3.向量的模

                                                                                      杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题     [母题]Ⅰ(12-03):向量的模(263)                                        673    向量的模   [母题]Ⅰ(12-03):(2004年全国Ⅰ高考)己知a、b均为单位向量,它们的夹角为600,那么|a+3b|=(  ) (A)                      (B)                    (C)                    (D)4 [解析]:由|a|=|b|=1,=600a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,ab=|a||b|cos=|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6ab+9b2=13 |a+3b|=.故选(C). [点评]:向量的模是向量的度量,由向量的数量积可得模的公式:|a|2=a2;求向量的模是向量的基本问题.   [子题](1):(2006年上海春招试题)若向量a,b的夹角为1500,|a|=,|b|=4,则|2a+b|=        . [解析]:由|a|=,|b|=4,=1500a2=3,b2=16,ab=-6|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4ab+b2=4|2a+b|=2.   注:“已知a,b的模及其夹角,求|ma+nb|”是向量模的典型问题,解决该问题关键是使用公式:|ma+nb|2=m2a2+2mnab=nb2.   [子题](2):(2004年重庆高考试题)若向量a和b的夹角为600,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,则向量a的模为(  ) (A)2                        (B)4                        (C)6                        (D)12 [解析]:因b2=16,ab=2|a|;由(a+2b)(a-3b)=-72a2-ab-6b2=-72|a|2-2|a|-24=0|a|=6.故选(C).   注:“已知a,b的夹角及其中之一的模,a,b满足条件p,求另一向量的模”是向量模的变式问题,解决该问题关键是条件p列出关于待求向量模的方程(组),通过解方程(组)求之.   [子题](3):(2007年浙江高考试题)若非零向量a,b满足|a+b|=|b|,则(  ) (A)|2a|>|2a+b|              (B)|2a|<|2a+b|              (C)|2b|>|a+2b|              (D)|2b|<|a+2b| [解析]:由|a+b|=|b|a2+2ab+b2=b2a2+2ab=0;所以,|2b|>|a+2b|4b2>a2+4ab+4b2a2+4ab<0-a2<0.故选(C).   注:关于向量模的不等式问题,一般可由不等式的性质,对模的不等式进行等价变形,分析解决.   [子题系列]: 1.(2008年上海高考试题)若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=        . 2.(2008年江苏高考试题)己知向量a与b的夹角为1200,且|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=        . 3.(2010年重庆高考试题)已知向量a,b满足ab=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=(  )    (A)0  (B)2  (C)4  (D)8 4.(2010年江西高考试题)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为600,则|a-b|=          . 5.(20011年重庆高考试题)已知单位向量ai,aj的夹角为600,则|2ai-aj|=      . 6.(2011年大纲高考试题)设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=-,则|a+2b|=(  )  (A)  (B)  (C)  (D) 7.(2014年江西高考试题)已知单位向量e1,e2的夹角为α,且cosα=,若向量a=3e1-2e2,则|a|=        . 8.(2005年天津高考试题)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,以a,b为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为          . 9.(2006年湖北高考试题)己知非零向量a、b,若a+2b与a-2b互相垂直,则=(  ) (A)  (B)4  (C)  (D)2 10.(2006年福建高考试题)已知向量a与b的夹角为1200,|a|=3,|a+b|=,则|b|等于(  )  (A)5  (B)4  (C)3  (D)1 11.(2012年课标高考试题)已知向量a,b夹角为450,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=        .     674                                          [母题]Ⅰ(12-03):向量的模(263)    12.(2010年浙江高考试题)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是      . 