勾股弦定理

勾股弦定理 幾何學中有一個既基本又重要的定理,即勾股弦定理,也稱商高定理或畢氏定理,,內容通常描述如下, 「直角三角形最長邊上正方形面積等於較短兩邊上正方形面積相加」,或「直角三角形斜邊平方等於兩股平方和」,或以數學式示為 222「a+b=c」其中a,b為兩股長,c為斜邊長 。 證明方法聽說有500種以上,下面來欣賞幾種, 一、如上圖,左右大正方形邊長為a+b,扣去內部4個兩股為a與b,斜邊為c的直角三角形後,左邊剩邊長為a與b的兩個正方形,右邊 222剩邊長為c的一個正方形,所以a+b=c。 2二、如上圖,中正方形面積為c,中正方形內4個直角三角形面積為abab222222,小正方形面積為,b-a,=b-2ab+a ,所以c=4×+ b-2ab+a22 222化簡得到a+b=c。 222三、如上圖,面積A=A’,B=B’,所以A+B+C=A’+B’+C a+b=c,,將A+B+C想成兩個正方形合成的圖形,。 四、如上圖,梯形面積等於3個直角三角形面積和, 22，，a，babcab222所以 a+b=c ,，，,2222 五、,歐基里德的方法,如上圖, 正方形BCDE面積=2?ABE面積,同底等高,BE為底, 長方形BPQM面積=2?MBC面積,同底等高,BM為底, 又?ABE?MBC,所以長方形BPQM面積=正方形BCDE面積…, ,1, 同理,長方形APQN面積=正方形ACFG面積….,2, ,1,+,2,得到直角三角形最長邊上正方形面積等於較短兩邊上正方形面積相加。 而我們若從「直角三角形斜邊平方等於兩股平方和」觀點來看勾股弦定理,則此一定理可以推廣成「直角三角形最長邊上多邊形面積等於較短兩邊上相似多邊形面積和」,這是因為相似形的面積比等於邊長平方比,,那麼下面這種證明方法將是最令人讚嘆的一種了, 如上圖直角?ABC中,ACD為AC邊上直角?,ABD為AB邊上直角?, ? ABC為BC邊上直角?,而顯然?ABC=?ACD+?ABD,而證明了畢氏定理。 高中學生學過向量,用來證明畢氏定理一樣令人激賞, 如上圖,?ABC為直角?,a,b,c代表向量,則c=a+b,且因為a,b,所以a?b=0,因此 222 ?c?=c?c=,a+b,?(a+b)=a?a + 2 a?b + b?b=?a?+?b? 222 a+b=c。 ,