结构位移计算

结构位移计算 第七章 结构位移计算 到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问全讨论过了。我们知道内力计算问题属强度问题?是结力讨论的首要任务。 讲第一章时，结力的第二大任务:刚度问题，而要解决…，首先应该… 刚度校核 杆件结构位移计算 ? 截面设计 (结构变形+刚度位移) { 确定P max 又是超静定结构计算的基础(双重作用)。另外本章主要讨论各种杆件结构的位移计算问题。 结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。 ?7-1概述 一、 结构的位移 画图:梁、刚架、桁架 (内力N、Q、M——拉伸、剪切、弯曲) ,截面C线位移:。一般 分解C ,,成水平、垂直两方向:、 CVCH,截面C线位移: C , 角位移: C, 角位移: C 结点的线位移: 两点(截面)相对线位移: ,杆件的角位移: 两截面相对角位移: AB 两杆件相对角位移: 1、位移定义:由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生(相对)移动(线位移)，使杆件横截面产生(相对)转动(角位移)。 55 2、位移的分类:6种 绝对位移:点(截面)线位移——分解成水平、垂直两方向 截面角位移: 杆件角位移: 相对位移:两点(截面)相对线位移——沿连线方向 两截面相对角位移: 两杆件相对角位移: 统称为: 广义位移:角、线位移;相对、绝对位移 Δki:k:产生位移的方向;i:引起位移原因。如ΔA、Δat、ΔA PC广义力:集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合 二、引起位移的原因 1、荷载作用:(荷载?内力?变形?位移) 2、温度改变:静定结构，温度改变，?0应力非0应变?结构变形 (材料胀缩引起的位移性质同) 3、支座移动;(无应力，无应变，但几何位置发生变化) 刚体位移 (制造误差同) { 变形位移 三、计算位移的目的 1)刚度验算:最大挠度的限制 (框架结构弹性层间位移限值1/450) 2)为超静定结构的弹性打下基础 3)预先知道变形后的位置，以便作出一定的措施: (起重机吊梁、板)(屋架安装)(建筑起拱)(屋窗、门、过梁)(结构要求高，精密) 四、计算位移的有关假定 (简化计算) 1)弹性假设 2)小变形假设 建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系 3)理想约束(联结，不考虑阻力摩擦) 变线性变形体系(线弹性体系) 形荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消 体失，无残余变形，(可用位移叠加原理) { 系 非线形变形体系 (分段线形叠加) 4)位移叠加原理(类似内力、反力叠加) 56 ?7-2 变形体系的虚功原理 一、 位移 实位移:外因作用下结构实际位移 虚位移:根据解题需要，虚设位移状态 (满足变形协调，边界条件) 统称为:广义位移 二、 功: 力所做的功:该力大小乘以力方向上的相应位移 常力的功: T,P×Δ,P×D×cosa (大小、方向、作用点不变) dT变力的功:,,,P×cos(，ds)×ds P,,ss 力偶所做的功: 功两要素:力与位移P:广义力(力、力偶、相对力、相对力偶) Δ:和广义力相对应的广义位移(线、角、相对线、相对角) 注意:在定义功T时，没有说位移Δ是由力P引起的，可能由P或其它原因，但P力照样作功。 例:简支梁，两个集中力，分别作用，先后作用。 P 1P 2 2 2 1 1 Δ 21Δ 11Δ 22 Δ 12 P1=1/2PΔ 实功:W1111 P 22 1 实功:W=1/2PΔ 2222Δ 21 Δ 11 Δ 22虚功:W=PΔ Δ 12112 可以看出:不论位移是否由内力引起，只要在力的作用方向上有位移，该力就对位移作功。 引出功的形式有两种: 实功:力与位移相关。 力在其本身引起的位移上所做的功。