(4，0，0)，M(0，4，2)，A(0，4，4)， 1 P(2，2，1)，==(0，4，4)=(0，1，1)， ?Q(0，1，1)，=(0，,4，0)，=(,2，,1，0)， 设异面直线PQ与AC所成角为θ， cosθ=|cos,,|=||=， ?sinθ==( 故答案为:( 【点评】: 本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用( 三、解答题:(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.) 217((12分)(2015•沈阳一模)已知函数f(x)=x+sinxcosx( sin (?)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间; (?)当x?[0，]时，求函数f(x)的值域( 【考点】: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象( 【专题】: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质( 【分析】: (I)先化简求得解析式f(x)=sin(2x,)+，从而可求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间; (?)先求2x,的范围，可得sin(2x,)的范围，从而可求函数f(x)的值域( 2【解析】: 解:(I)f(x)=sinx+sinxcosx=+sin2x …(2分) =sin(2x,)+(…(4分) 函数f(x)的最小正周期为T=π(…(6分) 因为,+2kπ?2x,?+2kπ，解得,+kπ?x?+kπ，k?Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是[,+kπ，+kπ]，k?Z，(…(8分) (?)当x?[0，]时，2x,?[,，] sin(2x,)?[,，1]，…(10分) 所以函数f(x)的值域为f(x)?[0，1+](…(12分) 【点评】: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查( 18((12分)(2015•沈阳一模)某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示 参加社团活动 不参加社团活动 合计 学习积极性高 17 8 25 学习积极性一般 5 20 25 合计 22 28 50 (?)如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少,抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少, (?)试运用独立性检验的思想方法【分析】:学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系,并说明理由( 2x=( 2P(x?k) 0.05 0.01 0.001 K 3.841 6.635 10.828 【考点】: 独立性检验的应用( 【专题】: 计算题;概率与统计( 【分析】: (?)求出积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，得到概率，不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，得到概率( (?)根据条件中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系( 【解析】: 解:(?)积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人， 所以随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是=; 抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人， 所以其概率为=; 2(?)x=?11.7 2?x,10.828， ?有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系( 【点评】: 本题考查独立性检验的意义，是一个基础题，题目一般给出公式，只要我们代入数据进行运算就可以，注意数字的运算不要出错( 19((12分)(2015•沈阳一模)如图，设四棱锥E,ABCD的底面为菱形，且?ABC=60?，AB=EC=2，AE=BE=( (?)证明:平面EAB?平面ABCD; (?)求四棱锥E,ABCD的体积( 【考点】: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定( 【专题】: 空间位置关系与距离( 【分析】: (I)取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得?ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB?平面ABCD( (II)V=，由此能求出四棱锥E,ABCD的体积( ,EABCD 【解析】: (I)证明:取AB的中点O，连结EO、CO( 由AE=BE=，知?AEB为等腰直角三角形( 故EO?AB，EO=1，又AB=BC，?ABC=60?， 则?ABC是等边三角形，从而CO=( 222又因为EC=2，所以EC=EO+CO， 所以EO?CO( 又EO?AB，CO?AB=O，因此EO?平面ABCD( 又EO?平面EAB，故平面EAB?平面ABCD(…(8分) II)解:V= (,EABCD = =(…(12分) 【点评】: 本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养( 20((12分)(2015•沈阳一模)已知椭圆C:+=1(a,b,0)，e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=λ(其中λ,1)( (?)求椭圆C的标准方程; (?)求实数λ的值( 【考点】: 直线与圆锥曲线的综合问题( 【专题】: 圆锥曲线中的最值与范围问题( 【分析】: (I)由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程( (?)由，可知A，B，F三点共线，设A(x，y)，B(x，y)，直线AB?x轴，1122则x=x=1，不合意题意(当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k(x,1)(由12 2222，得(3+4k)x,8kx+4k,12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已 知条件能求出实数λ的值( 222【解析】: 解:(I)由条件可知c=1，a=2，故b=a,c=3， 椭圆的标准方程是(…(4分) (?)