不定式极限求解方法探讨

不定式极限求解方法探讨 .嘞耱 解题技巧与方法 霪麟庶漶磁 ◎徐助跃(湖南湘西自治州民族广播电视大学416000) 【摘要】给出了使用L'Hospital法则的注意事项,及 "l…型不定式的两种转化方式的一致性. 【关键词】微积分;不定式;极限 引言 微积分中求极限的方法很多,L'Hospital法则就是其中 之一,它是求解不定式极限的有效方法.为叙述方便,现给 出"0"型不定式的L'Hospital法则, 而"詈''型L'Hospital法 则与之完全类似,故从略. L'Hospital法则(""型,一8)若: (1)函数_厂(),g()在(a,a+6)内有定义(6>0),并且 lim)=0,limg()=0; (2)_厂()和g()在(a,a+占)内存在,且g()?0 (3)一…lim=(+~-sinx):(A 为常数或为); .~1] … lira + = 该法则也适用—n,一0,及一o.的情况. 使用L'Hospital法则,应注意以下几个方面: 一 ,L'Hospital法则的条件是充分条件而不是必要条件 (1)如果lim不存在(也非a.)时,不能说明原极 限lim不存在,应选用其他方法重新计算. ,g, 例1求解:limX—4-s—ln.~f1.,, 解本题虽然形式上为""型不定式,但由于 li导:lim不存在,故不满足L'Hospital法则的l,?l 条件(3),因此不能由此判断原极限是否存在.事实上 1im兰:limf1+si眦1:1. …p+\, (2)如多次应用L'Hospital法则后得到的总是不定式或 还原为原来的极限,此时也应选用其他方法重新计算. 例2求解: xe 二 4-(詈一).—+e,w, 解若使用一次L,H.pital法则,有lim,且仍 +e—e 是"詈"型不定式,再使用一次L'Hospital法则,极限则还原 为原极限,因而本题不符合L'Hospital法则的条件3),应改 用其他方法.若原极限的分子分母同时除以e,则 筹=蒜_1. ? ?? ? 由此司见,虽然. L'Hospital法则对解不定式非常有效, 但它并不是万能的,当条件不满足时,则不能使用L'Hospital 法则.特别地,如果极限中含有sinx或cos(X---~..)以及 sin或c.s上(_?0)时不能使用L'Hospital法则. 二,"0?.."型不定式的转化 对于"一..",''0?''型不定式,需先转化为"0''型 或"詈''型不定式才能使用L'Hos—pital法则.对于"一*" 型不定式,一般先通分,有理化或变量代换等方法转化为 " 百 0''型或"''型;而对于"0.''型不定式,需将其中一U? 个因子移至分母中去,转化为"0,'型或",'型,选择哪种U.. 转化型,应视计算繁简而定,一般转化时对数函数或反三角 函数保持不动,而将其他函数移至分母中去. 侈03求解:li(arcsinx)ei1(0.). — 加+ 1 解(arcsi-_1警-…lim?枷++一:_呻0十一上1 竿1::苹2一3 :主:?:. 一 (※)说明: (1)若此处转化为lim+ X 2 (罟),则X2:— -Uu^ ]2x- … lim . 2 一 xI,多次应用L'Hospital法则后总是 " 百0"型不定式,故不能由此得出原极限是否存在. (2)应用L'Hospital法则时能化简尽量先化简,同时要 与其他方法结合使用,尤其是与等价无穷小代换结合,能使 计算过程非常简单. 三,"1'型不定式的求解方法 对于"00","o.'及…I"3种不定式,设为()',需先 llmvlJmutJ 用取对数法,转化为e,,求出极~limv(x)lnu(x)(是 数学学习与研究2011.13 (下转85页) ?移项补齐: rl=一2x2—3x3一5 I.f2=2, I=,{ ^. 14一ZX5一,q-a;6, I5=5,l LX6=gC6? ?拆成向量: 一 2 + 一 36, 一 3 2+ .缔 3.非齐次线性方程组 设有非齐次线性方程组AX=/3,其解法如下: 第一步:将增广矩阵A=(A,/3)阶梯化判解 即将A施以行的初等变换化为阶梯形B=(B,d), r(B)=r(B),则有解. 第二步:B特殊阶梯化 即将曰施以行的初等变换化为特殊阶梯形. 第三步:恢复方程组 第四步:移项补齐 第五步:拆成向量 例3求通解: rl+22+4=4, {一1—2x2+3一4=1, 【31+62+34+5=18. 解题技巧与方法…赫卅魄母哆氅?卿 解?A阶梯化: ,,120104, A=l一121—101t-, I3603118 1 . 20 . 10 0. 4 5B.0100l=. \00001;6/f r(日)=r(B)=3, . ? . 原方程组有解,且曰已是特殊阶梯形 ?恢复方程组: r1+22+4=4, . , ?移项补齐: f1=一2x2一4+4, Iz=., {=5, 『X4:d, Lxl:6. ?拆成向量: + . 0Jlj-,此乃所求通解 【参考文献】 [1]钟学军.矩阵损失下均值向量的线性估计.数学年 刊,国家教委数学年刊编委会编辑,1997(6):18A. [2]北京大学数学力学系.高等数学. [3]高汝熹,姚慕生.高等数学(二)线性代数. (上接83页) "0?"型)即可求得原极限.而对于…1"型不定式,还可 借助重要极限求解,但本质是一样的,因为若用对数法,则 li(:巾:: lim』,.!(!:( =ex~au(x)一v2(x). 若用重要极限,则 limu(x)'=lim{[1+(?()一1)]赤)j"''-13v(.) : )l"?_l_ :.: :. 由于lira()=1,所以两种方法最终都转化为求 . 例4求解-lif1(.>o,6>0,.>0).,j, 解法1 ()?:.—: :e ?(?: 解法2 ():(+)一一 =e— lira—a—Xlna~bX = l— n— b— +—— c— X — lnc . =e= 对"l…型不定式,若底数中含有一项为1,则用重要极 限计算更为简便. 【参考文献】 [1]复旦大学数学系.数学分析(上)[M].北京:人民 教育出版社,1979. [2]陈文灯.高等数学复习指导(上)[M].北京:北京 理工大学出版社,1992. [3]王五生,黄延廷.不定式函数极限的七种求法[J]. 河池师专,2004,24(2):5—8. [4]白水周.极限运算中两个值得注意的问题[J].开封 大学,2005,19(4):95—96. [5]李超.利用偏导数求型多元不定式的极限[J].U 韶关学院:自然科学版,2001,22(12):1—10. 数学学习与研究2011.13 ?._l,? }ji.丫..-Ir. + 3 \,??F?????,, 2 1O0—10 ,,?????Pr?????/ ,,?????, h?????/ 胁舢扔‰ ,?