导数在实际生活中的应用

导数在实际生活中的应用 3.4导数在实际生活中的应用 教学目的:1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法;?初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题 教学重点:解有关函数最大值、最小值的实际问题( 教学难点:解有关函数最大值、最小值的实际问题( 教学过程: 一、复习引入: 1.极大值: 一般地，设函数f(x)在点x附近有定义，如果对x附近的所有的点，都有f(x),f(x)，就说f(x)0000是函数f(x)的一个极大值，记作y=f(x)，x是极大值点 极大值00 2.极小值:一般地，设函数f(x)在x附近有定义，如果对x附近的所有的点，都有f(x),f(x).就说f(x)是0000函数f(x)的一个极小值，记作y=f(x)，x是极小值点 极小值00 3.极大值与极小值统称为极值 4. 判别f(x)是极大、极小值的: 0 ,f(x),0f(x)f(x)xxxf(x)若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，00000 ,,f(x)f(x)f(x)xxf(x)x并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值;如果在0000 f(x)xf(x)两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值 00 5. 求可导函数f(x)的极值的: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) ;(2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值 ,,f(x),,a,ba,b6.函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值(?在开区间(,)abf(x)内连续的函数不一定有最大值与最小值( ?函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 f(x)(,)abf(x)f(a)f(b)7.利用导数求函数的最值步骤:?求在内的极值;?将的各极值与、比较得 f(x),,a,b出函数在上的最值 二、例题分析: 例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大,最大容积是多少, 1 练习1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省, 2,S2R,2,Rh2,R提示:S=2+h= ,2,R 2,11S2R,223V(R)=R=(S2R)RSRR ,,,,,,,222,R 变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省, 例2.在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x),C(x)称为利润函数，记为P(x)。 ,632,C(x)10x,0.003x，5x，1000(1)、如果C(x),，那么生产多少单位产品时，边际最低,(边际成本:生产规模增加一个单位时成本的增加量) (2)、如果C(x)=50x，10000，产品的单价P,100,0.01x，那么怎样定价，可使利润最大, 变式:已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为 1(求产量q为何值时，利润L最大, p,25,q8 分析:利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格(由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润( 三、课堂练习:见课本P83 1,2 ,3 四(小结: 五(作业 2