常见求定积分与不定积分的方法11

常见求定积分与不定积分的方法11 宜宾学院11级 常见求定积分与不定积分的方法 学 院: 数 学 学 院 年 级: 11级励志班 学 号: 110203001 姓 名: 丁 云 红 专 业: 数学与应用数学 指导老师: 刘 金 兴 二零壹伍年六月 目 录 摘要………………………………………………………………………2 关键词……………………………………………………………………2 前言………………………………………………………………………2 1.定积分…………………………………………………………………2 1.1定义…………………………………………………………………2 1.2方法…………………………………………………………………3 1.2.1定义法……………………………………………………………3 1.2.2定积分法则………………………………………………………3 1.2.3定积分区间性质求解定积分……………………………………4 1.2.4积分中值定理……………………………………………………6 1.2.5牛顿—莱布尼茨公式……………………………………………7 1.2.6定积分换元积分法………………………………………………8 1.2.7定积分分部积分法………………………………………………11 2.不定积分………………………………………………………………13 2.1定义…………………………………………………………………13 2.2性质…………………………………………………………………13 2.3方法…………………………………………………………………14 2.3.1不定积分公式法…………………………………………………14 2.3.2不定积分换元积分法……………………………………………16 2.3.3不定积分分部积分法……………………………………………20 2.3.4有理数和可化为有理数的不定积分求解方法…………………22 参考文献…………………………………………………………………28 2 摘要 本文介绍了定积分与不定积分的概念性质，主要总结了求解定积分与不定积分常见的方法:积分基本法则、积分中值定理、牛顿—莱布尼茨公式、直接积分法、换元法、分部积分法，并结合实际例加以说明，以便于在解题时能快速选择出最佳的解题方法。 关键词 定积分，积分法，换元法，分部积分法 前言 微积分是高等数学中非常重要的一个知识部分，其中定积分和不定积分是积分学中的两大基本问题，定积分和不定积分的计算也是大学生要学习的基础数学知识，是要学习和掌握的(众所周知，在学习数学计算时不但追求准确性，还有快速性.同样的对于一个积分的计算，我们首先要求要有准确性，其次是要有快速性，而这两个目的的实现就需要正确的方法和巧妙的技巧(本文主要以求解定积分和不定积分的各种常见方法为主线，对其进行分别概述以及相应的举例说明，从而得出对于面对不同的题型时运用合适的方法来快速解决问题. 1.定积分 1.1定义 ,,a,bf(x),,a,b是定义在闭区间上的一个有界函数，对于的任意取分点设 n,,x，作成一种划分 i,0i Pa,x:,x,x,？,x,b， 012n ,,,,x,x,x,x,x,,x,x并任意取点.记小区间的长度为，并令ii,1iiii,1i,1i ,,max(,x),,0，若当时，极限 i1,i,n n limf(,),x ,ii,0,,1i Pf(x),,,a,b存在，且极限值即与划分无关，又对的取法无关，则称在上i Riemann可积。和式 n S,f(,),x ,nii ,1i RiemannI,,f(x)a,b称为和，其极限值称为在上的定积分，记为 b I,f(x)dx， ,a 3 b这里和分别被称为积分的下限和上限。 a 1.2.方法 1.2.1定义法 已知函数在上可积，由于积分和的极限唯一性，可做的一个f(x)[a,b][a,b]特殊分法(如等分法等)，在上选取特殊的(如取是的P,,,,x,x,,x,xk,1kkkk,1k左端点、右端点、中点等)，做出积分和，然后再取极限，就得函数在f(x)[a,b]的定积分( 12,,1(1，x)dx例1用定积分定义计算 ,0 2解:在上连续，故该定积分一定存在，取上的特殊划分法，将1，x,,,,,,0,10,10,1 1xi,等分为个小区间，则分点为，。小区间的长度,,x,xn(i,0,1,2,？