最速降线

最速降线 最速降线的验证实验 当我们对某个结论理解不深或有怀疑时，可做数学实验进行验证。使我们对某些理论提高认识、加深理解。验证时，可以从某个侧面去验证，也可以从多个侧面去验证。 例 一个在点O(0,0)静止的质点在重力作用下，该沿什么轨迹曲x O(0,0) 线C无摩擦地从点O(0,0)滑到点B(1,1),才能使所花时间T最短,(见 图2) A(x,y) 由于质点在下降时所增加的动能应等于所减少的势能，故质点在 21C mv,mgy点A(x,y)处的速度v满足.其中，m为质点的质量。从而2B(1,1) y 图2 质点沿曲线C下降 ，且利用微积分的微元法可知T可由曲线积分求得: v,2gy dsds T,,,,v2gyCC [1] 从理论上推断，曲线C为摆线时T的值最小，假如我们对此结论不太确信，则不妨对曲线C分别为摆线、直线、圆弧和抛物线的各种不同情况计算一下T的值并加以比较。 (1)C为摆线。先让我们来考察当C为摆线时T的值。过点O与点B的摆线方程为 x,0.5729(t-sint), ,y,0.5729(1-cost), 其中，t=0与=2.412088分别对应点O与点B t=t，0 2222 ds,(dx)，(dy),0.5729(1,cost)，(sint)dt 22t0057291,，ds.(cost)(sint) ,, Tdt,,21,2gcostgy0C 用Mathematica软件求解，输入 T,NIntegrate[0.17096661-Cos[t]，(Sin[t])^2/(1-Cos[t]),{t,0,2.412088}]输出T=0.583203。 (2)C为直线。我们总觉得，空间两点用直线连接时其路程最短，从而质点运动时间好象也应该是最短的。让我们来算一下此时的T值。过点O与点B的直线方程为x=y (0?y?1)， 11ds2dy1dy2 T,,,,,0.638877,,,2gy2gygygC00 可见，的确是质点从点O到点B沿直线运动不如沿摆线运动快，T值增加了9.55%，还不算小呢。 (3)C为圆弧。再让我们来考察当C为圆弧时T的值。此时过点O与点B的圆弧方程为 22 x,a,r,(y,b), (0,y,1) 其中，(a,b)为圆心坐标，r为半径且r?1。因为圆心必在直线段OB的垂直平分线上，故推 21211212，r,,r,得a+b=1,进而得，， a,b,22 1rdyds1dxrdy2，， T,,ds,()，1 dy,,,2222dy2gy2gry,(y,b)yCr,(y,b)0 , 此时T是r的函数，显然r越大，C越接近直线。具体的曲线形状如何，可以通过作图观察。在Mathematica软件中输入: rb=(1-Sqrt[-1+2r*r])/2;; T,NIntegrate[,{y,0,1}] 19.6(r*r*y-y*(y-b)^2)Plot[T,{r,1,3}] 可得图3,从图可见，T的最小值点在r=1.3附近。再1.522.530.5975输入:FindMinimum[T,{r,1.3}]， 0.595 0.5925得输出:{0.58512,{r->1.33136}} 0.59 这说明当曲线C为半径r=1.33136的圆弧时，质点从0.5875 0.585点O到点B的下降时间达到最小值0.58512，比C为直线 时要快，但不如C为摆线时快。 图3 T与r的关系 (4)C为抛物线。再让我们来考察当C为抛物线时T的值。此时过点O与点B的抛物线方程 2为x=ay+(1-a)y ，其中，参数a(0?a?1)影响抛物线的弯曲程度。 12ds(aya)12，1,，1dx22， Tdy,,ds,()，1 dy,(2ay，1,a)，1dy,,dyygyg22C0 此时T是a的函数，显然a=0时，C为直线。我们可以作图观察T与a的关系。 在Mathematica软件中输入: (2a*y，1,a)^2，1; Plot[T,{a,0,1}] T,NIntegrate[,{y,0,1}]19.6y 可得图4，可见T的最小值点在a=0.9附近。再输入: 0.64FindMinimum[T,{a,0.9}]， 0.63 得输出:{0.583778,{a->0.913034}} 0.62 0.61这说明当曲线C为a=0.913034的抛物线时，质点从 0.20.40.60.81点O到点B的下降时间T达最小值0. 583778，比C为圆0.59弧时要快，但不如C为摆线时快。但也已经十分接近，只 是增加了0.1%. 图4 T与a的关系 以上从多个侧面验证了几种曲线都不如摆线的T值小， 这使我们更加确信理论推导的结论。 . ,