由，可知A，B，F三点共线，设A(x，y)，B(x，y)， 1122若直线AB?x轴，则x=x=1，不合题意( 12 当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k(x,1)( 2222由，消去y得(3+4k)x,8kx+4k,12=0(? 4222由?的判别式?=64k,4(4k+3)(4k,12)=144(k+1),0( 因为，…(6分) 所以=，所以(…(8分) 2将代入方程?，得4x,2x,11=0， (…(10分) 解得x= 又因为=(1,x，,y)，=(x,1，y)，， 1122 ，解得(…(12分) 【点评】: 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数的值的求法，解题时要认真 审题，注意函数与方程思想的合理运用( 21((12分)(2015•沈阳一模)已知函数f(x)=alnx(a,0)，e为自然对数的底数( (?)若过点A(2，f(2))的切线斜率为2，求实数a的值; (?)当x,0时，求证:f(x)?a(1,); (?)在区间(1，e)上,1恒成立，求实数a的取值范围( 【考点】: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程( 【专题】: 导数的综合应用( 【分析】: (?)求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值; (?)构造函数，利用导数证明不等式即可; (?)利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论( 【解析】: 【解析】:(I)函数的f(x)的导数f′(x)=， ?过点A(2，f(2))的切线斜率为2， ?f′(2)==2，解得a=4(…(2分) (?)令g(x)=f(x),a(1,)=a(lnx,1+); 则函数的导数g′(x)=a()(…(4分) 令g′(x),0，即a(),0，解得x,1， ?g(x)在(0，1)上递减，在(1，+?)上递增( ?g(x)最小值为g(1)=0， 故f(x)?a(1,)成立(…(6分) (?)令h(x)=alnx+1,x，则h′(x)=,1， 令h′(x),0，解得x,a(…(8分) 当a,e时，h(x)在(1，e)是增函数，所以h(x),h(1)=0(…(9分) 当1,a?e时，h(x)在(1，a)上递增，(a，e)上递减， ?只需h(x)?0，即a?e,1(…(10分) 当a?1时，h(x)在(1，e)上递减，则需h(e)?0， ?h(e)=a+1,e,0不合题意(…(11分) 综上，a?e,1…(12分) 【点评】: 本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和 导数之间的关系，考查学生的综合应用能力( 选修4-1:几何证明选讲 22((10分)(2015•沈阳一模)如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE ?AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG( (?)求证:C是劣弧BD的中点; (?)求证:BF=FG( 【考点】: 与圆有关的比例线段( 【专题】: 计算题( 【分析】: (I)要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明?CAB=?DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE?AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论( (II)由已知及(I)的结论，我们易证明?BFC及?GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论( 【解析】: 解:(I)?CF=FG ??CGF=?FCG ?AB圆O的直径 ? ?CE?AB ? ? ACE ??CBA=? ??CGF=?DGA ? ??CAB=?DAC ?C为劣弧BD的中点(5分) (II)? ??GBC=?FCB ?CF=FB 同理可证:CF=GF ?BF=FG(10分) 【点评】: 本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同(等)角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE?AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键( 选修4-4:坐标系与参数方程 23((2015•沈阳一模)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角α=( (?)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程; (?)设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值( 【考点】: 参数方程化成普通方程( 【专题】: 坐标系和参数方程( 【分析】: (?)利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程; (?)把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求( 22【解析】: 解:(I)消去θ，得圆的标准方程为+y=16(…(2分) 直线l的参数方程为，即(t为参数) …(5分) 22(?)把直线的方程代入x+y=16， 222得(1+t)+(2+t)=16，即t+(2+)t,11=0，…(8分) 所以tt=,11，即|PA|•|PB|=11( …(10分) 12 【点评】: 本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题( 选修4-5:不等式选讲 24((2015•沈阳一模)设函数f(x)=|2x+1|,|x,4|( (1)解不等式f(x),0; (2)若f(x)+3|x,4|,m对一切实数x均成立，求m的取值范围( 【考点】: 绝对值不等式的解法;函数最值的应用( 【专题】: 计算题;压轴题;分类讨论( 【分析】: (1)分类讨论，当x?4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集( (2)利用绝对值的性质，求出f(x)+3|x,4|的最小值为9，故m,9( 【解析】: 解:(1)当x?4时f(x)=2x+1,(x,4)=x+5,0得 x,,5，所以，x?4时，不等式成立( 当时，f(x)=2x+1+x,4=3x,3,0，得x,1，所以，1,x,4时，不等式成立( 当时，f(x)=,x,5,0，得x,,5，所以，x,,5成立 综上，原不等式的解集为:{x|x,1或x,,5}( (2)f(x)+3|x,4|=|2x+1|+2|x,4|?|2x+1,(2x,8)|=9，当， 所以，f(x)+3|x,4|的最小值为9，故 m,9( 【点评】: 本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想(