,n)ii,1in 11xxx,,,,,xi,,，在每个子区间上选取，则和式 ,,x,xiii,1iii,1inn 2nnni11，，2fx(,),,1，(),1，,,,ii3,, nnn，，,1,1,1iii 22n，3n，11,1，n(n，1)(2n，1),1，， 326n6n 另， n,, 2n12n3n14，，2(1x)dxlim()xlim(1). ，,,,,，,,ii2,0n,,n,,36ni,1 从上面的例题可知，按照定积分的定义计算定积分要进行特殊的划分和复杂的计算，在一般解题时不常用，但它也不失为一种计算定积分的方法( 1.2.2 定积分法则 abf(x)dx,,f(x)dx积分的次序: 定义 ,,ba af(x)dx,0零: 定义 ,a bbkkf(x)dx,kf(x)dx常倍数: 任何数 ,,aa 4 abk,,1 ,f(x)dx,,f(x)dx,,ba abb和与差: f(x),g(x)dx,f(x)dx,g(x)dx,,,baa bcc可加性: f(x)dx，f(x)dx,f(x)dx,,,aba 最大,最小不等式:若和分别是在上的最大值和最小值，则 ,,a.bmaxfminff b. minf,(b,a),f(x),maxf,(b,a),a bb控制:在上， f(x),g(x),f(x)dx,g(x)dx,,a.b,,aa b在上(特殊情形) f(x),0,f(x)dx,0,,a,b,a 以上法则在求解定积分方法中运用十分广泛和常用，对求解定积分的复杂度 减轻了程度。 1.2.3定积分区间性质求解定积分 设在对称区间上可积， ,,f(x),a,a 若是偶函数，则成立 f(x)(1) aaf(x)dx,2f(x)dx; ,,,a0 若是奇函数，则成立 (2)f(x) af(x)dx,0. ,,a aaaf(x)dx，f(,x)dx,f(x)dx; (3),,,00,a 21[2]2例2 计算. (x，1,x)dx,,1 分析 这道题看起来比较的复杂，在做题的时候首先要把被积函数进行整理，然 后再根据定积分区间性质对称区间上定积分公式进行计算. 解:首先将被积函数进行整理,得 2111122222,1dx，2x1,xdx (x，1,x)dx,(x，1,x，2x1,x)dx,,,,,,,11-11 122x1,xdx,,,1.1由于的被积函数为奇函数，而且积分区间为对称区间，由公,,1 式(1)知 122x1,xdx,0. ,,1 5 所以， 2112. (x，1,x)dx,dx,2,,,,11 ,xx1e，e例3计算 dx,,12 ,xxx,x1e，ee，e分析显然的被积函数是偶函数，可以根据对称区间上定积dx,,122 分公式进行求解. 解:由公式(2)得， x,xx,x11eeee，，dx2dx ,,,10,22 111x,xx,x ,(e，e)dx ,edx，edx ,,,000 1x1,x1,e,1,(,1) ,e,e00e 1,e, e π1[3]4例4计算. dxπ,,1，sinx4 解:由公式(3)可得， πππ111444，,dxdxdx π,,,00,1，sin1,sin1，sinxxx4 πππ111444,，dxdxdx故 π,,,00-1，sin1，sin1,sinxxx4 π114,，()dx ,0，,1sinx1sinx ππ2244,2secxdx,dx ,,200cosx π 4,2,2tgx. 0 从上面例子可知，上述三题的解法在于利用了对称区间上定积分的性质来巧 妙的简化了定积分的计算，在一定的程度上减少了计算量和工作量;因此，记住 6 这些性质对我们求解定积分题是非常有帮助的( 1.2.4积分中值定理 1.2.4.1积分第一中值定理 设和都在上可积，在不变号，则存在，使得,,,,,,a.ba.b,,m,Mf(x)g(x)g(x) bb， f(x)g(x)dx,,g(x)dx,,aa这里M和分别代表在的上确界和下确界。 m,,a.bf(x) 特别地，若在上连续，则存在，使得 ,,,,a.b,,a,bf(x) bb. f(x)g(x)dx,f(,)g(x)dx,,aa1.2.4.2积分第二中值定理 设在上可积， ,,f(x)a.b (1)若函数在上单调递减，且，则存在，使得 ,,,,a.b,,a,bg(x)g(x),0 b,f(x)g(x)dx,g(a)f(x)dx. ,,aa(2)若在上单调递增，且，则存在，使得 ,,,,a.b,,a,bg(x)g(x),0 bbf(x)g(x)dx,g(b)f(x)dx. ,,,a (3)若在上单调，则，使得 ,,,,a.b,,a,bg(x) ,bbf(x)g(x)dx,g(a)f(x)dx，g(a)f(x)dx. ,,,,aa1.2.4.3定积分的中值定理 设在,,上连续，则在,,中存在某点c，使得 f(x)a.ba.b b1(),()fcfxdx. ,a,baπn,,12limsinxdx,0例5求证. ,0,,n 0,,,π,证明:对，由积分第一中值定理， ,-πππnnn2220,sinxdx,sinxdx，sinxdx ,,,,-π00 2π-π-ππ-π,,,nnsin()sin,，, 22222 