09 随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布2

09 随机变量的独立性 二维随机变量函数的分布2 , 随机变量的独立性?二维随机变量函数的分布 一、设与是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为 XYXY[0,1] y,,12,e,y,0;f(y), ,Y2,0,y,0., 求 (1) 的联合概率密度; (2) 概率( (X,Y)P(Y,X) 1,x,(0,1),解: (1)的概率密度为，的联合概率密度为(注意相互Xf(x),(X,Y)X,Y,X0,x,(0,1), 独立) y,,12,,0,,1,,0exy(,),()(),fxyfxfy ,XY2,0,其它,2yyx,,,1，,111，,222 (2) P(Y,X),f(x,y)dxdy,dxedy,(,e)dx,edxx,,,,,,000x2Y,X21x,,122 ,,2e,2(1,e),0.78690 YX二、设随机变量与独立，并且都服从二项分布: n,iii1p(i),Cpq, i,0, 1, 2,？, n;1Xn1 n,jjj2p(j),Cpq, j,0, 1, 2,？, n.2Yn2 Z,X，Y证明它们的和也服从二项分布( 证明: 设, 则 k,i，j kkn,in,k，iiik,ik,i12 P(k),P(Z,k),P(i)P(k,i),CpqCpq,,ZXYnn1200i,i,k，,nnkiik12 ,(CC)pq,nn12,0i kk,kkikiik由, 有 . 于是有 CC,CCC,C，，mnmnnnnn,,12120,0,iin，n,kik12P(k),Cpq (k,0,1,2,？,n，n) 12Zn，n12 Z,X，Y由此知也服从二项分布. YYXX三、设随机变量与独立，并且在区间[0，1]内服从均匀分布，在区间[0，2]内服从辛普 森分布: y, 0,y,1;, ,f(y),2,y, 1 ,y,2 ; ,Y ,0, y,0或y,2., Z,X，Y求随机变量的概率密度( issued on behalf on the basis of quality, speed up the compilation progress, is now called Pingliang information complete draft writing tasks and lower local extension of the data collection. Jingning 1,x,[0,1],解: 的概率密度为 . 于是的联合概率密度为 f(y),X(X,Y),,0,x,[0,1], y, 当0,x,1,0,y,1, ,f(x,y),2,y, 当0,x,1,1 ,y,2 , ,0, 其它., 的联合分布函数为，其中是Z,X，YF(z),P{Z,z},P{X，Y,z},P{(x,y),D}DZ 与的定义域的公共部分. x，y,zf(x,y) 0z,0,z,3,2,z0,z,1,2,F(z),故有 3,2Z,z，3z,1,z,2,2,192zzz,3，2,,3,22, Z,X，Y 从而随机变量的概率密度为 0z,0,z,3, ,z0,z,1, f(z),,Z,2z，31,z,2, ,z,32,z,3, L四、电子仪器由六个相互独立的部件() i,1,2;j,1,2,3ij LLL131112 X组成，联接方式如右图所示(设各个部件的使用寿命 ij 服从相同的指数分布，求仪器使用寿命的概率密度( e(,) L LLX解: 由题设，知的分布函数为 232122ij ,,x,1,e,x,0F, ,Xij0,x0,, Y (i,1,2,3)先求各个并联组的使用寿命的分布函数.因为当并联的两个部件都损i 坏时,第个并联组才停止工作,所以有 i Y,max(,,,) (i,1,2,3) i1i2i , (i,1,2,3)从而有的分布函数为 i ,,y2,(1,e),y,0F(y),FF, ,YXXi1i2i0,y0,, Z设"仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有 ZZ,min(,,,,,).从而有的分布函数为 123 ,,z231,[1,F(z)][1,F(z)][1,F(z)],z,0,1,[1,(1,e)],z,0,YYY123,,F(z) ,,Z0,z,00,z0,,,Z故的概率密度为 issued on behalf on the basis of quality, speed up the compilation progress, is now called Pingliang information complete draft writing tasks and lower local extension of the data collection. Jingning 概率论与数理统计习题解答 第二章随机变量及其分布 ,,3z,,z,,z2,,6e(1,e)(2,e),z,0 f(z),,Z0,z0,, issued on behalf on the basis of quality, speed up the compilation progress, is now called Pingliang information complete draft writing tasks and lower local extension of the data collection. Jingning