个位数与完全平方数

个位数与完全平方数 1( 个位数 正整数幂的个位与其底数的个位有周期性关系.下面首先介绍其周期性及一些相关性质，通过例题来说明它的应用. 关于个位周期我们用下表说明:(此处无表) nn4k+r注:表中G(a)、G(a)分别表示整数a及a的个位，当n=4k+r(r=0，1，2，3，k?N)时，a4k+r时，a的个位与a的个位相同. 下面两条性质是显然的: 性质1 和的个位数字是诸加项个位数字之和的个位数字. 性质2 积的个位数字是诸因数个位数字之积的个位数字. (1) 确定高次幂的个位数及连乘积的个位数. 例1 (杭州首届“永是杯”初二数学竞赛题) 198719881989 1987?1988?1989的个位数是多少? ×19874496+3解 1987=1987，个位为3; ×198844971988=1988，个位为6; ×19894497+11989=1989，个位为9， 198719881989?1987?1988?1989个位数是3×6×9的个位数即为2. n个,,,,,47474747？例2 求的个位数字， n个,,,,,474747474747？解 令M=47，M=47，…，M= 12n×47411+33则 M的个位数=47的个位数=47的个位数=47的个位数=3， 1M147M的个位数=47的个位数=47的个位数=3， 2 …… MM?的个位数=47的个位数=…=3. nn-1bc一般地，我们有关于高次幂的一个有趣性质:若b、c均为奇数，则M的个位数=M的个位数. 对b、c取其它奇偶情况时，读者不妨自己作出结论，并加以证明. (2) 利用个位数来研究幂指数 从上表中我们易得下面两个性质: 1?.任何整数的 4k+2次方个位数不可能为2、3、7、8.(只可能是0、1、4、5、6、9) 2?.任何整数的4k+4次方个位数不可能是2、3、4、7、8、9.(只可能是1、5、6) 例3 试证明1+2+3+…+n，这n个连续的自然数的和的个位数不可能是2、4、7、9. 2(1)nn，n，n2证明 1+2+3+…+n=，由穷举法易得n+n个位数可能是2、6、0，故 ,22 2n，n个位只能是1、6、3、8、0、5，不可能是2、4、7、8. 2127例4 证明方程x-5y-4=0不可能有整数解 127127证明 ?x的个位数为1、6、5，5y个位数只能是0或5，显然x-5y-4永远不可能等于0，故方程无解. (3) 判定一个整数是否能被整除 4例5 已知整数a不能被5整除，试证明a-1能被5整除. 证明 依题意知a的个位数不能是0或5. 第1页(共4页) 44(i) 当a的个位数为1、3、7、9时，a的个位数均为1，于是a-1的个位数为0 44(ii) 当a的个位数为2、4、6、8时，a的个位数均为6，于是a-1的个位数都是5. 4所以无论哪种情况，a-1都能被5整除. nnnn例6 (匈牙利1900—1901竞赛试题)证明当且仅当指数n不能被4整除时1+2+3+4能被5整除.(其中n是正整数) nnnnnnnn 证明 设A=1+2+3+4，当n=4k(k为整数)时，1、3的个位数均为1，2、4的个位均为6，显然5 A. 当n?4k时，若n=4k+1，易知A的个位=(1+2+3+4)的个位=0，?5|A; 当n=4k+2时，A的个位=(1+4+9+16)的个位=0，?5|A. 当n=4k+3时，A的个位=(1+8+27+64)的个位=0，?5|A. 综上所述仅当n不是4的倍数时5|A. (4) 其它类型 例7 (日本1990年参加国际数学竞赛国内选拔赛)某正整数之平方，其末三位是非零的相同数字，求具有该性质的最小正整数. 22解 设所求数为p,0,p既具有末三位数,则p至少有三位数,p至少有二位数. 设p=10a?b(a、b为正整数，1?b?5) 22222p=100a?20ab+b=100a+10(?2ab)+b 2验证知当b=1、3、5、4时，p的十位和个位数字奇偶性相反; 2当b=2时，p的末两位数字奇偶性相同. 2所以所求数必须形如10a?2，而P=12时P=144，末两位数字为4. 22又注意 (50n?x)=2500n+100nx+x 22=100(25n+nx)+x 222?(50n?12)=100(25n?nx)+144. 2容易验证上式中当n=1，并取“-”号时，有38=1444便是符合要求的最小正整数. 2( 完全平方数 2定义 设n是正整数，若存在正整数m使n=m，称n是一个完全平方数. 与完全平方数有关的问题经常出现在国内外中学数学竞赛题及各种智力问题征解中，这些问题不仅结论奇妙，且解法耐人寻味. (1) 判断一个数是完全平方数 先看一个限时一分钟解答的选择题: 例8 有四个数?921438，?76186，?750235，?2660161，其中只有____是完全平方数. 在回答这一问题前，我们先介绍两条性质(请读者自己证明) 性质1完全平方数个位数只能是0，1，4，5，6，9之一. 性质2偶数平方为偶数，且能被4整除，奇数的平方是奇数，且被4除余1. 据上述性质可知，例8中?个位数为8;?为偶数但不能被4整除;?为奇数，但被4除2不余1，所以只有?才是完全平方数，事实上它等于1631. 例9 试证:12345678987654321是完全平方数. 证明 12345678987654321 8278= 11？11，11？11，10，11？11，10，？