大一高数极限练习题

大一高数极限练习题 精品文档 大一高数极限练习题 一、主要 函数的定义 极限的概念 连续的概念 一)函数 1.函数的定义 函数的分类 2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期.反函数.隐函数 5.基本初等函数.复合函数.初等函数 8.双曲函数与反双曲函数 极限 1、极限的定义: “??N”定义”???”定义”??X”定义单侧极限极限存在的条件、无穷小与无穷大 无穷小; 无穷大; 无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质 、极限的性质 四则运算、复合函数的极限、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限; f.利用等价无穷小; g.利用重要极限 5、判定极限存在的准则 夹逼定理、单调有界原理、两个重要极限 lim sinx 1 / 31 精品文档 ?1 x?0某过程 lim sin? ? ?1; 1 x 1x lim?ex??1 lim x?0 ?e 某过程 7、无穷小的比较 8、等价无穷小的替换性质 9、极限的唯一性、局部有界性、保号性 连续 1、连续的定义单侧连续连续的充要条件 闭区间的 连续性 lim??e. 2、间断点的定义间断点的分类第一类、第二类 2 / 31 精品文档 3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性 4、闭区间上连续函数的性质 最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理 二、例题 例 x?1时, 242n 求lim?. n?? 解 将分子、分母同乘以因子, 则 n ? 原式?lim n??1?x 2242n ? ?limn??1?x n22n2n?1 11?x n?1 ?.?lim?lim n??n??1?x n??1?x1?x 1 例 1?tanxx求lim. x?01?sinx 11 1?tanxtanx?sinxxx解 原式?lim[1?]?lim[1?] x?0x?01?sinx1?sinx 3 / 31 精品文档 1tanx?sinx1?limsinx?1?limsinx?1?cosx?1?lim???3x?0 x?0xx2cosx21?1sinxx3x?0cosxx ?原式?e2. p?x3例 x??xp lim?1,求p. x?0x p?x3 ?2,解 ?limx??x2 ?可设p?x3?2x2?ax?b p 又?lim?1, x?0x 32 ?p?x?2x?ax?b~x 从而得b?0,a?1.故p?x3?2x2?x ?x?,x?1例 ? 讨论f?的连续性.??x ?cos,x?1 ? 将f改写成解 ?1?x,x??1 ??x ?f??cos,?1?x?1? ??x?1,x?1 设p是多项式,且lim?2, 显然f在,,内连续. 4 / 31 精品文档 当x??1时, x??1? limf?lim??2. x??1 x??1 x??1 x??1 ?lim?f?lim?f coslim?f?xlim??1? ?x 2 ?0. 故f在x??1间断. 当x?1时, x?1 limf? limcos?? x?1 ?x 2 ?0. f?limflimf?lim? ?lim x?1?x?1?x?1?x?1? 5 / 31 精品文档 故f在x?1连续. ?f在?连续. [0,1]上连续,且f?f,例 设f在闭区间 1 证明必有一点??[0,1]使得f?f. 11 令F?f?f,则F在[0,]上连续.证明111 ?F?f?f,F?f?f,22 讨论: 1 f?f; 若F?0,则??0,11111 若F?0,则??,f?f; 22221 若F?0,F?0,则 2 例 证 即xn单调减，有下界 xn存在故由单调有界原理得 limn?? 1a 设x1?0,证明xn?1?有极限 2xn 1a ?x??an?1n显然xn?0 6 / 31 精品文档 2xn 21aa?x1nxn?1?xn????0 2xn2xn 1a 1aA?设limxn?A，则A?0在xn?1?两边取极限得 n??2A2xn 解得A?a,A??a 12 sinx?xcos例 求 lim x?0ln 解 sinx1 ?xcos 1?01原式?lim?? x?0?12 x 例 求 令u?x?1则x?1?u解 ?? 由?1~?u得I?lim u?0un?1 111 u?u???u1 ??limn?1u?0 n!u ?limx?1n?1 xxx cos?cos,例. 求极限nn??222 7 / 31 精品文档 xxxxcoscos2cosn?2sinn 解原式?lim n??2sin 2 xxxxcoscos?cos?2sin n?1n?1 ?lim n??2 2sinx nsinxsinx ?lim???lim n??nxn??sinsinnn 22 limcos ? sinx x x ?x?c?设lim?例 ??4，求cx??x?c?? x?c2c??c??xx2c2c???2c??c??lim????x?c??1??1??????lim ???lim?1??x????x?c???x?c?