7 ππ-π,n. ,sin，222 -π,n,,0N,0n,N由于，故对上述，，当时，有 limsin,0，,,n2 ,π-1n. sin,,2π从而 -ππ,,nsin. ,222 n,N所以，当时，有 πn20,sinxdx,,， ,0 由的任意性，可知 , π n2limsinxdx,0. ,,,0n 1.2.5牛顿—莱布尼茨公式 ,F若函数在上连续，且存在原函数，即，，则,,,,f(x)a.bx,a,bf(x)F(x),f(x)在上可积，且 ,,a.b bf(x)dx,F(b),F(a). ,a 上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也常写为 bbf(x)dx,F(x). a,a 43(x，1)dx例6求的值. ,-1 4x3，xx，1解:的最简单的反导数是，因此， 4 444，，x3(1)x，dx,，x ,,,-14，，,1 4413(4)(1)68,，,,,. 444 bf(x)dx求解定积分，若能直接写出被积函数的原函数的可以运用牛顿—莱,a Ff布尼茨公式能快速的求解。步骤为:1.求的一个反导数,任何一个反导数都 可以，一般最好选择最简单的一个，方便计算;2.计算F(b),F(a)，得出数便 8 b是的值. f(x)dx,a n1,,12例7求定积分. (1,x)dx,0 n12解:令，则 I,(1,x)dxn,0 1n,122 I,(1,x)(1,x)dxn,0 n,111222n,1 ,(1,x)dx,x(1,x)dx,,001n12 ,I，xd(1,x),1,0n2nn11122n1 ,I,d(1,x)dx,x(1,x) ,n10,02n2n 1,I,I. n,1n2n 所以 2n,II. nn,12，1n 而 012. I,(1,x)dx,10,0 故 n2n2(n,1)2n!I,,,,1,. ？n2n，12(n,1)，1(2n，1)!! 这道题运用了定积分的法则和牛顿—莱布尼茨公式，使得复杂的计算变得简化，在定积分求解中，灵活的运用法则和公式也能给求解定积分带来简便。 1.2.6 定积分换元积分法 换元积分法是在积分过程中通过引入适当的变量来简化积分计算的一种积分方法(通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应的变换积分的上下限，这样可以简化计算( ,，，若函数,,,,fx在a,b上连续，满足在,，,上可积，且满足 ,(t) ，，，，,,,,,,,a,,,,b,,(,,,),a,b， 则有定积分换元公式: b,,f(x)dxf(,(t),(t))dt, ,,a, 换元的简单情况就是凑微分法，同时，它也是其他方法的基础和优先思路(通常在应用换元积分法求原函数的过程中，也相应变换积分上下限，这样可以简化 9 计算( 利用换元法的关键在于选择恰当的变换方式，否则可能使变换后的，，x,,t积分更加复杂，难以计算，然而我们没有一般的原则，只能依据被积函数的特点来确定( a22[5]例8 求. a,x,0 解:应用定积分换元积分公式 ,x,0t,0令,当时，;当时，t, x,ax,asint,dx,acostdt,2 πa22222a,xdx,a(cost)dt ,,00 ,22,asin2at,,2,,( ，t,,0422,, 显然，上述计算方法使用定积分换元公式简便，从而体现了换元积分法的优越性( a22例9求a，xdx ,0 ,2x,0t,0t,解:设 当时，;当时， x,ax,atant,dx,asectdt,4 ,a222224a1，tant,a，xdx,sectdt ,,00 ,,23244,asectdt,asectdtant 00,, ,,，，244,,,asecttanttantdsect ,,00,,,，， ,2，，sint242 ,a,dt,,03,cost，， ,2，，1cos,t242 ,a,dt ,,03,cost，， ,,，，2344,a2,sectdt，sectdt ,,00,,，，所以， ,,,，，2323444asectdt,a2,sectdt，sectdt ,,000,,,，， 10 则， ,,344 2sectdt,2，sectdt00,, , 4 ,2，lnsect，tant0 ，，,2，ln2，1 所以， ,2134 ，，sectdt,，ln2，10,22 则， ，，21a222( ，，a，xdx,a，ln2，1,,0,22，， [6]2a22例10 求 x,adxa, sinat,t,0,dxdtt,，，当时，;当x,2a时， 解 设x,ax,asect24cost ,2sint2a2224 x,adx,adta0,,3cost ,21cost,24 adt,03,cost ,,，，2344, asectdt,sectdt,,00,,，， ，，2122 ，，，， ,a，ln2，1,aln2，1,,22，， 22a2，，,a,ln2，1 22 从上面的例子可以看出被积函数分别含有根式 222222a,0a,xa，xx,a，， ()时，为了要去掉根号，简化计算,相应 x,asintx,atantx,acott地分别实施弦换法(或)，切换法(或)，割x,acost 换法(或)，这统称为三角变换法，对三角函数构成的定积分，x,asectx,acsct 将区间变换与三角函数诱导公式结合起来，往往是非常有效的. 