，111，10，1，10,,,,,,,,,个个个1715131615141312112=(10+10+…+10+1)+(10+10+…+10+1)×10+(10+10+…+10+1)×10 278 +…+(10+10+1)×10+10 第2页(共4页) 171513310,110,110,110,110,1278，，10，，10，？，，10，，10 10,110,110,110,110,1 1988,,，，，，101，10，？，10,1，10，？，109 198,(10,1)(1，10，？，10) 9 29,,10,12,,,,111111111.,,9,, (2) 非完全平方数问题 例10 (第27届国际中学生奥林匹克竞赛题)设正整数d不等于2、5、13.证明在集合 {2，5，13.d}中可以找到两个不同元素a、b使得ab-1不是完全平方数. 222证明 因为2×5-1=3，2×13-1=5，5×13-1=8，所以只要证明2d-1，3d-1，13d-1 不都是完全平方数. 用反证法，设 2 2d-1=x ? 25d-1=y， ? 313d-1=z ? 其中，x，y，Z，为正整数，由?知x为奇数，设x=2n-1, 于是 222d-1=(2n-1),d=2n-2n+1, ?d为奇数,从而由?、?知y、z为偶数，设y=2p,z=2q,将其代入，并?-?，除以4得 222d=q-p=(q+p)(q-p). ，q具有相同的奇偶性，故2d应是4的倍数，d应为偶数，这与前面推知d为奇数矛盾，p 从而知原命题成立. (3) 关于存在性问题 22例11 是否存在自然数n与d，当2n能被d整除时，使得n+d是完全平方数. 2222解 假设存在自然数n，d使n+d是一个完全平方数，则令n+d=a.由题设2n能被d整 2222nn222222222除，则令2n=kd.于是d=，从而n+=a，即ka=n(k+2)，所以kd=n(k+2k)，kk 22kaka,,,,22222于是=k+2k，因为k,k,2k,(k+1),所以k+2k不是完全平方数,但是完全,,,,nn,,,, 2ka,,22平方数,因此=k+2k不能成立,所以n+d不可能是完全平方数,故这样的自然数n、d,,n,, 不存在. 上述证明引用了一条关于完全平方数的一条基本性质: 性质3 两个连续自然数的完全平方数之间，不会再有完全平方数.(请读者自己证明) 关于完全平方数还有许多性质及巧妙应用还有待读者去挖掘和发现. 例12 由非零的偶数码组成一个四位数，它又恰是某个由偶数码组成的数的完全平方，求这 个四位数. 解设四位数为，则为偶数，且a、b、c、d均不为0.又设它为 的平方，则xyxyabcdabcd 也为偶数，易知x、y均不为0. 第3页(共4页) 2为4的倍数，()为四位数，所以?32，即x,3.又x为偶数，故x只能在4，xyxyabcd 6，8中选取. 中 d为偶数字y平方后的个位数，因2，4，6，8平方后的个位数分别为4，6，6，abcd 4，故d只能在4，6中选取，但为4的倍数，若d取6，c只能取奇数字，这不合abcd 题意，?d=4,y只能取2和8. 2这时只能取42，48，62，68，82，88，经过试乘知只有68=4624满足条件. xy 练 习 1( 填空题 1989(1) 已知则A的个位数是_____.. A,1989, 19901991(2) 设A=，则A的个位数是______. 1992234(3) A=12×27×(9×15)的个位数是_____. 2(4) 使得m+m+7是完全平方数的所有整数m的积是___.(1989年上海市初三数学竞赛题). 1(1) (5) 若正数x的整数部分的平方等于x与它小数部分的积，则______. x,,x 2( 选择题 51721(1) 设n=(3+1)(3+1)(3+1)，则n的个位数字是( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 48(2) 数(2-1)可以被两个在60与70之间的数除尽，则这两个数是( ) (A)61，63 (B)61，65 (C)63，65 (D)63，67 (3) 若x是一个完全平方数，那么它后面的第一个完全平方数是( ) 22(A)x+1 (B)x+1 (C)x+2x+1 (D) x，2x，1 (4)能把2n(n+1)(n+2)(n+3)+12表示成两个自然数的平方和的自然数n的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)有限个(但多于1) (D)无限多 223((第10届加拿大中学生数学竞赛题)设n是整数，如果n的十位数字是7，那么n的个位数字是什么, 198919894((安徽省宿州市1989年初一竞赛题)证明:7777+8888能被5整除. ((天津市1989年“新蕾杯”初二竞赛题)设三个整数a、b、c的最大公约数是1，且满足5 111，,条件，求证:(a+b)、(a-c)和(b-c)都是完全平方数. abc 6(求具有下列性质的最大的完全平方数;在抹去它的个位和十位数码后仍是完全平方数，(设抹去的两个数码不全为0). 7(有一个四位数恰好是某个整数的平方，求这个四位数. (a，1)a(a，2)(a，3) 8(一个正整数，若加上100是一个完全平方数;若加上168，则是另一个完全平方数，求这个正整数. 第4页(共4页)