广义 G − 函数在广义CAMPANATO空间上的有界性1

广义 G − 函数在广义CAMPANATO空间上的有界性1 1g ? 函数在广义Campanato空间上的有界性广义 楼煜波，陶祥兴，葛杰 宁波大学理学院数学系，宁波 (315211) E-mail: louyubo@126.com; taoxiangxing@nbu.edu.cn摘 要 : 本文 讨论了一 类广义 g ? 函数 gf x ，它包 括了我们 所熟知的 ( ) ( ) r Littlewood-Paley g ? 函数和 Hardy-Littlewood 极大算子。在这篇文章中，我们主要证明了 p ,Φngf x 在广义 Campanato 空间 ER 上的有界性，其中1 < p < ?， Φ = Φ r 是( ) ( ) ( ) ( ) r 一个定义在 0, +? 上的正增函数且满足双倍条件。() 关键词:广义 g ? 函数 广义 Campanato 空间 中图分类号:O174.2 1(引言与主要结果 n 设 R为 n 维欧式空间，我们称ψ x ? ε 函数类，若ψ x 满足( ) ( ) ?n ?δ n 1 n (1) ψ x + 1 + x ?ψ x ?C 1 + x ，x ? R，ψ ? CR ，δ > 0 ;( ) ( ) () ()( ) ψ x dx = 0 。(2) ( )n ? R n 设 ，我们定义广义 函数为f ? L( R ) g ? locr 1 ? r?r dt ? =? ? ψ * f x ? r 0 1 x ? ? ( f ) ，其中ψx ψ ， t > 0 。在下文中，我们省去角标ψ ，记 gf 为 =g( ) ( ) t ψ ,r r? ?n t t ? ? 称为 g?函数。 r g? 函数是 Littlewood-paley-Stein 型函数的推广 ，当 r = 2 时就是常见的 r Littlewood-paley g ? 函数，参见[1]，[6];而r = ?时就是 Hardy-Littlewood 极大函数。文[2]， [3]分别研究了 Hardy-Littlewood 极大函数和 Littlewood-paley g ? 函数在BMO 空间上的有界 性，对其余的 r ，孙永忠又得到了类似的结果，参见文[4]。受上述文献的启发，我们在本文 中讨论了 g?函数在广义 Campanato 空间上的有界性问。r 下面，给出本文所需要的一些基本定义和有关事实。 设 Φ = Φ r 是一个定义 0, +? 在上的正增函数且满足双倍条件，即存在常数 D ?1 ，( ) () Φ 2r ? DΦ 2r 有 。( ) ( ) n p ,Φ n 定义 1 设 f x 为 R上的局部可积函数，称 f 属于广义 Campanato 空间 E R，( ) ( ) 1 ? p < ?。如果 1 pp ? ? 1 = C < ?sup f x ? f dx ( ) ? n By ,r ( ) ( ) ? By ,r ( ) -1- ? Φ r y?R ,r >0 ? ?1本课题得到国家自然科学基金(No.10471069)和宁波市自然科学基金(No.2006A10090)资助。 -2- 1 n其中 f=f t dt ，B y, r 是 R 中任意 一球，并 C 称为 f x 的范数，()( ) ( ) By ,r ( ) ?By ,r ( ) B y, r ( ) 记为 1 pp ? ? 1 f = sup f x ? f dx ( ) ?? By ,r ( ) p , ( ) ?n By ,r ( ) . Φ Φ r y?R ,r >0 ? ? β p ,Φ n 注 1:从广义 Campanato 空间的定义可见，当 Φ r = r ，0 ? β ? n + p 时，E R ( ) ( ) n p ,Φ 为经典 Campanato 空间。如果 Φ r = r 时， E 即为 BMO 空间。( ) p ,Φ n β 定理 1 设 2 ? r < ?， ψ ? ε 函数类。若 f ? E R ，1 < p < ?