11 1.2.7定积分分部积分法 ,,若为上的可微函数，且和都在上可积，则有定积分,,,,a,ba,bu(x),v(x)u(x)v(x)分部积分公式: bbb,,. u(x)v(x)dx,u(x)v(x),u(x)v(x)dxa,,aa也写作 bbb. u(x)dv(x),,,u(x)v(x),v(x)du(x)a,,aa 3e2xlnxdx例11计算. ,1 1132,,v(x),xu(x),解:记，，则， ， u(x),lnxv(x),xx3 33ee123xlnxdx,lnxdx ,,113 3e3111e33,xlnx,,xdx 1,133x 311,,e33ex,3,,, 133,, 1139,e,e,. 99 这道题采用定积分的分部积分公式计算，从此可以看出，定积分分部积分法在 定积分的计算中简化了计算，在定积分的求解中有很大的作用. πx22esinxdx例12求定积分. ,0 ππxx222esinxdx,e(1,cos2x)dx解: ,,00 ππ1xx22 ,e,ecos2xdx0,02 1xx,,v(x),sin2x记，v(x),cos2x，则，. u(x),eu(x),e2则 πππ11xxx222ecos2xdx,esin2x,esin2xdx 0,,0022 12 πππ111xxx222 ,edcos2x,ecos2x,ecos2xdx0,,00444 ππ11x22 ,(e，1),ecos2xdx,044 于是 ππ,1x22 ecos2xdx,(e，1),05 故 ππππ1112x2222. esinxdx,(e,1)，(e，1),(3e,2),02105 e例13求定积分sin(lnx)dx ,1 tt,lnxx,1t,0t,1解:令，则dx,edt.当时，，当时，. x,e于是 e11ttt1sin(lnx)dx,esintdt,esint,ecostdt， 0,,,100其中 t1ttt1ecostdt,esint,esintdt 0,,00 1tt1,esin1，ecost,ecostdt 0,0 1t,esin1，ecos1,1,ecostdt ,0 于是 111tcos(sin1cos1)etdt,e，, ,022故 e11sin(ln)sin1(sin1cos1)xdx,e,e，， ,122 11,e(sin1,cos1)， 22这道题中，先用了定积分换元法，再换元法的基础上用了分部积分法，两种方 法结合解题，简化了计算，方便了解题.在求解定积分中，很多情况下往往需要 13 将换元法和分部积分法相结合，至于偏重于哪种方法，要视具体的题目而定. 2.不定积分 2.1不定积分的定义 ,f(x)x,X在区间上给定函数，若存在，使得，或XF(x)F(x),f(x) f(x)f(x)x,X，，则称是的一个原函数，的全部原函数F(x)dF(x),f(x)dx f(x)称为的不定积分，记作 f(x)dx, f(x)f(x)若存在原函数，也称可积. 其中称为积分号，为被积函数，称为被积表达式，称为积分f(x)xf(x)dx, 变量. 不定积分和原函数是总体和个体的关系，即若是的一个原函数，则F(x)f(x) CF(x)，C的不定积分是一个函数族,其中是任意常数.通常写为 f(x) f(x)dx,F(x)，C , C其中把称为积分常数，它可以取任意一实数值. 2.2不定积分性质 I在上的任意两个原函数之间，只相差一个常数. f(x)(1) IIf(x)dx在上的全体原函数称为在上的不定积分，记作，若(2)f(x)f(x), f(x)f(x)dx,F(x)，C是的一个原函数，则. F(x), k,0kf(x)dx,kf(x)dx(3)f(x)可积，，. ,, ,,f(x),g(x)dx,f(x)dx,g(x)dx(4)f(x)设，g(x)可积，则. ,,, (5)f(x)kkkk设，g(x)可积，任意常数，.当，不同时为零时，有 1212 ,,kf(x),kg(x)dx,kf(x)dx,kg(x)dx 1212,,, 不定积分的性质在计算不定积分中有很大帮助的，可以简化步骤，减轻计算量， 能更好的解决一些不定积分的计算. 