解一 ?x??x?c?????x???x?c???? ?e2c?4?2c?2ln2得c?ln2 x 解二 ?c? ?1??x 8 / 31 精品文档 x??x?c?ec?lim??e2c??lim?x?c x??x?ce??x???c? 1??? x?? limn?1例证明 n?? n2n22n hn???1?hn证 首先n?1记n?1?hn?n??1?nhn? 2!2! 22 ?0?hn? n limhn?0?limn?1由夹逼定理知 n??n?? x?b例 确定a,b的值，使f?有无穷 间断点x?0,，有可去间断点x?1 解 因f在x=0处为无穷间断，即 limf?? x?0 x?a1 ??lim?0?lim?lim? x?0x?bx?0fx?0x?b 又x=1为可去间断， 故limf存在例 解 x?1 a?0,b?0 ?1?b?lim?lim[f?]?limf?lim?0 x?1 9 / 31 精品文档 x?1 x?1 x?1 ?b?1 ?fsin2x?1 ?2,求limf x?0x?0e3x?1?fsin2x?1 由lim?23xx?0e?1 而lim?0?limsin2x?1)已知lim x?0 x?0 ?lim x?0x?0 ?fsin2x?13x ??2?0?03x e?1 fsin2x?0?lim?fsin2x?1?limx?0 从而由等价无穷小的代换性质得 1 fsin2x1sin2x?fsin2x?1?limf?2?lim?lim3x3x?02xx?0x?0e ?13x 10 / 31 精品文档 sin2xf存在，且limf?6由lim?1?limx?0x?0x?02x n n?1 例 利用介值定理证明，当 n 为奇数时，方程 a0x?a1x 至少有一实根 证 令f?axn?axn?1???ax?a?0, 01n?1n an?1anfa1 lim?lim?a0?0 0x??xnx??xxn?1xn 故由函数极限的保号性质可知 ???an?1x?an?0, 又 n 是奇数，所以 x)n ?X0?0,使当|x|?X0时f与a0x同号 x ?f?f?0an与an异号 即a0xn?a1xn?1???an?1x?an?0至少有一实根 和差化积积化和差 sinθ+sinφ = sin*/2+ cos*/2+sinαsinβ = *cos-cos+ /2sinθ-sinφ = cos*/2+ sin*/2+cosαcosβ = *cos+cos+/2cosθ+cosφ = cos*/2+ cos*/2+ sinαcosβ 11 / 31 精品文档 = *sin+sin+/2cosθ-cosφ = -sin*/2+ sin*/2+ cosαsinβ = *sin-sin+/2 而f在[?2X0,2X0]上连续 故由零点定理知 ???，使f?0 当x?x0时，设?1,o，?1?o且lim求证:lim x?x0 ? 存在，? ???1???1 x?x0 ?lim x?x0 ?(? 若当x?0时，?? 2 ?1与??cosx?1是等价无穷小，则a? 1313A B C(? D(?( 2222 答 阶的是 2 当x?0时，下述无穷小中最高A x B1 ?cosx C?x 12 / 31 精品文档 n?? 2 ?1 D x?sinx n 答 n??? 求limn?ln?ln?之值( 求极限limnsin( 2 e?1?x11 求极限limln( lim3x?0n??2nxsinx x 2 2 的值?_____________ 设有数列a1?a，a2?b ，an?2?求证:limyn?lim及 liman( n?? n?? n?? an?1?an 2 13 / 31 精品文档 设x1?a，x2?b( xn?2?记:yn? 1xn?1 ? sinx 2xnxn?1xn?xn?1 ， 1 ，求limyn及limxn( n??n??xn 求极限lim x?0 ?cosx x 2 之值( 设limu?A，A?0;且limv?B x?x0 x?x0 试证明:limu x?x0 v ?A( 14 / 31 精品文档 B lim?ln?2? x?1 1 A(? B(1 C(0 D(ln2 答 lim x?0 sinxx ? A(1 B(e C(e D(2 2 答 设u?1?xsin求:lim 2 12 . f?ux 及limu之值，并讨论 x?0 f?1u?1 u?1 lim 15 / 31 精品文档 f?u??1u?1 的结果( x?0 lim x?9x?x?6 x x?3 2 的值等于_____________ lim e?4e x ?x?x x?? 3e?2e ? 1 A B(2 C(1 D(不存在 3 答: lim 16 / 31 精品文档 8 35 x?? ? A.?1 B.1 C. 12?3 20 53 D.不存在 答: lim 32 15 10 x?? ?__________ __ lim xe?e1?2x x 17 / 31 精品文档 ?x x?0 的值等于____________ 求极限lim x?3x?2x?x?x?1 3 2 求lim( ?6x? x?1 x?0 x 之值( 已知:limu??，limuv?A?0 x?x0 x?x0 问limv?,为什么, x?x0 关于极限lim 53 5 1 18 / 31 精品文档 结论是: 54 x?0 3?ex A B 0 C D 不存在 答 设limx?xf?A，limg??，则极限式成立的是 x?x0 A.limfx?xg?00 B.lim gx?xf ?? C.limx?xfg?? D.limf x?x) ?? 答f?ex cosx，问当x???时，f是不是无穷大量( limtanx?1 x?0 19 / 31 精品文档 arctan x ?A.0 B.