排列组合的概率

排列组合的概率 第二讲:排列、组合、概率及分布列问 一(两个原理: 例1.集合，，则从集合A到B的映射共多少个, A,{1,2,3}Babcd,{,,,} 变式1:汽车上有10名乘客，沿途有5个车站。则不同的下客方法有几种, 变式2:(2006浙江高考理 10)函数满足，这样的f:{1,2,3}{1,2,3},ffxfx(())(),函数个数共有 种. 例2.如图,要给A、B、C、D四个区域涂色，允许同一种颜色使用多次, 但有公共边的区域必须涂不同的颜色,现4种不同颜色的颜色可供选B 择，则不同的涂色方案有多少种, A C D n,5变式:若分成个区域()则不同的涂色方案有多少种呢, n 例3.把三种不同的植物种入如图的六块试验田中，要求相邻试验田不能种相同的植物，则有多少种不同的种法, 二(排列组合问题: 例4.把5本不同的分给3个同学，其中1人一本，两人各两本，则不同的分发有多少种, 变式:把6本不同的书分给3个同学，每人恰好2本，则不同的分发有多少种, 例5.把5本不同的书分给3个同学，每人至少一本，则不同的分发有多少种, 变式1:(2006重庆高考理 8)将5名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少一名，至多两名，则不同的分配方案有( ). A.30 B.90 C.180 D.270 37变式2:(2009浙江高考理 16)甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 (用数字作答)( 例6.从5双不同的鞋中取出4只，则取出的鞋至少有两只是成对的取法数为多少, 例7(7位同学站成一排，甲不能站在排头且乙不能站在排尾的排法共有多少种, 变式:7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种, 例8.(2005浙江高考理 14)从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)(每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________((用数字作答)( 练1.从6种不同的作物种子中选出4种放入4个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，且丙，丁不能同时入选，那么不同的放法共有 . AB练2.设集合，集合，若中含有3个元素，中至少含 U,{123456}，，，，，ABU,, BA有2个元素，且中所有数均不小于中最大的数，则满足条件的集合有 ( ) AB, A(33组 B(29组 C(16组 D(7组 例9((2008浙江高考理 16)用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 (用数字作答) 变式:由0，1，2，3，4，5组成的各位数字均不相同的六位数中，0，1一定相邻，且奇数与奇数不能相邻，偶数与偶数不能相邻，这样的六位数有________个. 附加题: 1.10个优秀指标分给3个班级，每班至少1个，则有多少种不同的分发, 变式: (1)10级台阶分5步跨完，每步至少跨1级台阶， 问共有多少种不同跨法, (2).方程(x,y,z,N)的解共有多少组, x，y，z,10(x,y,z)， 32. 在自然数中任取个数，且这三个数均不相邻，则有多少种不同的取法, 1,2,3,,9 变式:9盏路灯关掉三盏，但相邻两盏不能关掉的方法有多少种, 三.概率、分布列问题: 例10.在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是 ( ) 4633A( B( C( D( 10272025 例11. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中取出4件，其中恰有两件次品两件正品的概率为多少, 例12. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中分四次取出4件，其中恰取到两件次品且最后一次取到次品的概率为多少, 变式: 10件产品中有7件正品，3件次品，从中依次取出产品，当取到两件次品时则停止，则恰好取到第4件时即停止的概率为多少, 例13. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中每次取出产品后均放回，若有两次取到次品((( 则停止，则恰好取完第4次时即停止的概率为多少, 变式:一袋子中有大小相同的4个红球，3个黑球和2个白球，从袋子里随机取球取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，取到一个白球得0分。(1)若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率; (2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得4分的概率。 例14.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产 111业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立236 地从中任选一个项目参与建设.求:(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率. 例15.从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性 相同。(1)若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率; (2)若抽取后不放回，抽完红球所需次数为,,求,的分布列及期望。 例16.一盒中装有分别标记着1，2，3，4数字的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同.(I)若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三((( 次取出的球的标号为最大数字的球的概率; (II)若每次取出的球放回盒中，然后再取出一只球，现连续取三次球，这三次取出的球中((( 标号最大数字为，求的概率分布列与期望. ,, 例17. 