【doc】厚环壳的渐近求解方程和作用弯矩M0的解

【doc】厚环壳的渐近求解方程和作用弯矩M0的解 厚环壳的渐近求解方程和作用弯矩M0的解 应用数学和力学,第16卷第1期(1994年11月) AppliedMathemati.sandMechaniGs 应用数学和力学编委会编 重庆出版社出版 一 76 厚环壳的渐近求解方程和 作用弯矩M.的解 赵兴华 (上海大学,上海市应用数学和力学研究所) (1993年12月15日收到) O?f-2 摘要 本文从三维弹性力学基本方程出发,利用几何小参数口=r./风摄动展开,得到了任意载荷 下,厚环壳的各渐近求解方程.它可以分成两组类似平面应变问和扭转问题的独立方程组. 用此方程求得了厚环壳受弯矩肼!用的两级渐近解. 美?调厚环壳摄动渐近方程应力分析—————一——,—— —-——,——'———一 一 ,引言 关于细(薄)环壳的基本方程及其解法,许多学者已作了大量的研究工作", 取得了很大的进展.但对任意载荷下厚环壳的应力分析,研究不是太多.本文则利用小参数 ?=r./R.(环壳子午方向圆弧内径与圆环半径之比),从三维弹性力学基本方程出发, 通过 摄动展开,得到厚环壳各级渐近求解方程. 研究结果表明:这些方程可以分为两组类似平面应变问题和扭转问题的独立求解方程, 前面各级的解将作为已知量,影响下一级的体积力和应变修正项.这两组方程由边界条件可 以分别独立进行求解.在同一级内,这两组未知量互不关联,但在下一级中又相互影响体积 力和应变修正项. 利用平面应变问题类型的渐近方程,研究了在=0,/2边界上受弯矩肘.作用的厚环 壳的应力.结果表明,在=0截面上,沿壳体厚度ar,口,呈非线性分布,与曲杆的应 力分布十分相似. 二,厚环壳的渐近求解方程 1.基本方程 对于图i所示厚环壳,职,0, x=(Ro+c08)cos0 = (Ro+fco8)sinO 2=fsin~ 曲线坐标系,它与直角坐标的关系为: 051 (2.1) ,?lt,,?? 赵兴华 其中风为环半径,ro为子午线方向内弧半径.应力及位移符号如图l所示. 由三维弹性力学基本方程,通过坐标变换,能得到f,目,坐标系中的平衡方程,几 何关系和弹性关系.为使上述方程变为无量纲形式,引进以下无量纲符号t {|rro舢}一一1 (".,f,于rJ.,于一),?,f,fr,,f.,f?J 最后得无量纲形式的平衡方程为: ++)++arcos~[智1'a1'.'.lLd +(d一a)c.8一r,,8into]=0 , 1+++一 1+ar 殳 cOsrp _rt - ra..r.棚 +'rre~OS+(a,一.,)8in]=0 + r+:一1arc—os~o[dr.d.r一.+Ld口 +2.~COS--2r$~Sin0 n.佩关系: 弹性关系: ,一_l=[一豁.s一n]=dr'岛=l_l二aL一十"u一w儿J 1dzIJqa.1d衅zIJ fr十_f『,'f十一7 : 努+1+嚣一…s]?=十+?oL6一.uj = +.[into+arcos~o]fd1'lLJ (2.3) (2.4) ,?????【,???J 厚环壳的渐近求解方程和作用夸矩?的解g53———, 一 , 8r一(o1+盯,),er,=2(I十)fr,, '-t-一(r+o1),占.一2(1+)『.,}(2.5) 幽=一(,+,),8=2(1+)fJ 以上即为r,,坐标申的基本方程,求解时还必须满足相应的边界条件.这里F,分别 为弹性模量和波桑比. 2. 弯环渐j丘分析 对图I所示弯环,口=名《I.若设应力为a'量级,则位移可能是a,一量级.将城内 所有各量都晨成的幂级数,且都从量级开始,则有 昌口'(一.+一.口''+.口.+"+…) ,相似I 8f=?'(e:?一+8口一+8;口.+8;口'+…) 8?,8.,e,ef日,一相似, ,=口'(一+;口一+:.?口+…) 盯,,口,r,f,Ttp$相似, 1++a兰rcos一~口(1--arcos~+aZr:cOS~cp+_._] (2.6) 边界应力根据边界上的已知值,也展开成从'级开始的幂级数.对于巴知边界位移的 情况,级数是从?'级开始.将表达式(2.6)代入(2.3)一(2.5)及边界条件,随后取方程中 同次幂的系数为零,就得到如下各级渐近方程组. (1)对口,级渐近求解方程 平衡方程 . ++(.rr?r 十c3 r+;r-;=.rd?..r'一 ++r=. orr田r 几何关系 = 等,s嚣=下C3~-z+ .i=D, = e嚣=c3r— a一' ?r . 1口一 茹r一面 (2.8) 弹性关系的形式与(2.5)式相同.在边界上必须满足已知位移的条件.在给定应力的 边界 上,矿级的边界应力等于零. (2)对级渐近求解方程 平衡方程 T 2 ???