椭圆方程式学习重点:了解椭圆:定义椭圆各部份名词了解
2-2 橢圓方程式
學習重點:
1. 了解橢圓:(1)定義 (2) 橢圓各部份名詞
2. 了解橢圓的標準式:(1)由方程式求各要點 (2) 由各要點求方程式
1. 橢圓
(1) 定義:設F和F’為平面上相異二點,a為一正數,且 < 2a, FF'
則同一平面上到F和F ’兩點距離和為2a的所有點P (即) PFPFa,,'2
所形成的圖形稱為橢圓,而 F 和F ’稱為橢圓的 。
<說明>
(1)'2''若時,即,則P點所成為線段FFaPFPFFF,,,
(2)若時FFaPFPFFFP'2'',,,,,則點不存在,即無圖形
(23)?三角形任意邊和必大於第邊
說例: 試問以下方程式為何種圖形,
2222(3)(1)(3)(2)6xyxy,,,,,,,,(1)
2222(3)(1)(3)(2)3xyxy,,,,,,,,(2)
2222(3)(1)(3)(2)1xyxy,,,,,,,,(3)
(2)橢圓各項名詞:
1? 焦點:即定義中的二定
點 。且 FF', (記號)
2? 中心:為焦點的中點,為點 。
3? 長軸頂點:焦點連線和橢圓相交的二個點 ;
4? 長軸長= (以點的位置表示)= (記號)
5? 短軸頂點:過 ,且 長軸的直線和橢圓相交的二個點
6? 短軸長= (以點的位置表示)= (記號)
7? 正焦弦長:過焦點F(或F’)且垂直長軸的直線交橢圓於2點CD(或EF),則 CDEF()
即正焦弦長= (記)
1
[說明]
1.中心O:
(1) 中點 (2) 中點 (3) 中點
(4) 和 的交點
2. a > b > 0 , a > c > 0 三者關係 (要記)
2.橢圓標準式:
2222xy()()xhyk,,(1) ,,1,,12222abab
222211ax在下ax在下? 大數字 , ? 大數字 ,
橢圓長軸為 的 橢圓長軸為 的 22? 中心 ? 中心 33? a,b,c關係 ? a,b,c關係 44?正焦弦長 ?正焦弦長
2222xy()()xhyk,,,,1(2) ,,12222baba
222211? 大數字 , ax在下ax在下? 大數字 ,
橢圓長軸為 的 橢圓長軸為 的 22? 中心 ? 中心 33? a,b,c關係 ? a,b,c關係 44?正焦弦長 ?正焦弦長
2222(1)(2)xy,,(1)(2)xy,,,,1,,1例1:若方程式 的圖形練習1:若方程式 的圖kk,,25kk,,210為橢圓,且長軸平行 x 軸,求k的範圍 形為橢圓,且長軸平行 y 軸,求k的範圍
<寫出各名詞步驟>
2astep1: 觀察大數字 的位置,判斷橫或直橢圓 (由長軸判斷),作圖
step2: 找中心
step3:找a,b,c
2
2222例2 試求橢圓的中心,頂點,xy,,436(1)(2)xy,,例3:試求橢圓 的中,,1焦點,長軸長,短軸長,正焦弦長。 59
心,頂點,焦點,長軸長,短軸長,正焦弦
長。
2222 練習3: 試求橢圓416xy,,(1)(2)xy,,練習2試求橢圓 的中,,1的中心,頂點,焦點,長軸長,短軸長,正94
心,頂點,焦點,長軸長,短軸長,正焦弦焦弦長。
長。
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