若掷出1点，在甲盒中放一球;若掷出2点或3点，在乙盒中放一球;若掷出4点、5点或6点，在丙盒中放一球，前后共掷球3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙3个盒子中的球数( (?)求xyz,,依次成公差大于0的等差数列的概率; (?)记，求随机变量的概率分布列和数学期望( ,,,x，y 练习:口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依从袋中有放回摸球，每次摸出一个球. 规则:若一方摸出红球，则此人继续摸球;若一方摸出白球，则由对方下一次摸球. 每次摸球都相互独立，并由甲先进行第一次摸球. (1)求第三次由甲摸球的概率; (2)写出在前三次摸球中，甲摸得红球的次数的分布列，并求数学期望. 例18..(2010浙江样卷理 19)在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数. (?) 求取出的数各位数字互不相同的概率; (?) 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则 , ). 求随机变量的分布列及其数学期望E. ,,1,, 93例19. (2009浙江理 19) 在这个自然数中，任取个数( 1,2,3,,9 13 (I)求这个数中恰有个是偶数的概率; 3 (II)设为这个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为，则有两组相邻的,1,2,3 2数和，此时的值是)(求随机变量的分布列及其数学期望( 1,22,3,,E, Axxx,{,,,}例20.设是一个数集，定义集合A的宽度为集合B中的最小数，其中 12n BxxxxAij,,,,{|||,,}。从集合中无放回地随机抽取3个数，{1,2,3,4,5,6,7,8}ijij 这3个数所成集合的宽度为X。求: X,1(1)的概率 (2)X的分布列和期望 第二讲:排列、组合、概率及分布列问题(参考) 一(两个原理: 例1.集合，，则从集合A到B的映射共多少个: A,{1,2,3}Babcd,{,,,} 错解1.加法原理:4+4+4=43=12.错误原因:分步分类混淆不清 ， 3错解2.乘法原理:。错误原因:完成一件事情的步骤不清 4 正解:A中每个元素在B中有唯一元素与之对应(4种可能)，A中元素有三个，建立好映 3射需分三步完成，由乘法原理得: 4 变式1:汽车上有10名乘客，沿途有5个车站。则不同的下客方法有几种, 5解: 10 2006浙江高考理 10)函数满足，这样的变式2:(f:{1,2,3}{1,2,3},ffxfx(())(),函数个数共有 ( ) A(1个 B(4个 C(8个 D(10个 解:D 例2.如图,要给A、B、C、D四个区域涂色，允许同一种颜色使用多次,但有公共边的区域必须涂不同的颜色,现4种不同颜色的颜色可供选 B 择，则不同的涂色方案有多少种, 错解: A C 4，3，1，3，4，3，2，2,84正解: D n,2变式:若分成个区域()则不同的涂色方案有多少种呢, n 解1:考虑第n块区域与第n-1块区域同色与异色两种情况，建立递推关系: n,1na，a,4，3(,1)，a,4，然后两边同除以. nn,11 解2:考虑第n块区域与第1块区域同色与异色两种情况，建立递推关系: a,3a，2a，a,4,a,12，然后利用特征根方程求解 nn,2n,112 例3.把三种不同的植物种入如图的六块试验田中，要求相邻试验田不能种相同的植物，则有多少种不同的种法, 错解: 54正解: 3，2,3，2，1,90 二(排列组合问题: 例4.把5本不同的书分给3个同学，其中1人一本，两人各两本，则不同的分发有多少种, 122N,C,C,C错解1: 。错因:该式表达的是指定了三个人的顺序，如甲得一本，乙得542 两本，丙也得两本。实际上是没有指定的 1223N,CCCA错解2: 。错因:平均分组问题有重复出现，应除去。举例:…… 5423 122CCC3542正解: N,A32A2 变式:把6本不同的书分给3个同学，每人恰好2本，则不同的分发有多少种, 222CCC3642解:N,A 33A3 例5.把5本不同的书分给3个同学，每人至少一本，则不同的分发有多少种, 32P,A,3错解:先每人分一本，再把余下的两本任意分，故。错因:大量重复，比如…. 5 22CC3354正解:(先组后排)N,(C，)A=240 532A2 变式1:(2006重庆高考理 8)将5名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少一名，至多两名，则不同的分配方案有( ) A.30 B.90 C.180 D.270 37变式2:(2009浙江高考理 16)甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 (用数字作答)( 33212CA，CCA解1:P==336 73722 3解2:P==336 7,7 例6.从5双不同的鞋中取出4只，则取出的鞋至少有两只是成对的取法数为多少, 12PCC,错解:先取出一双，其余随便取:，错因:当四只都成对时，该式有重复 48 1211PCCCC,正解:(1)恰有两只成对时:先取出一双，再选出两双，从两双中各取一只，故 15422 2PC,PPP,，,(2)取出的鞋全部成对:，故130 1512 例7(7位同学站成一排，甲不能站在排头且乙不能站在排尾的排法共有多少种, 76P,A,2A错解:间接法 76 765P,A,2A，A正解:由容斥原理知:上式有多减去的部分，应加回来:=3720 765(注:也可用直接法) 变式:7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种, 72625P,A,2AA，AA解: 72625 例8.(2005浙江高考理 14)从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)(每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________((用数字作答)(8424 练1.