抽象函数的对称性与周期性
1 若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三个式子成立且等价: (1)f(a+x)=f(a-x) (2)f(2a-x)=f(x) (3)f(2a+x)=f(-x)
2 若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价: (1)f(a+x)=-f(a-x) (2)f(2a-x)=-f(x) (3)f(2a+x)=-f(-x) 易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例。
1 若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=f[g(x)],则复数函数y=f[g(x)]为偶函数。
2 若对于定义域内的任一变量x,均有f[g(-x)]=-f[g(x)],则复合函数y=f[g(x)]为奇函数。
说明:
(1)复数函数f[g(x)]为偶函数,则f[g(-x)]=f[g(x)]而不是f[-g(x)]=f[g(x)], 复合函数y=f[g(x)]为奇函数,则f[g(-x)]=-f[g(x)]而不是f[-g(x)]=-f[g(x)]。 (2)两个特例:y=f(x+a)为偶函数,则f(x+a)=f(-x+a);
y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(a+x)。
(3)y=f(x+a)为偶(或奇)函数,等价于单层函数y=f(x)关于直线x=a轴对称(或关于点(a,0)中心对称)。
1
ba,3 复合函数y=f(a+x)与y=f(b-x)关于直线轴对称。 x,2
ba,4 复合函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点中心对称。 (,0)2
证明性质3:设(m,n)为y=f(a+x)上任一点,则n=f(a+m),
ba,由于点(m,n)关于的对称点为(b-a-m,n)恰好在y=f(b-x)上, x,2
ba,?y=f(a+x)与y=f(b-x) 关于直线轴对称。 x,2
ba,证明性质4 :由y=f(a+x)与y=f(b-x) 关于直线轴对称, x,2又y=f(b-x)与y=-f(b-x)关于x轴对称,
ba,?函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点中心对称。 (,0)2
1 复合函数y=f(a+x)与y=f(a-x)关于y轴轴对称
2 复合函数y=f(a+x)与y=-f(a-x)关于原点中心对称
若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
?f(x+a)=f(x-a) ?f(x+a)=-f(x) ?f(x+a)=1/f(x) ?f(x+a)=-1/f(x)
4 若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
5 若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
2
6 若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)
必为周期函数,且T=4|a-b|
证明:f(x)关于点(a,0)中心对称,?f(2a-x)=-f(x) f(x)关于直线x=b轴对称,?f(2b-x)=f(x) ?f(2a-x)=-f(2b-x) ? 自变量x取2b-x ,由?式得:f(2a-2b +x)=-f(x) ?f(x)为周期函数且T=4|a-b|
1(),fxfax(),,1若函数y=f(x)满足,则函数f(x)的周期T=4a; 1(),fx
1(),fx1,1()1,,fax1(),fxxfax(2),,,,,证明:原式中自变量取,得 , ax,1(),fx1()(),,faxfx1,1(),fx?fx()的周期T=4a
fxfx()(),122若函数y=f(x)满足fxx(),,,且121()(),fxfx12
fafxfxxxa()1(()()1,0||2),,,,,,,则fx()的周期T=4a;(与正切函数类比) 1212
fafxfx()()1(),,fax(),,,xx,xa,证明:令,,则,由结论1知函数f(x)的周211()()1(),,fafxfx
期T=4a
1fxfx()1(()0),,,3若函数,则函数f(x)的周期T=3a; fxa(),
111fx()11,,,,,,证明:由 1fxafxa()(2)1,,,1,fxa(2),
11fxa(2)1,,,fxafx(3)1(),,,,x ?,由自变量取得: xa,fx()fxa(),
3
?函数f(x)的周期T=3a
4,则的周期T=6a. f(x,a),f(x),f(x,a)f(x)
1 函数y=f(x)是定义在实数集R上的函数,那么y=-f(x+4)与y=f(6-x)的图象之间( )(2002年3+X高考预测试题(四月卷))
A.关于直线x=5对称 B.关于直线x=1对称
C.关于点(5,0)对称 D.关于点(1,0)对称
解:据复合函数的对称性知函数y=-f(x+4)与y=f(6-x)之间关于 点((6-4)/2,0)即(1,0)中心对称,故选D。(原卷错选为C)
2 设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x=1对称,证明f(x)是周期函数。(2001年理工类第22题)
证明:?f(x)关于x=0和x=1轴对称 ?f(x)为周期函数且T=2
3 设f(x)是(-?,+?)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0?x?1时f(x)=x,则f(7.5)等于()(1996年理工类第15题)
A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5
解:?f(x)=-f(x+2)=-[-f(x+4)]=f(x+4)
?f(x)为周期为4的周期函数
f(7.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5,故选B。
4 设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x),则f(x)是( )
A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数
C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数
4
解:f(x)关于x=10轴对称,关于(20,0)中心对称,?f(x)为周期函数,且T=40,?f(x)也关于点(0,0)中心对称,即f(x)为奇函数,故选C
5若f(x+a)=f(x)-1/f(x)+1对x属于R恒成立,则是周期函数且T=4a是它的一个周期 因为 所以
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