14 2.3常见求不定积分的方法 2.3.1不定积分公式法 采用不定积分的性质和基本积分公式从而直接求出不定积分，这个方法就称为直接积分法即公式法. 基本积分公式 uu1. 12. 0du,Cedu,e，C,, uauka,0a,12.，(任意数) 13.adu,，C(，) kdu,ku，C,,lna 3. 14. (du，dv),du，dvsinhudu,coshu，C,,,, du,lnu，C4. 15. coshudu,sinhu，C,,u n，1duuu,,,1nn,,1udu,，C,sin，C5.() 16. ,,,,221n，a,,a,u du1u,,,16. 17. sinudu,,cosu，C,tan，C,,,,22aaa，u,, du1u,1,sec，C7. cosudu,sinu，C 18. ,,22aauu,a duu,,,12,sinh，Csecudu,tanu，C8. 19.， (a,0),,,,22a,,a，u duu,,,12,cosh，Ccscudu,,cotu，C9. 20.， (u,a,0),,,,22a,,u,a tanudu,,lncosu，C,lnsecu，Csecutanudu,secu，C10. 21. ,, cscucotudu,,csc，Ccotudu,lnsinu，C,,lncscu，C11. 22. ,, 以上这些基本积分公式，我们必须要记住，因为其他函数的不定积分经过运算变形后，最终都会归为这些基本的不定积分，在解决不定积分时，把复杂的被积函数转换为类似上述中的被积函数，运用基本积分公式就能快速的求解出原函数. 15 dx例14求不定积分 ,(x，2)(x，9) dx1111,,解:由的被积函数为以及不定积,,,,,(x，2)(x，9)(x，2)(x，9)7x，2x，9,,分性质可得: 111dx,, ,,dx,,,,(2)(9)729x，x，x，x，,, 1111,, dxdx,,7，27，9xx 11,lnx，2,lnx，9，C 77 1x，2 ,ln，C7x，9 dx,,7例15求不定积分. 22,cosxsinx 22解:已知1,cosx，sinx，可得 22dxcosx，sinx22,dx,，，cscx，secxdx ,,,2222cosxsinxcosxsinx 22,cscxdx，secxdx ,, ,,cotx，tanx，C 2x,x例16求不定积分 (9,9)dx, 2x,x2x,2x解: (9,9)dx,9,2，9dx,, 2x,2x,,,(9)，(9),2dx , 2x,2x,(9)dx，(9)dx,2dx ,,, 12x,2x,(9,9),2x，C 2ln9 从上面两个例子可以看出，其他函数经过计算变形后，最终都会转换为基本 的不定积分形式,所以牢记基本积分表是很有必要的，能快速正确的解决不定积 分问题. 2.3.2不定积分换元积分法 16 J设函数在区间上有定义，在区间上上可导，且. If(x),(t),(J),I 如果不定积分在上存在，则不定积分If(x)dx,F(x)，C(i), ,J在也存在，且 f(,(t),(t))dt, ,. f(,(t),(t))dt,F(,(t))，C(1), ,1Jx,I如果在上存在反函数，,且不定积分在f(x)dx(ii)x,,(t)t,,(t), ,JI上存在，则当不定积分在上存在时，在I上有 f(,(t),(t))dt,G(t)，C, ,1. f(x)dx,G(,(x))，C(2), 不定积分换元积分法中公式和反映了正、逆两种换元方法，通常分别(1)(2) 叫做第一换元积分法(凑微分法)和第二换元积分法(公式和分别称为第(1)(2)一换元公式与第二换元公式). ,,7求 例17secxdx, 解 解法一 : dxcosxdxdsinx secxdx,,, ,,,,22cosxx1,xcossin dsinx , ,(1，sinx)(1,sinx) ,,1dsinxdsinx,,,， ,,,,2(1sinx)(1sinx)，,,, 11，sinx ,ln，C21,sinx 该题也可利用三角函数之间的关系求解: 2，sectanxxxsecsecxdx,dx ,,sec，tanxx 1,d(secx，tanx) ,secx，tanx ,lnsecx，tanx，C . secx虽然从两种解法的结果形式上看是不同，但经验证都是的原函数，这 也就体现了不定积分的解法以及结果的不唯一性。 17 dx,,7a,0例18求不定积分，. 22,a，x x,,d,,xdx1a,,解:由 ，记，得 u,,222,,aaa，xx,,1，,,a,, dx111 ,du,arctanu，C222,,aaa，x1，u 1x,arctan，C aa dx,,7a,0例19求不定积分，. 