13.(2014年大纲高考试题)若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=(  )  (A)2  (B)  (C)1  (D) 14.(2004年全国Ⅱ高考试题)己知向量a、b满足:|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|=(  ) (A)1                        (B)                          (C)                      (D) 15.(2010年“华约”自主招生试题)设向量a,b满足|a|=|b|=1,ab=m,则|a+tb|(t∈R)的最小值为(  ) (A)2                          (B)                    (C)1                          (D) 16.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)两个非零向量a,b的夹角为θ,则当a+tb(t∈R)的模取最小值时,t的值是(  )                    (A)|a||b|cosθ  (B)-|a||b|cosθ  (C)-cosθ  (D)-cosθ 17.(2013年浙江高考试题)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于 . 18.(2005年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知a,b是两个相互垂直的单位向量,而|c|=13,,ca=3,cb=4.则对于任意实数t1,t2,|c-t1a-t2b|的最小值是(  )                                      (A)5  (B)7  (C)12  (D)13 19.(2008年浙江高考试题)已知a是平面内的单位向量,若向量b满足b(a-b)=0,则|b|的取值范围是      . 20.(2012年辽宁高考试题)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是(  ) (A)a∥b                  (B)a⊥b                  (C)|a|=|b|                  (D)a+b=a-b 21.(2008年四川高考试题)已知两个单位向量a与b的夹角为1350,则|a+λb|>1的充要条件是(  ) (A)λ∈(0,)      (B)λ∈(-,0)      (C)λ∈(-∞,0)∪(,+∞)    (D)λ∈(-∞,-)∪(,+∞) 22.(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知a,b为非零的不共线的向量,设条件M:b⊥(a-b);条件N:对一切x∈R,不等式|a-xb|≥|a-b|恒成立.则M是N的(  ) (A)必要而不充分条件      (B)充分而不必要条件      (C)充分而且必要条件        (D)既不充分又不必要条件   [子题详解]: 1.解:由|a+b|2=a2+2ab+b2=7|a+b|=.                2.解:由|5a-b|2=25a2-10ab+b2=49|5a-b|=7. 3.解:由|2a-b|=4a2-4ab+b2=8.故选(B).                  4.解:由|a-b|2=a2-2ab+b2=3|a-b|=. 5.解:由|2ai-aj|2=4ai2-4aiaj+aj2=3|2ai-aj|=.          6.解:由|a+2b|2=a2+4ab+4b2=3|a+2b|=.故选(B). 7.解:由|a|2=9e12-12e1e2+4e22=9|a|=3.        8.解:由|a+b|2=a2+2ab+b2=19,|a-b|2=a2-2ab+b2=7较短的长度=. 9.解:由(a+2b)(a-2b)=0|a|2-4|b|2=0.故选(D).          10.解:由|a+b|=|b|2-3|b|-4=0|b|=4.故选(B). 11.解:由|2a-b|=4a2-4ab+b2=10|b|2-2|b|-6=0|b|=3. 12.解:由α⊥(α-2β)α2-2αβ=02αβ=1|2α+β|2=4α2+4αβ+β2=10|2α+β|=. 13.解:由a2+ab=0,2ab+b2=0ab=-1|b|=.故选(B). 14.解:由|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)|a+b|=.故选(D). 15.解:由|a+tb|2=t2b2+2tab+a2=t2+2mt+1≥1-m2.故选(D). 16.解:由|a+tb|2=|b|2t2+2t|a||b|cosθ+|a|2当t=-cosθ时,|a+tb|取最小值=|a|sinθ. 17.解:由()2==(令=t)=≤4的最大值等于2. 18.解:由|c-t1a-t2b|2=c2+t12a2+t22b2-2t1ac-2t2bc+2t1t2ab=169+t12+t22-6t1-8t2=(t1-3)2+(t2-4)2+144≥144.故选(C). 19.解:由b(a-b)=0ab-b2=0|b|cos-|b|2=0|b|=cos∈[0,1].  20.解:由|a+b|=|a-b|a2+2ab+b2=a2- 2ab+b2ab=0.故选(B).  21.解:由|a+λb|>1λ2-λ>0λ∈(-∞,0)∪(,+∞).故选(C). 22.解:由|a-xb|≥|a-b|a2-2xab+x2b2≥a2-2ab+b2x2b2-2xab+2ab-b2≥0(ab)2-b2(2ab-b2)≤0(ab-b2)2≤0ab -b2=0b(a-b)=0b⊥(a-b).故选(C).