抽象函数的对称性与周期性

抽象的对称性与周期性 1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x) 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。 1 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。 2 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。 说明： （1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]， 复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。 （2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)； y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。 （3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）。 1 ba,3 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线轴对称。 x,2 ba,4 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点中心对称。 (,0)2 证明性质3：设（m，n）为y＝f(a＋x)上任一点，则n＝f(a＋m)， ba,由于点（m，n）关于的对称点为（b-a-m，n）恰好在y＝f(b－x)上， x,2 ba,?y＝f(a＋x)与y＝f(b－x) 关于直线轴对称。 x,2 ba,证明性质4 ：由y＝f(a＋x)与y＝f(b－x) 关于直线轴对称， x,2又y＝f(b－x)与y＝－f(b－x)关于x轴对称， ba,?函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点中心对称。 (,0)2 1 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称 2 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称 若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ?f(x＋a)＝f(x－a) ?f(x＋a)＝－f(x) ?f(x＋a)＝1/f(x) ?f(x＋a)＝－1/f(x) 4 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 5 若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 2 6 若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x) 必为周期函数，且T＝4|a－b| 证明：f(x)关于点（a，0）中心对称，?f(2a－x)＝－f(x) f(x)关于直线x＝b轴对称，?f(2b－x)＝f(x) ?f(2a－x)＝－f(2b－x) ? 自变量x取2b－x ，由?式得：f(2a－2b +x)＝－f(x) ?f(x)为周期函数且T＝4|a－b| 1()，fxfax()，,1若函数y＝f(x)满足，则函数f(x)的周期T=4a； 1(),fx 1()，fx1，1()1，，fax1(),fxxfax(2)，,,,,证明：原式中自变量取，得 ， ax，1()，fx1()(),，faxfx1,1(),fx?fx()的周期T=4a fxfx()()，122若函数y＝f(x)满足fxx()，,，且121()(),fxfx12 fafxfxxxa()1(()()1,0||2),,,,,,，则fx()的周期T=4a；（与正切函数类比） 1212 fafxfx()()1()，，fax()，,,xx,xa,证明：令，，则，由结论1知函数f(x)的周211()()1(),,fafxfx 期T=4a 1fxfx()1(()0),,,3若函数，则函数f(x)的周期T=3a； fxa()， 111fx()11,,,,,,证明：由 1fxafxa()(2)1，，,1,fxa(2)， 11fxa(2)1，,,fxafx(3)1()，,,,x ?，由自变量取得： xa，fx()fxa()， 3 ?函数f(x)的周期T=3a 4，则的周期T=6a. f(x，a),f(x),f(x，a)f(x) 1 函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（ ）（2002年3＋X预测（四月卷）） A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称 解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于 点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C） 2 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题） 证明：?f(x)关于x＝0和x＝1轴对称 ?f(x)为周期函数且T＝2 3 设f(x)是（－?，＋?）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0?x?1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（）（1996年理工类第15题） A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5 解：?f(x)＝－f(x＋2)＝－[－f(x＋4)]＝f(x＋4) ?f(x)为周期为4的周期函数 f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，故选B。 4 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ） A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 4 解：f(x)关于x＝10轴对称，关于（20，0）中心对称，?f(x)为周期函数，且T＝40，?f(x)也关于点（0，0）中心对称，即f(x)为奇函数，故选C 5若f(x+a)=f(x)-1/f(x)+1对x属于R恒成立，则是周期函数且T=4a是它的一个周期 因为 所以 5