不存在. C.?2 D.??2 答 lim arctan x?? x ? A.0 B.? C.1 D.?2 答 lim 2x?1? x?? x2 ?3 A.2 B.?2 C.?2 D.不存在 答 设f? 20 / 31 精品文档 31，则f?___________ 2?e x limarccot 1x?0 x ?A.0 B.? C.不存在. D. ?2 答lima?cosx?0，则其 中x?0ln?x a?A. 0 B. 1 C. 2 D. ? 3 答 lim e 2x x?0 ?e?3x 的值等于__________ 1?cosx2 x 21 / 31 精品文档 ?x __ lim x?0 ? A. 2 B. ?2 C.不存在. D. 0 答: 设f? px?qx?5 x?5 2 ，其中p、q为常数( 问:p、q各取何值时，limf?1; x?? p、q各取何值时，limf?0; x?? p、q各取何值时，limf?1( x?5 求极限l im x?? ? 22 / 31 精品文档 2 2 ? 4 ( 求极限lim 3 232 x?? ( 已知lim x?3?A?B?c 2 ? 2 ? x?1 ?0 试确定A、B、C之值( 已知f?试确定常数 ax 23 / 31 精品文档 3 ?bx 2 2 ?cx?d x?x?2a，b，c，d之值( ，满足limf?1，limf?0( x?? x?1 已知lim x?b3x?1? x?3 x?x0 x?1 ?4，试确定a，b之值( 1 ??:上述说法是否正确,? 为什么, :若lim??0，则lim x?x0 当x?x0时，f是无穷大，且limg?A， x?x0 24 / 31 精品文档 证明:当x?x0时，f?g也为无穷大( 用无穷大定义证明:用无穷大定义证明: lim x?1 2x?1 ???( 用无穷大定义证明: x?1 tanx??? 用无穷大定义证明: 3 x?0 lim?lnx???( lim x? ? ?02 x?1?0 lim 1x?1 ???( 用无穷大定义证明: 用无穷大定义证明: x??? 25 / 31 精品文档 lim???( limlog x??? a x??? ( 若当x?x0时，?、?都是无穷小， 则当x?x0时，下列示式哪一个不一定是无穷小. ?? ??? ln?1????? 2 2 ?? 2 答 :当x?x0，?是无穷小量:是:当x?x0时，是无穷小量:的充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件 既非充分条件，亦非必要条件 答 :当x?x0时，f?A是无穷小:是:limf?A:的: x?x0 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件 既非充分条件，亦非必要条件 26 / 31 精品文档 答 若limf?0，limg?0，但g?0( x?x0 x?x0 证明:lim lim fg x?x0 ?b的充分必要条件是 ?0( n f?b?g g x?x0 用数列极限的定义证明 用数列极限的定义证明 :lima n?? ?0，( ?1 ( :lima n?? 1 n 27 / 31 精品文档 用数列极限的定义证明lim 1?cos2ln 2 :lim n2n?5 2 n?? ? 1 ( x?0 的值等于__________ _ 求极限lim ? x sinx3 ?1 ?之值( x?0 高等习题库 淮南联合大学基础部 2008年10月 28 / 31 精品文档 第一章 映射，极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次: 1: 已知:A,{x|1?x?2}?{x|5?x?6}?{3},B={y|2?y?3} 求:在直 角坐标系内画出 A×B 解:如图所示A×B,{| x?A,y?B }.2: 证明:? P为正整数，?p,2n或p,2n+1，当p,2n+1时，p2,4n2+4n+1，不能被2整除，故p,2n。即结论成立。 基本理论层次: 习题二函数、数列与函数极限 基本能力层次 1: 解:2:证明:由所以命题成立 得cxy?ay?ax?b即 x? ay?b ，所以 x?f cy?a 3: y?2?xy?y??解: 4:用极限定义证明: lim 2 lg?0,x?0? 29 / 31 精品文档 ? 1,x?0?? n?1 ?1 n??nn?1111 ?1|???成立,只要n?取N,[]，则当n>N时,就有证明:因为 ?? 有|nn?? n?11n?1|?1|???有定义变知lim?1成立 n??nnn 5:求下列数列的极限 n12?22????n2 limnlim n??3n??n3 n nnn2n2n 解:? n?n,又?limn?0,所以 0?limn?0 , 故:limn,0 n??3n??3x??333 12?22????n2n111 ?? 由于 n3n36nn111112?22????n21 又因为:lim?,所以:limn??6n??nn3n3 30 / 31 精品文档 因为: 所以: 因为:1?n 11 ?1?，并且lim?1,故由夹逼原理得 n??nn n?1 6: 解:由于 7:解: 8: 9: 习题三 无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要 极限 基本理论层次 1: 解: 31 / 31