积分得:T=P×相对位移/2，恒正 虚功:力与位移无关。 力在由其它原因(别的力、温度变化……)引起的位移上所做的功，T’,力×位移 注:?力:广义力;位移:广义位移 ?虚功并非不存在之意，力和位移是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，只强调作功的力与位移彼此独立无关:做功的位移不是由力引起的，而是由其它因素(其它力、其它外因)引起的 ?作虚功的位移，并不限于荷载引起的，也可以由其它原因引起的。 ?实功恒为正，虚功可正可负 57 ?两种功计算方法不同 本章讨论虚功原理，目的是为了研究结构的实际状态: 1)未知力:虚位移 2)求位移:虚力 所以作虚功时，力状态和位移状态是彼此无关的，其中任一可以虚设，但并不是随便假设。 所以对于虚功，应该强调两点: 1)假设的这种虚位移(或虚力)和所研究的实际力系(或实际位移)完全无关，可以 独立地按照我们的目的而虚设; 2)假设的虚位移(或虚力)在所研究的结构上应该是可能存在的位移(或力)状态; 也就是:位移状态:应该满足结构的变形协调条件，边界条件 力状态:应该满足结构的平衡条件。 1、广义力和广义位移对应(虚功的几种形式) 2、无关 3、其他外因 关于虚功的几点说明 4、一个实际、一个虚设、解决两类问题 5、独立按求解目的假设 6、满足相应条件 三、刚体虚功原理(简单回顾一下) 对于某一刚体体系，存在一个力状态，满足静力平衡条件 同时存在一个位移状态，满足变形协调条件，边界条件 两种状态无关 ，对于力状态中所有外力对位移状态中对应的位移所做虚功总和为0。 注意:力状态、位移状态可以分别是虚设的，则:虚功原理有两种形式: 虚位移原理:求力 虚力原理:求位移 1、虚位移原理，求静定结构的约束力(支反力或内力)(结合例题) 取实际力状态，解除待求约束力的约束，用约束力代替，静定结构?可变 步(刚体体系) 骤 { 沿待求约束力方向虚设单位位移，以刚体体系产生的位移状态 虚位移状态 ?虚功原理 单位位移法:在拟求未知力X方向虚设单位位移，利用几何关系求δ 。 P特点:利用几何方法求解静力平衡问题。 2、虚力原理，求刚体体系的位移(结合例题) 单位荷载法:在待求位移方向虚加一个单位荷载(两者对应，以达作虚功的目的) 58 特点:用静力平衡的方法来求解几何问题。推广到变形体的位移计算。 3、静定结构在支座移动时的位移计算(结合例题) 上面2的方法可以推广一下:从上节课的分析可知，静定结构在支座移动时，不产生任何内力及变形，因此结构的位移纯属刚体位移，可以利用刚体体系的虚功方程求解。 例: 四、变形体体系的虚功原理 1、弯曲转角、轴向伸缩变形、横向剪切错动: 刚体体系的虚功原理不再适用，但可以将之推广: 由能量守恒: H:外部吸收的能量;W:外力所做的功 W，H,,E T:动能;U:变形能的增加(内力做功);E:结构能量的改变 ,E,T，U 若加载缓慢，不考虑能量损耗: W,U 外力所做的功,结构形变能的变化=内力所做的功 变形体体系上第?状态的外力沿第?状态中相应的位移所作的虚功(外力虚功)=变形体体系上第?状态的内力沿第?状态中相应的变形(应变)所作的虚功(内力虚功)。 2、形变能:由于结构的材料发生变形而储存在结构内部的能量，等于加载过程中内力所做的功: dψ rds du 任一隔离体 轴向拉伸或压缩 剪切错动 弯曲变形 U=内力所做的功 对任一微段:du,Ndu，Qrds，Md, ,,, u,Ndu，Qrds，Md,若各微段的变形连续分布:对一杆件 ,,, U,Ndu，Qrds，Md,对整个结构而言: ,,,,,, 3、虚功方程 P.d,,Ndu，Qrds，Md, 外力虚功=内力虚功 ,,,,,,,, 例: 59 实际力状态:外力:P; 内力:N、Q、M 满足平衡条件 实际位移状态:位移:Δ; 变形: 满足相容条件 d,durds 虚位移状态:虚位移: ,, 虚变形: ,,,,,u P虚力状态:虚外力: QQM 虚内力: N 虚位移原理:实际力状态+虚位移状态 ，， P,.,,N,u，Q,,，M,,,,,,, 虚力原理:实际位移状态+虚力状态 ，，P.,,Ndu，Qrds，Md, ,,,,, 注: 实 虚位移原理 力系平衡 1) 力与位移无关 虚功原理 功能原理 虚 虚 实 虚力原理 位移相容 也就是说: 作功的外力和内力组成力状态应满足平衡条件;位移和应变(变形)、位移状态应满足变形协调条件和边界条件。