， 1 ? D < 2， ( ) β ?n f x = ?，或者几乎处处有 g f x β ? n ( )( ) k +f y ? f dy ? ( ) k +1 ? 1 n+δJ= C 1 ? k +1 1 Bk 1? f y ? f( ) 2r 1 () k =0 (p?p 0 1 1 dy B 2 2 B ) n+ ? C ? 2 Bk +1 2 2B δ+1 k k k +1 p k ? C 2r Φ 2r () () ? ( ) ? 2 r k =0 0 n 1? f p ,Φ ? δ? p p 0 0 +1 k k =0 kp 1p?C 2rD Φ r( ) ) ( n ? ? 0 0 ? ?δ k =0 f p ,Φ ? ?β ?n n p ? 1k ?δ ? ?δ? ? Φ rf( ) 0 2 ? C r ? 0 k p ? ? =0 1 p n ? ?δp p -5- 2 p ,Φ p (2.4) f ?Cr Φ r0( ) p ,Φ 0 现在只需估计 J ，由 Hölder 不等式得: 2 1f ? f? f y ? f dy( ) k +1 k k +1 k +1 k ?2 B 2 B 2B2B B 1 1 p 1? 1 pk +1 p? 2B f y ? f dy ()k +1 k +1 ) (?k 2 B 2B 2B 1 n? kk +1pp ? C 2Φ 2fr (() ) 00 p ,Φ +1 k n 1? ?C 2r()0 D Φ rf( ) r 0 (2.5) p ,Φ p pp k β ? n k ( )1 n ? Φ rf( ) 0 ? 2 ? Cr 0p ,Φ 所以，由(2.5)式可得 p p p k ? f ? ff ? fj k +1 j+1 B? 2 B 2 B 2 B j =0 -6- β ? nj( ) n k 1 ? p p p? C r? 2Φ rf( ) ?0 0 p ,Φ j =0 k β ? n ( )n 1 ? ? C 2(2.6)Φ rf( ) 0 r 0p ,Φp p p 故 k β ? n( )n ? 1? 1 p pk +1 p J ?Cr Φ r f ? 2 2B( ) ?2 0 0 n+δp ,Φkk =0 2r ()0 ?β n ? n ? ? ?1k ? ?δ ? ?δ ? ? p p p ? ? p? ??Cr Φ rf2( ) 00 ? p ,Φ ? ?k =0 ? ? n 1 ? ?δ (2.7)Φ rf ()0 ? Cr 0 p pn ?δ ? p ,Φ 1 ，引理得证。 综合 J和 J 的估计，可得 I?Cr 1 2 2 0Φ rf( ) 0 3(定理证明 p pp ,Φ n假设 gf x ?0 几乎处 处成立， 记E = x ? R: gf x < ?> 0 ，取 ( ) ( ) ( ) ( ) {} r r ' ' B x? E ，以 x为中心， r 为半径作球 ，首先证明 0 a.e x ? Bgf x < ?， ( ) ( ) r 对 f ( x) 做一个分解 f x =+ f x ? f+f x ? ff ( ) ( ( )( )))(c 4 B 4 4 B B 4 B χ χ 4 B ( )( ) = fx + fx + fx ( ) ( ) ( )1 2 3 由于 fx = f是一个常数，故由 ψ x dx = 0 知 gfx ?0 。( ) ( )( ) ( ) 1 4 B r 1 n ? R p ,Φn对于 fx ，由引理 1 及f ? ER可知:( ) ( ) 2 p p p gfx dx ?C fx dx ?C f x ? fdx( ) ( )( )( ) r 2 n2 4 B ? ??B R 4 B p p (3.1) ? CΦ 4rf? CΦ rf( ) ( ) 0 0 p ,Φp ,Φ 即 gfx < ?， a .e x ? B . ( ) ( ) r 2 ，使得 据题设 E > 0 ，因此我们有 B ? E > 0x? B ? E，于是存在 0 gf x分析