-??l ,,????, ,?????I,,I????, 一 ? 了 一 054 几何方程 警, ;=口;, 赵兴华 =+ 等一等 幽=苦州? ?篑+一,=等 (珂=一l,0,1,2,3,…) 弹性关系的形式与(2.5)式相同.应力边界条件从级开始, 足位移边界条件.式中 (2.9) (2.10) 由给定值确定.同时还必须满 = [仲叫)cos~o-rsin] +[:叫c.s叫in](_rcos~o) +… +Lrar;一~+(:一.i)c.8一f茹8in](--rCOS)+l = 『一+c唧+(一)sin ' +[1州螂巾一in--rCO8) ?-? [+曲唧卜)8in(-rcoscp)I|+ = [~n;]COSq0--2r8in 十f亘霈c啷一2t8in](一rcos~) [eos一n](--rcos~o) [cos…?snH +H一co8妒一埘n一48in](一rCos~) (2.I1) 州 一十一 却苎一一 十畦.等 ,II??I??1)r?I?lI, 厚环壳的渐近求解方程和作用弯矩.的解 +.一?+[c螂一sin,J(-rcosg)一 啪=[--Vm-ICOS~o]+[.."cosl(-roost) +.-?+[等c啷](-roost) = [.18iLI"aw矿"-~](-rcos~) +.-,+[n卜rco =一1,0,1,2,3,…) 3.弯环渐近方程的一个性质 对方程(29),(2.10),(2.5)实际上可分为两组求解方程.即 A蛔. Or+:+{(:一d;)十月一(,):0rd?r'' ?+一+-2,(r,);0r?drr., , ?+{ =+;一睾 ,=一(o;+盯),,;=盯;一(盯+盯) s;=口;一(+口),=2(1+)r: B胡. (2.12) + %+.【r,)一o1 :,: 州,f?" ,0—2(1+)f日,,;=2(1+)f; A组方程与平面问题方程极相似,当e为零或常数时,即为平面应变问题方程.其中 ,相当于体积力,由前几级近似解求得.这组方程反映了弯环壳在r平面内的变形性 质,可以独立求解. B组方程与扭转闫题的方程极相似,O是对应的体积力,由前几级近似解得到.这组方 程反映了弯环受扭转和切力作用在目方向的变形性态,也可以独立求解. 由于体积力项是由上一级近似解求得的,因此这两组方程很容易按边界条件逐级求解下 去.对同一级,这两组的未知量互不关联,而在下一级又相互影响体积力和应变修正项.由 此可知:弯环的弯曲问题和扭转问题可看成两个独立的求解问题,其相互作用是在更高一级 的近似解中A反映. 显然,上述两组方程比原方程容易求解,其计算模型的物理意义也是十分清楚的.须 g56赵兴华 指出:上述方程对弯环各种受力情况都适用,对弯环的厚度,曲率边界形状并无限制,周 此它是承解d一叠艇1这类问题的一般方程. 三,弯环壳受弯矩Mo作用的渐近解 弯环壳受弯矩Mo作用时,其边界条件为(图 r=口,bta,mO,f.=0 0:fr,=0,=0 = 乏:=o,J:=o'Ja D ordr=M. r=. 由方程(2.12)和边界条件(3.1),解得一,.' a,级方程的解. :,.." I.驳万槿明群 方程(2.12)化为: + 簪+手(=o1 {努+等+I , o l 等+譬,幽一?等+一孚J o ,一一 4M[-1n;1n舌ln:] o一 4 :Mo[ln詈+6ln舌一.ln詈+一] ;=一4Mol[2n---2a2ln詈] f:?;0 一 !({华ln詈十(1)[1; 一 ln三]r一(1一)(6一.)r卜c.s .;一 sM(1一 )(一口)+.sin9 (3.3) - 里查塑塑蟹堡塑堡旦塑!!s7 其中一(6一口).一4.61n詈) 此解就是平面应变曲圩的解.因此弯环壳受纯弯作用作用其第一级近似解级)实 际就是曲杆解.其中为待定系数. 2."级方程呻渐近解 由方程(2.12)和关系式(2.11),(3.3)得口"级的求解方程为 平衡方程: +{鲁+((r'1dr'r却'rl + 专r+l(r::.Jrrr., 奠中 (3.4) )=[ln詈一(1--2p)(b.ln舌ln吾)]c08 [譬ln詈+(1--2g)(bln吾ln吾)+(1)]8in 儿何夭糸 苦,=苦+;一t+譬 e一一 4M.(1+p)("--r1n詈+(1)(纠n{ln詈)r 一 (1一)(b2一.)r)c.8. +堡(1一.)(6一口z)rsinq~--. 引入满足方程(3.4)的应力函数,则 + 等+4Mt-2#)[brln?吲cos +In詈+(1-2g)[bnrrln] +(1-p)(b一.)r)c.8 .1d1d 一 r却rdr如 根据几何关系(3.5),还应满足协调方程 z= 一 (s 其中v=嚣+1告+?.取(..)