这两种状态是彼此无关的，其中一个可以虚设，计算结构位移时应取实际的位移状态，再虚设一种平衡的力状态进行求解(虚力原理)。 2)上式变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系(二维板壳结构和三维块体)，我们用于一维杆件结构的变形体体系的虚功原理。 3)实际的力状态或虚设的力状态(内外力)均应满足的静力平衡条件。 4)杆件结构的每一个杆件的位移状态(实际或虚设)均应满足:?任一微段满足应变,位移关系;?边界位移满足约束边界条件。 这两个条件即为变形协调条件，如果一个杆件的位移状态满足这两个条件，则称这种状态能满足变形协调条件或称他是几何可能的位移状态。 60 ?7-3位移计算的一 般公式(单位荷载法) 一、基本公式的推导: 例(P107页图7-5):一刚架:在外荷载、支座位移及温度变化等作用下而发生变形?产生位移，要求:任一点K沿指定方向K-K的位移分量Δ，实际位移状态5-14a，C实际的kaa支座位移，ε、γ、κ，实际的轴向应变、剪切角、曲率。 aaa 仿照刚体体系求位移方法(单位荷载法):取实际的位移状态作为位移状态，虚设一个力状态，越简单越好，且要求和Δ相对应，使虚功方程含Δ，要求对Δ作虚功，kakaka所以沿K-K方向虚加一无量纲的单位荷载P=1(单位荷载法)，则结构在虚单位荷载作K R'R''NQM用下，支座C产生虚反力，，产生内力，，组成一个平衡的力状态，kkkkk 和原位移状态无关(虚)。例:5-14b) 外力虚功 ,P,，RC，RC，RC,1.,，RC,KK112233K ，，内力虚功,Ndu，Qrds，Md, ,,,, 由虚力原理建立虚力方程得: ，，,Ndu，Qrds，Md, 1.,，RC,,K,,, ,,,RC，(Ndu，Md,，Qrds)因此: ,,k,,, 二、公式应用说明: 1、引起位移的外因可以是荷载，也可以是初应变、支座位移、温度变化、装配误差、制造误差、材料胀缩等。 2、引起位移的变形可以是弯曲变形，也可以是轴向变形或剪切变形，同时含刚体位移。 3、所能计算的位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线(角)位移，也就是广义位移。 4、杆件结构的类型可以是梁、刚架、桁架、拱或组合结构，它们可以是静定的，也可以是超静定的。 5、材料可以是弹性，也可以是非弹性的。 61 6、应用这个公式每次可以求一个广义位移分量。沿待求位移方向加虚单位力时指向可以任意假设，若求得的位移为正值，则示实际位移的指向和假设单位力的指向相同。 7、所加的虚单位广义力应该和所求的广义位移对应。 1)求某点(截面)的线位移:水平、竖向、某方向、总的线位移，沿所求线位移方向加单位力。 Δ Δ CVCV (方向未知时，求Δ、Δ?Δ) CVCHC 2)结构上某截面C的角位移，单位力偶。 3)杆件角位移θ，加两集中力组成的单位力偶 AB 4)A、B两点沿其连线方向的相对位移Δ，其连线上加两个方向相反的单位力 AB 5)两截面相对角位移，两截面上加两方向相反的单位力偶。 θ左右 θ CAB 6)两杆件的相对角位移 62 两个方向相反的单位力偶如图，每个单位力偶由两个集中力形成。 前述广义位移主要有六种形式，相应的广义力也有六种，两者一致。 ?7-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 一、一般公式 ,,,RC，(Ndu，Md,，Qrds),,k,,, 若引起位移的外因仅是荷载，即仅考虑荷载作用: 1)支座位移C =0，也无温度影响; 2)微段变形du，rds，d是由实际荷载在ds微段引起的轴向、剪切和弯曲变形,记为:, du，rds，d,。