22,x,a dx1111111,,解: ,,dx,dx,dx,,22,,,,2ax,ax，a2ax,a2ax，ax,a,, 1111,d(x,a),d(x，a) ,,2ax,a2ax，a 1,,,lnx,a,lnx，a，C 2a 1x,a ,ln，C2ax，a ,,722例20求不定积分. a,xdx(a,0), πx,asintt,解:被积函数中含有根式，为了去掉根号，令，(这是存在反函2x22dx,acostdtt,arcsina,x,acost数的一个单调区间)，于是，，则原式a 就化为 2222a,xdx,acost,acostdt,acostdt,,, 22aasin2t,(1，cos2t)dt,(t，)，C,222 xt,arcsin将代回上式，得 a x,,sin2arcsin,,2ax22a,,a,xdx,arcsin，，C,22a,,,,,, 18 222axaxx,,,arcsin，,,1,，C,,2a2aa,, 1x222,(aarcsin，xa,x)，C2a dxdx例21求不定积分和. ,,2222x,ax，a dxx,asectt解:对于，令，其中的变化范围可以这样确定，当时，x,a,22x,a π3π22x,,adx,atantsectdtt,(0，);而当时，t,(π，).于是，.x,a,atant22 所以 dxatantsect,dt,sectdt,,,22atantx,a 利用前面例子中结果 secxdx,lnsecx，tanx，C, 22xa,x2C,lnattsect,用和tan,sec,1,代回，由于仍然是一个任意常aa 数，因此 22dxx,a,lnx，，C,22ax,a 22,lnx，x,a,lna，C 22 ,lnx，x,a，C dxππ2x,atantdx,atdtt,(,,)类似对于令，则，，所以 sec,2222x，a dx12,,,atdt,sectdtsec,,22asecta，x ,lnsect，tant，C 22,lnx，，，Cxa 从上面例子可以看出，都是把根式变换掉，转换为基本积分表中的格式来方 2222a,xx,a便计算，采用的都是三角替换;若被积函数中含有如，， 19 22这样的形式的根式，要去掉根式，我们可以分别考虑将变换取为x，a x,asintx,atant，，. x,asect dx例22:求. ,22x1，x x,0解:法一:采用第一类换元积分法，当时，原式可化解为 dxdx12,,,,,,dx， ,,3,,,22x11,,x，x13x，，12122xx 12,,由，得 ddx,,,,23xx,, dx1111,,,,,,,,，dd1 ,,,,22,,,22xx11,,,,，x1x，，212122xx 2，x11 ,,，，C,,，C12xx 2dx1，x,,，Cx,0容易验证，当时，. ,22xx，x1 11dx,,dtx,法二:不定积分第二类换元法，令，则，则有 2tt dxtdt2,,,,1，t，C ,,222x1，x1，t 1t,将代回上式得: x 2dx11，x,,，，C,,，C1 ,222xxx，x1 法三:不定积分第一类换元法和第二类换元法结合;先用第二类换元法进行代换， 2x,tantdx,sectdt令，则，则有 2seccosdxtt,dt,dt ,,,2222tansecsinttt1x，x 再用第一类换元法， 20 (sin)cos1dtdxt ,dt,,,，C,,,2222sintsinsintt1x，x 最后代回变量，既得到 2dx1，x,,，C ,22xx，x1 有许多不定积分的题目，既可以采用不定积分第一类换元法，也可以采用不定积分第二类换元法，代换的函数形式也是多种多样，也可以大不相同，有些题目还可以结合两种方法进行解题，要根据具体的情况灵活的运用. 2.3.3不定积分分部积分法 ,,若和可导，不定积分存在，则也存在，并有 u(x)v(x)dxu(x)v(x)dxu(x)v(x),, ,, u(x)v(x)dx,u(x)v(x),u(x)v(x)dx,, 这个公式称为分部积分公式，常简写为 . udv,uv,vdu,, 前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分， 3x如、等，利用换元法就无法求解.采用不定积分分部积分法就xsinxdxxedx,, 是必要的了.利用分部积分公式求不定积分的关键在于如何将所给积分f(x)dx,化成udv的形式，使它更容易计算.所主要使用的方法就是凑微分法，利用分部, u,v积分法计算不定积分，选择好非常关键，选择不当将会使积分的计算将变得更加复杂。 