从6种不同的作物种子中选出4种放入4个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，且丙，丁不能同时入选，那么不同的放法共有 132 AB练2.设集合，集合，若中含有3个元素，中至少含 U,{123456}，，，，，ABU,, BA有2个元素，且中所有数均不小于中最大的数，则满足条件的集合有 ( )B AB, A(33组 B(29组 C(16组 D(7组 例9((2008浙江高考理 16)用1，2，3，4，5，6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 (用数字作答)40 变式:由0，1，2，3，4，5组成的各位数字均不相同的六位数中，0，1一定相邻，且奇数与奇数不能相邻，偶数与偶数不能相邻，这样的六位数有________个. 36 附加题: 1.10个优秀指标分给3个班级，每班至少1个，则有多少种不同的分发, 2C解:(隔板法)=36 9 同类题: (1)10级台阶分5步跨完，每步至少跨1级台阶， 问共有多少种不同跨法, 4C解:=126 9 (2).方程(x,y,z,N)的解共有多少组, x，y，z,10(x,y,z)， 2C解:=36 9 32. 在自然数中任取个数，且这三个数均不相邻，则有多少种不同的取法, 1,2,3,,9 变式:9盏路灯关掉三盏，但相邻两盏不能关掉的方法有多少种, 3C解:=35 7 三.概率、分布列问题: 例10.在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是 ( ? )B 4633A( B( C( D( 10272025 错解: 113..1.CCA6323正解:P= ,2225CC3353().C，A532A2 例11.10件产品中有7件正品，3件次品，从中分四次取出4件，其中恰有两件次品两件正品的概率为多少, 22AA,73错解:P,，错误原因:分子基本事件个数有误～ 4A10 22422CCA,,CC,73734正解:或(此题中分四次取出四件等效于一次性从中取出四件，P,P,44AC1010 故可看成是超几何分布问题) 变式:10件产品中有7件正品，3件次品，从中取出4件，其中恰有两件次品两件正品的概率为多少, 解:与例1等同 例12. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中分四次取出4件，其中恰取到两件次品且最后一次取到次品的概率为, 224CCA,,734错解:P,，错误原因:分子基本事件个数有误～ 4A10 2131CCAC,,,7332P,正解: 4A10 变式: 10件产品中有7件正品，3件次品，从中依次取出产品，当取到两件次品时则停止，则恰好取到第4件时即停止的概率为多少, 解:与例2等同 例13. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中每次取出产品后均放回，若有两次取到次品((( 则停止，则恰好取完第4次时即停止的概率为, 37122P,C,(),()正解: 31010 变式:一袋子中有大小相同的4个红球，3个黑球和2个白球，从袋子里随机取球取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，取到一个白球得0分。(1)若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率; (2)若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得4分的概率。 2012CCCC，4243P,3解: (1) C9 42422212P,C()()，C()()(2) 339999 例14.为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产 111业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立236地从中任选一个项目参与建设.求: (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率. 111163PA,，，，解:(1)= 327236 11119P,,,，,，,,1(1)(1)(1)(2) 33327 例15.从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性 相同。 (1)若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率; (2)若抽取后不放回，抽完红球所需次数为的分布列及期望。 ,,求, 221,.解:(1)抽1次得到红球的概率为，得白球的概率为得黑球的概率为 555 233622P,C,() 所以恰2次为红色球的概率为 „„„„4分 1355125 221243P,(，，),A, 抽全三种颜色的概率 „„„„8分 23555125 (2)的分布列为 , 2 3 4 5 , P 2112132CC`CC1CC1C112323232 223432CCCC15555 即 2 3 4 5 , 1132P 105105 „„„„12分 „„„„14分 ？E,,4 例16.一盒中装有分别标记着1，2，3，4数字的4个小球，每次从袋中取出一只球，设每只小球被取出的可能性相同. (I)若每次取出的球不放回盒中，现连续取三次球，求恰好第三次取出的球的标号为最大((( 数字的球的概率; (II)若每次取出的球放回盒中，然后再取出一只球，现连续取三次球，这三次取出的球中((( 标号最大数字为，求的概率分布列与期望. ,, 解:(I)当恰好第三次取出的球的标号为最大数字时，则第三次取出的球可能是3或4 21321，，，P,, „„4分 得:4323，， (II)的可能取值为1，2，3，4 , 13P,(=1)=() 4 11111732221,，,PC(=2)=()()()+C()() 334444464 112121932221,，,PC(=3)=()()()+C()() 334444464 113133732221,，,PC(=4)=()()()+C()() „ „12分 334444464 的分布列为 ？