设N、Q、M分别表示实际荷载作用下结构内微段的轴力、剪力、PPPPPP 弯矩。 对于线弹性材料，由材料力学公式知: NdsQdsMdsPPPdudskd,,,,,， ， PPPEAGAEI注:?杆件的拉伸刚度 剪切刚度 弯曲刚度 2AS*?k,dA——剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，和截面形状有关。 ,22IbA 矩形截面:k=1.2 圆形截面:k=10/9 { 工字形截面:k=A/A，A(腹板面积) 11 薄壁圆环形截面:k=2 3)代入位移公式，得由荷载引起: ,,Ndu，Md,，Qrds,,,kPPP,,,P kQQN.NMMpPP ,,(ds，ds，ds),kp,,,EAGAEI这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。 P,1单位荷载法:沿所求位移方向虚设单位荷载求所求结构位移的方法 二、 公式说明 QMP,1N1、、、:引起的内力 对于静定结构均可由平衡条件求解 63 、、:实际荷载引起的内力。两组内力符号一致 NMQPPP 2、EA、EI、GA:抗拉、抗弯、抗剪刚度。位移与截面有关 3、:杆件长度积分;:各杆件和积分值求和——积分法 ,, 建立内力函数时，实际状态与虚拟状态的坐标应取为一致。 4、对于不同类型的结构，上式可以简化: 1)梁、刚架:以弯曲变形为主，轴向、剪切变形很小，可以略去。(结合例题说明) MMP,,ds ,kp,EI 例:P112页图7-10。 N2)桁架:只有轴力，且同一杆件的轴力、N及EA沿杆长度l均为常数。 Pk NNNN.lPP,,ds, ,,kp,EAEA 例:P113页图7-12。 kQQN.NMMpPP3)拱: ,，,(ds，ds，ds),kp,,,GAGAEI 一般取一项，但当拱轴线?压力线成为合理拱轴时，N为主要时取两项。 4)组合结构: 梁式杆，只考虑M { 轴力杆，只考虑N MMNNlPP ,,ds，,,kp,EIEA梁式杆轴力杆 5、计算基本步骤: QP,1MNMQ(1);(2)、、;(3)N、、;(4)代入公式 PPP 三、公式应用: 这种直接利用公式积分求位移的方法:积分法。 注意:?各杆可根据需要取不同坐标轴，列内力表达式; ?同一杆两种状态内力表示时，坐标轴应相同; ?同一杆件，两种状态下，内力正负号规定应相同; ?须对所有杆件叠加，不能遗漏。 64 ?7-5 图乘法 梁式杆件在荷载作用下位移计算公式: MMP1.,,ds ,kp,EI M因为一般情况下，每杆的、M变化规律各不相同，同一杆荷载复杂时，分好几Pk 段列方程，你必须每个杆取一坐标系，列弯矩方程、积分、叠加。当1)杆件较多;2)荷载较复杂时，求解起来比较困难。将内力与内力图联系起来——图乘法 一、图乘计算原理及计算公式 1、条件:?对于一段等截面直杆; ?当EI沿长度方向不变时，(工程中梁、刚架、组合结构的杆件大多是等截面直杆且由同一材料做成); M?分别作出该段杆的、M图，若其中有一个图形乃直线图形。 Pk 杆段图: P114页图7-13。 MMxtgM,tg,PPds,ds,xMds ,,,p,,,EIEIEI y,.tgtg,,c,xd,x, ,,,,,c,EIEIEI Btga说明:(dw= M(x)dx;dx很小?小矩形)=，几何意义:微面积dw对y轴的x,dwP,AEI Bx,dw面积矩;:AB段M图的面积w对y轴的面积矩。用x表示M面积的形心到Pp0P,A y轴的距离，则根据材力(理力)的分析:M图的面积w对y轴的面积矩=M图的面PpP Bx,dw积w*该图形的形心到y轴的距离x，也就是:=w•x。所以:上式p0p0,A tga11= wxwxtgawy,,,,,,,,P0P0P0kEIEIEI M其中y为图中与M图的形心相对应的竖标。 0kPk M当然:如果M图为直线图形，图为直线或曲线图形，可得类似结果。 Pk M结论:对于一般EI=常数的等截面直杆，求由弯矩引起的位移时，若图是直线k MMMM11KPKPdsds图形:=;若M图为直线图形:=，这两wywy,,,,PP0kK0P,,EIEIEIEI个式子就是图乘公式。 