xsinxdx例23:求. , xsinxdxudv解:先将变换为的形式 ,, xsinxdx,xd(,cosx) ,, 再用分部积分公式得 xsinxdx,xd(,cosx),,xcosx,(,cosx)dx ,,, ,,xcosx，sinx，C 3xxedx例24:求 , 21 3x3x3xx3解: xedx,xd(e),xe,ed(x),,, 3xx23x2x ，，,xe,3exdx,xe,3xd(e),, 3x2xx ，，,xe,3(xe,2xedx), 3x2xx ,xe,3xe,6xd(e), 3x2xxx ,xe,3xe,6xe，edx, x32 ,e(x,3x,6x，1) 22例25:求. x,adx, 22解:前面用的是不定积分第二类换元积分法求的，但是用分部积分x,adx, 的方法更简单. 222222 x,adx,xx,a,xd(x,a),, 2x22,,, xxadx,22,xa 222,，xaa22,,, xxadx,22,xa 2a2222 ,xx,a,dx,x,adx,,22x,a移项，解得 2,,1a2222,,,,,, xadxxxadx,,,,222,xa,, 由前面例子得 122dx,lnx，x,a，C ,22x,a 则 12222222,,x,adx,xx,a,alnx，x,a，C ,,,,,2 udvu,v由此可以看出，找出合适的是非常关键，对求解不定积分分部积分, 法应用十分广泛，对求解不定积分很大程度上减少了运算量.下面是常见不定积 u,v分的选择: 22 ,,分类 不定积分类型 和的选择 u I , u,p(x),,,sinxp(x)sinxdx nn, , u,p(x),,,cosxp(x)cosxdx nn, II xxp(x)edx , u,p(x),,,en,n ,p(x)lnxdxu,lnx,,,p(x) nn, III ,p(x)arcsinxdxu,arcsinx,,,p(x) nn, ,p(x)arccosxdxu,arccosx,,,p(x) nn, ,u,arctanx,,,p(x)p(x)arctanxdx nn, xxxesinxdx, ,u,sinx,,,e或 u,e,,,sinx, xxxecosxdx, ,u,cosx,,,e或 u,e,,,cosx, 2.3.4有理数和可化为有理数的不定积分求解方法 2.3.4.1有理函数积分法 P(x)给定真分式，是一n次多项式，则总可以分解成: Q(x)Q(x)Q(x) st22Q(x),(x,Q)m(x，px，qx)k(p,4q,0)jjjjjjj,, 11j,j, st m，2k,n,,其中 jj,1,1jj 23 As，，AAjP(x)mjjj12,,,，，？，，,2m jQ(x)xQ,(xQ),(xQ)j,1,,,jjj，， ，BxC，，，BxCtkkjjjjjj11,,，，？,22 jk，，xpxq(x，px，q),1,,jjj，，jj n,1n,21其中是待定常数，对上式通分后消去分母，然后比较，，…，，xxxA,B,C 0的系数，得个方程组，由这个方程组可得个未知数. xnn 常见的真分式积分 Adx,Alnx,a，C (1),x,a 1AA dx,，C(2),mm,11,m()()x,ax,a Bx，ct dx,Bdt，(3),,2k22k()()x，px，qt，a 2Bppdt2(c,)(a,q,,p,4q,0) ,22k24(t，a) tdt122,ln(t，a)，C (4),222t，a dt1t,arctan，C (5),22aat，a 2，2x例26:求dx. ,22(，，1)xx 解:对被积函数进行分解得: 22x，2x，x，1，1,x11,x,,， 2222222(x，x，1)(x，x，1)x，x，1(x，x，1) 2，，x，211,xdx,，dx则 ,,,,22222(x，x，1)x，x，1(x，x，1)，， 24 13(2x1)dx,，dx22dx,，， ,,,22213(xx1)，，213，，2(x)，，(x)，，,,2424，， x22，11 ,arctan，，2xx2(，，1)33 1x，3222x，12 ,(arctan，)，C223x，x，133 42x，1x，1 ,arctan，，C2x，x，133 2.3.4.2三角函数有理式积分 称为三角有理函数的不定积分，即不定积分的被积函数中含R(sinx,cosx)dx, xx,2arctanttan,t，且一定可以积出来.一般情况下，令，或，则sinx,cosx2 22t1,t2dtsinx,dx,cosx,，，， 2221，t1，t1，t 22t1,t2dtR(sinx,cosx)dx,R(,). ,,2221，t1，t1，t 22sinxcosxt,tanx通常被积函数是及的有理式时，采用变换比较方sinx,cosx 便. 