, ,1 2 3 4 171937P 64646464 17193755,,，，，，，，，,E1234所以， „„14分 6464646416 例17. 若掷出1点，在甲盒中放一球;若掷出2点或3点，在乙盒中放一球;若掷出4点、5点或6点，在丙盒中放一球，前后共掷球3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙3个盒子中的球数( xyz,, (?)求依次成公差大于0的等差数列的概率; (?)记，求随机变量的概率分布列和数学期望( ,,,x，y xyz,,解:(Ι)依次成大于0的等差数列，即甲、乙、丙3个盒子中的球数分别为0，1，2， 11112P,C,,,()此时的概率为( 3324 3131,,,P(3),,,P(2)(?)的取值有0，1，2，3，且，,,,，， P(1),,,,P(0)8888 所以，随机变量的分布列是 ,0 1 2 3 3311 P 8888 3E,,数学期望为( 2 练习1.口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球. 规则:若一方摸出红球，则此人继续摸球;若一方摸出白球，则由对方下一次摸球. 每次摸球都相互独立，并由甲先进行第一次摸球. (1)求第三次由甲摸球的概率; (2)写出在前三次摸球中，甲摸得红球的次数的分布列，并求数学期望. 5解:(1) „„„„„5分 P第三次由甲摸球,，，9 (2) X 0 1 2 3 141021P 27272727 17 „„„„„14分 EX,27 练习2.某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9, 如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数的分布列( , 例18..(2010浙江样卷理 19)在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数. (?) 求取出的数各位数字互不相同的概率; (?) 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则 , ). 求随机变量的分布列及其数学期望E. ,,1,, 解:(?) 解: 记“取出的数各位数字互不相同”为事件B, 则 3A125P(B), . „„„„„„„(5分) ,3525 (?) 解: 随机变量的取值为0, 1, 2. 的分布列是 ,, ,0 1 2 277424 P 125125125 „„„„„„„(11分) 所以的数学期望 , 277424122E,0×+1×+2×= . „„„„„„„(14分) ,125125125125 93例19. (2009浙江理 19) 在这个自然数中，任取个数( 1,2,3,,9 13 (I)求这个数中恰有个是偶数的概率; 3 (II)设为这个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为，则有两组相邻的,1,2,3 2数和，此时的值是)(求随机变量的分布列及其数学期望( 1,22,3,,E, 12CC1045; 解析:(I)记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则PA(),,3C219(II)随机变量的取值为的分布列为 ,0,1,2,, 0 1 2 , P 511 12212 5112,,，，，，，,E012所以的数学期望为 ,122123 Axxx,{,,,}例20.设是一个数集，定义集合A的宽度为集合B中的最小数，其中 12n BxxxxAij,,,,{|||,,}。从集合中无放回地随机抽取3个数，{1,2,3,4,5,6,7,8}ijij 这3个数所成集合的宽度为X。求: X,1(1)的概率 (2)X的分布列和期望 11625，，，，CC95954？,,,,PX(1)1解:(1)法一:(间接法)PX(1),,,， 31414C148 3C56PX(1),,,法二:(直接法/插空法) 3C148 (2) X 1 2 3 921P 14714 10EX= 7 历年高考: (2004浙江高考理 18) (2005浙江高考理 19) 119(袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B3中摸出一个红球的概率为p( (?) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止((i)求恰好摸5次停止的概率;()记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数ii,,学期望E( , (?) 若A、B两个袋子中的球数之比为1:2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出 2一个红球的概率是，求p的值( 5 (2006浙江高考理 18) 18(甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球;乙袋装有2个红球，个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球。 n n,3(?)若，求取到的4个球全是红球的概率; 3(?)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求。 n4 (2008浙江高考理 19) 19((本题14分)一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球(已知从袋中任意摸出 271个球，得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是( 59(?)若袋中共有10个球， (?)求白球的个数; (?)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望( ,,E, 7(?)求证:从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于(并指出袋中哪10种颜色的球个数最少(