wyMM,KP0ds如果结构上每一个杆均可图乘，则Σ=Σ ,EIEI 图乘法求位移把列弯矩方程，求积分的问题?作M图，求面积、形心、竖标的问题， 65 如果作M图比较熟练，那么当1)杆件较多，2)荷载较复杂，图乘法比积分法方便、优越。 二、公式应用说明: 1、注意应用的三个条件 M2、符号:图和M图在同侧(积分值为正，所以…)，(w和y在杆件基线的同侧时)P0k w、y为+，否则为- 。面积、形心、竖标三者关系。 0 3、几种常见图形的面积和形心位置(P115页图7-14。) a) 三角形:面积w=lh/2，形心2l/3(直角);面积w=lh/2，形心(l+a)/3 b) 全二次抛物线(上凸):面积w=2lh/3，形心l/2 c) 二次抛物线(上凸):面积w=2lh/3，形心5l/8 d) 二次抛物线:面积w=lh/3，形心3l/4 e) 三次抛物线:面积w=lh/4，形心4l/5 f) n次抛物线:面积w=lh/(n+1)，形心(n+1)l/(n+2) 抛物线顶点:顶点处的切线与基线平行。 4、图乘法的关键:求w;形心的位置;y，但应注意其三个应用条件。对于简单图形，0 确定w、形心的位置及y均比较容易;对于复杂图形，确定w、形心的位置及y均比00较困难，这时可将图形分成许多简单图形的叠加，分别定面积、形心和竖标，分别图乘叠加，求代数和。注意:弯矩图的叠加是竖标的叠加，而非图形的叠加。 图乘法应用时的几个具体问题。 1) 如两个弯矩图形均是直线，则标距y可取自其中任一图形(对应)。 0 2) 如一个为曲线，另一个是几段直线组成的折线，则分段叠加。 3) 两个梯形图乘(公式计算)(变化形式，有正负、异侧) 4) 均布荷载作用区段，区段叠加法、分解(对应)，弯矩竖标叠加而非图形叠加。 (a+b)图乘c=a图乘c+b图乘c，图乘法的优势:利用大家比较熟悉的内力图的作法。 下面我们再讨论两个题目: 例: MM P1 11221211222112222,,(,l,ql,,l，ql,l,l，,2l,ql,,l，,2l,ql,l) P1EI233833233323 66 114,ql (图乘法)12EI 例2:P118图7-22。 例3:P117图7-21。 例4:P118图7-23。 ?7-6静定结构温度变化时的位移计算 静定结构由于温度变化，不产生内力，但由于材料自由伸缩引起各微段发生变形。 温度引起的位移计算的一般公式: ,,Ndu，Md,，Qrds,,,kttt,,,t式中: du1、微段ds轴向变形:P119页图7-24。 t 假设温度变化沿截面高度成直线变化，此时温度变化时截面仍保持为平面。 tt:为截面上、下边缘温度变化; 、12 hh,,t，t2112t,，为杆轴线处的温度变化,若截面对称，则 t,t，t,,122hh,, hhh,,121杆件轴线处: du,,tds，,(tds,,tds),,t，tds,,tds,,t12112hhh,, d,2、微段ds弯曲转角: t tdstdstt，，,,,,,tds,,2121d ,,,,thhh ,t,t,t21 3、微段ds剪切变形r: t r=0，由于对于杆件结构，温度变化不引起剪切变形 t 4、代入公式: ,,tds ,,Ntds，M,,,kt,,h Mds,,tNds，,,t 轴向变形+弯曲变形 ,,,,h ,,t 若为等截面杆 ,tNds，Mds,,,,,h ,t,,,tM,,,N 、:分别为、图形的面积。 ,，,,NMNMh 67 5) 公式应用注意说明: ?正负号规定:由于公式右边为内力所作的变形虚功，故当实际温度变形与虚拟内力方 向一致时其积为正，相反时为负。一般规定: t以升温为正; 轴力:以拉力为正; N M弯矩:以弯曲变形与引起的变形一致为正 ,t ?对于具体结构公式可以简化: ,t,梁、刚架:一般略去轴向变形的影响。 ,,,,ktMh 桁架: ,,,t,,N,tl,,ktN 组合结构:综合考虑梁式杆、轴力杆 ?