某些特殊场合的变量替换: ，可令; R(,sinx,cosx),,R(sinx,cosx)t,cosx t,sinx，可令; R(sinx,,cosx),,R(sinx,cosx) t,tanx，可令. R(,sinx,,cosx),R(sinx,cosx) dx例27:求不定积分. ,2sinx,cosx，5 22t1,t2dtxsinx,dx,cosx,t,tan解:令，则，，于是 22221，t1，t1，t 25 dt2 2dxt1， ,,,2xx2sin,cos，5tt41,,，522tt1，1， 2dtdt,, ,,2224t,1，t，5，5t3t，2t，2 131dtt， arctan,,，C,15255(3)t，，33 x3tan，112 ,arctan，C 55 三角函数的不定积分变换因题而异，选择适当的变换进行化解计算，对求解不定 积分有很大的帮助. 2.3.4.3某些无理根式的积分 ，axbn(,)Rxdx2.3.4.3.1型的不定积分 (ad,bc,0),，cxd ndt,bax，bnx,t,令，则则 ncx，da,ct n1n,(,)，,nadbctaxbdtbn(,),(,) RxdxRtdt,,nn2，cxd,(,)actaa注:不能根式套根式，根式里面是同一线性分式. 11,xdx例28:求不定积分. ,21，xx 21,x1,t,4tx,t,,解:令，则，dxdt 2221，x1，t(1，)t 222(1，)11,44txt,,,(,),, dxtdtdt,,,22222221，x(1,)(1，)(1,)xttt 2d(1,t)1,2t,,2td ,,222(1,t)1,t 2121tt,t2ln ,，dt,,，C,2221，t111t,,tt, 26 22,x，,x111 ,,，，Clnxx 22.3.4.3.1型的不定积分 R(x,ax，bx，c)dx, 22a,0a,0型的不定积分(时，;时，b,4ac,0R(x,ax，bx，c)dx, 22)，使其等于，为常数，根据的正负号b,4ac,0R(u,Au，B)duA,BA,B1, 选择合适的变量进行替换:或等(其中为适u,,sectu,,sint,u,,tant,,,,, 2当常数).把化为的三角函数有理式的积分. R(u,Au，B)dut1, 2x例29:求不定积分. dx,21，,xx 22xx,解: 2511，x,x2,(x,)42 515令，则 x,,sintdx,costdt222 222,,xx15,,dxdxsintdt,,， ,,,,,222511，x,x2,,,(x,)42 ，，155 ,，sint，(,cos2t)dt,,,428，， 755,t,cost,sin2t，C 8216 72x,12x，32,arcsin,1，x,x，C 845 以上所介绍的都是常见定积分和不定积分的求解方法，根据不同的题型的特点采取上面不同的方法，很多的题目要经过适当变形后才能应用上述方法，有的题经过不同的变形，应用不同的方法，计算结果就会不同。积分的计算灵活性很强，必须熟练掌握上述常用的方法，才能快速准确的求解积分.而这就与做大量的练习是密不可分了，题做得多了，自己也就会积累更多的经验，这样解起题来才能得心应手，才能熟练自如的应用,而且定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的各种问题也能迎刃而解。 27 参考文献 1. 王勇，曹学广.《数学分析全程导学及习题全解》.北京，中国时代经济 出版社.2007.2. 2. 郝涌，李学志，陶有德，彭玉成(《数学分析考研精编》[M](信阳师范学院 数学系出版(2003.6. 3. 华东师范大学数学系编.《数学分析下册》[M](华东师范大学数学系出 版(2001. 4. 叶其孝，王耀东，唐兢译.《托马斯微积分》第10版.北京，高等教育出版 社.2003.8. 5. 张银生，安建业(《实用积分法》[M](中国人民大学出版社(2002.7. 6. 陈兰祥(《高等数学典型题精解》[M](北京，学苑出版社(2000.10. 7. 华东师范大学数学系编.《数学分析上册》[M](北京，高等教育出版社.2010.7 8. 陈纪修，於崇华，金路.《数学分析》[M]第二版上册(北京，高等教育出版 社(2004.5. 9. 杨爽，赵晓婷，高璞译.《普林斯顿微积分读本》北京，人民邮电出版社.2010.8. 10. 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏.《数学分析学习指导书》上册.北京，高等 教育出版社.2004.8. 11. 焦艳芳，李光敏.《数学分析全程辅导及习题精解》第四版上册.北京，中国 水利水电出版社.2012.1. 28 29