式的解为 (3.5) (3.T) 赵兴华 ' [BLr3+c专+Drlnr]c.8+trsin 一 (1--2/.t)(62-n.1n_6r—i5r]c08 代入(3.6)式得 2+2Br- 2C+D1r]c, 一一一 ))[2r1n詈?n吾曲]c0日 +(1--2~)[bn吾r1nc唧 ct1仙;]c0s一一)(62_ ? [er1n:+6r1n一5r]c唧 + [?n詈+(一z)(6rn吾一.n吾) +(1一)(6.一.)r]c.8, = c+D]stn一一0(轳) ? 2r1n+2r1n{-3r]sin (3.9)式满足(3.1)式时.各系数为: 系数A1,Bl,CL,DI由边界条件决定.当l=一 2Mo.1 — 2)d6ln{ 一 (一)圳(1n;) +(6|-a')ln:+2(6一)] ct—i1,i1—0.6I鲁 DI=(一(一勃纠唁^a.] (3.8) (3.9) (3.1o) 其中H=(.+6)ln詈+护一. 将(3.10)式代入(3.9)式就得…级的,口;,rP之解.对于口;根据弹性关系(2?)式和 t3.5),(3.9)式则有 厚环壳的渐近求解方程和作片3矩朋.嗨解 , 一一———一…一. :(口十口;+(1一矿)(bZ一.)r8in一;=(仃十盯;+(1一)(一)r昌n一 ' 一 (1+)[一ln0+(1-2u)(brln詈 rln詈)一(t-)(6)r]嘲 由n.何关系(3.5)式和边界条件(3.1)式求得位移为: 为新的待定常数. (312),???【,?,?, ?6O赵兴华 3.常数,的确定 +t级以上的近似解十分冗繁,不再烈出.在此仅设法求出,ap~l级中出现的位移棒 定常数.,. 在级中,根据x方向体积力的台力匣为军田条件采碉足.,则l惜 一 {(2—3p)(h一口)+(i-4~,)B(6-一.') 一 CI(I一+(吉一.D(6 +—Mo1— ([(1-4)(纠n~-+aSln旦) +(三一号)()] +[3a*)ln{+(3叫n詈 一 半(1一)(州a.)]} 根据+s级中x方向体积力的合力为零的条件可以确定,略击小置后有 , [(m6ln1(1(1)] -- B1(1+)(口I+6) [吐(6lln16.d'lna)+] +鲁 +(+){[(r+0(a'+6)+.(一p)a'6I]ln詈 +(一{+4p+3)(6'.) (3.13) (3.14) 这样由(3.3),(3.13)和(3.12),(3.I4)式给出Ta'和"级的位移解.由(3.3),(3.9), (3.11),(3.13)式得到口和+级的应力解.在此,"的解是精确求出的.为判断解的 收敛性,也可根据.,.级的体积力,甩简单的曲杆公式求."级的应力,以便与前两级应力 解作比较. 表1和图2射出了作用M.时,=O面上应力的各级渐近解.计算结果表明,收敛非常 迅速.当r./风;1/l5,b=2a时,一级近似误差为10,二级近似解误差为4,三级近似 解的误差小于l.沿截面厚度,,,星非线性分布,与曲杆的应力分布规律十分相 近.因此对这种弯环壳,工程上用曲杆公式佶算其应力是合理的. 厚环壳的新近求解方程和作甩弯矩的求解 囊1作用膳.时.膏辞一0t面上的鹿力分靠(无量纲) 口'十l口十j ×村._】I?_.I谭I ×(面ro)×)'?. 1.97.755一6.454—61.087.7557.3257.0s401.6n 1.23.501—2.S一钾.903.5973.3353.卫Il9.8500.734 1.49.5420.306—4.盘0.20.s629.543.0984—0015 1.6一1.6892.6o5l3.S6一1.689—1.516—1.4560.788--0.651 1.8—3.4744$3327.39-3.474—3.172--3.0919.411--1.234 2.0-49l,6.20528.44—49l,—4.蛐3—4.3320—1.仰6 误差104 0注:,】_口轻.,I一口+口+|骚,叽)111=口+口p++口相级 i--,.db.~,=rotl一: 墨2膏一0t西上的应,l分布 参考文献 【1】Flilgge.W.,StressesiaShells,(1060). [21镜伟长,郑思粱,轴对称圆环壳'々一般解.应用数学和力学.1(3)(1980). 【3】钱伟长,吴明德.u型谴纹营作线性特性慑动法计算.应用数学和力 学,'(5)(19gs). 『41Timoshenko,S.and.N.Goodier.TheorgofE~asticify,(1951). 【5】赵兴华,蒋智翔,帚士都弹性谴形厚壳姆直力和变形分析,清华大学研究报 告,(19d6). 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