当桁架由于制造误差，其杆件长度与设计长度不符时，所引起的位移计算: ,,N.,l,km 式中，为各杆长度的误差，升长为正，缩短为负;以拉力为正。 N,l 6、计算步骤: P,1M(1);(2)绘N、图，计算图形面积;(3)计算杆轴线处温度变化 (4)代入公式 例:P120页图7-25 ?7-7静定结构支座移动时的位移计算 静定结构由于支座移动引起的位移计算属于刚体体系问题。 一、一般公式: 由单位荷载法公式: ,,,RC，(Ndu，Md,，Qrds) ,,k,,, 若只考虑支座移动影响，则公式简化为: P121页图7-26 ,,,RC,kc R式中::虚拟状态下的支座反力; C:实际位移 R正负号规定:若与实际支座位移c方向一致时，其积为正，相反时为负。 二、求解步骤: P,1R(1);(2);(3)代入公式 例:P121页图7-27 68 ?7-8 线弹性结构的互等定理 线性变形体系有四个互等定理，这些互等定理在求位移和超静定结构的内力时是十分有用的。互等定理的应用条件是: 1)材料处于弹性阶段，ζ、ε成正比 线性变形体系 } 2)结构变形很小，不影响力的作用 一、 功的互等定理 例:同一种结构的两种受力状态:状态1、2。P122页图7-28 ?取状态1上的力系为作功的力系，取状态2上的位移作为虚位移，则 W,U,Md,，Ndu，Qrds,,,1212121212,,, (状态1的外力在状态2位移上的虚功=状态1上各微段内力在状态2变形上所做虚功) MdsNdskQ222 ,M，N，Qds,,,111,,,EIEAGA ?取状态2上的力系为作功的力系，取状态1上的位移作为虚位移，则 W,U,Md,，Ndu，Qrds ,,,2121212121,,, (状态2的外力在状态1位移上的虚功=状态2上各微段内力在状态1变形上所做虚功) MdsNdskQ111,M，N，Qds ,,,222,,,EIEAGA W,W? 1221 结论:在一线性变形体系中，状态?的外力由于状态?的位移所作的虚功=状态?的外力由于状态?的位移所作的虚功。同一位置的广义力和广义位移应该对应。 注:现在讨论这两个力按不同的次序先后作用于这一结构上时所作的功: 先P、后P;先P、后P。这两种加载情况，外力先后次序虽不同，但最后的荷载1221 及变形情况是相同的，则两者加载情况所作的总功应相等。也就是:外力所作的功和加载次序无关。 二、 位移互等定理 P123页图7-29、30 W,P.,两种状态，只作用一广义力: 12112 W,P., 21221 ,,1221,由功的互等定理:，即: PP21 ,,,(单位力P=1引起的P作用点沿P方向的位移=单位力P=1引起的P作用点沿211121221 P方向的位移) 2 结论:在一线性变形体系中，单位力P=1引起的P作用点沿P方向的位移(在数值上)211 =单位力P=1引起的P作用点沿P方向的位移 122 应用:力法计算超静定结构时使用。 69 例: 三、 反力互等定理 P123页图7-31 同一体系中任意两个约束1、2: 状态1:支座1发生单位位移Δ=1，在支座2产生反力r 121状态2:支座2发生单位位移Δ=1，在支座1产生反力r 212根据功的互等定理: rΔ= rΔ 212121 r= r 2112 结论:对于一线性变形体系，支座1由于支座2的单位位移所引起的反力r等于支座221 由于支座1的单位位移所引起的反力r。 21 应用:位移法计算超静定结构 (两种状态中，同一支座的反力、位移应对应) 四、 反力位移互等定理 P123页图7-32 同一体系中任意两个状态: ,状态1:支座1发生单位位移Δ=1，在2处产生位移 121状态2:2处作用单位力P=1，在支座1处产生反力r’ 212根据功的互等定理:W=r’×1+1×δ’ 211221 W=0 12 因此: r’=-δ’ 1221 结论:对于一线性变形体系，由于单位荷载P=1所引起的结构某一支座1处的反力r’=122 因支座1发生与反力方向相一致的单位位移时所引起的单位荷载作用处(2处)的位移， 但符号相反 应用:混合法计算超静定结构。 注:后三个互等定理均是功的互等定理的特例。 70 71