在真空中传播的平面电磁波
干涉
1、 在真空中传播的平面电磁波,其电场
示为
x,,,,,214,1 0010Vmcos10st,,,,,,,,E,E,E,,,xyz,,c2,,,,
求该电磁波的频率、波长、周期、振幅和初相位。 解对照平面波基本形式
z,,,, EAcos2vt,,,,,,,,,c,,,,
可见
14,,10x,,,2,1 E10Vmcos2st ,,,,,,,,,,,2c2,,,,
1410142,,,Hz,0.5,10HzA,10Vm得到频率,振幅,初相位,波长,,22
c1,5,14,zx,周期,传播方向,垂直方向于轴,可设为轴,,6,10mT,,2,10s,,
方向。
x,,,,2、 已知一平面电磁波的电场表过式 ExtAt,,,,,,cos,,,,yy,,c,,,,
写出与之相联系的磁场表达式
,Bz,,E,,解由麦克斯韦方程组 ,t
,E,E,ByyzE,E,0,0,,因为,,所以 xz,z,x,t
,,x,,,,,z即 At,,,,sin,,,,y,,tcc,,,,,
,,1x1,,t对积分得 ,,,,Bx,t,Acos,t,,,,Ex,t,,zyy,,ccc,,,,可见和相互垂直,又都垂直于传播方向。 BE
14x14.14Vm3、 平面电磁波在真空中沿方向传播,频率为4,10Hz,电场振幅为。若该
,EB45电磁波的振动平面与平面成,写出和的表达式 xy
z解由题意,电场沿方向和方向分量为 y
14.14,,,A,Acos45,,10Vm y2
,A,Acos45,10Vm z
E,0,x
,,所以电场分量分别为 ,,x,141,,,,EE10Vmcos2,1010st,,,,,,,yz8,,310ms,,,,,
E,CB,E,,CB由上题,,所以 yzzy
B,0, x
,,,,1x,,,714,1,,BB10Tcos2410st,,,,,,,, ,,,,zy8,,3310ms,,,,,,,
22,E1,E,,0,,4、 证明平面电磁波公式E,Acos,t,kx是波动微分方程的解。 222,xv,t,E,,证 ,,Aksin,t,kx,x
2,E2,,,,Akcos,t,kx 2,x
2,E,,,,A,sin,t,kx 2,x
2,E2,,,,A,cos,t,kx 2,t
2,,k由于 ,,v
,222,,E1,E,,,,,Acost,kx,所以 2222,,,x,t
22,E1,E,,0即 222,xv,t
得证。
,D2r,,,E,Acost,5、 如图所示,一个位于坐标系原点的光源发出球面波,振幅为,,,1,r,,
r式中为距原点的距离,为观察屏到原点的距离。另有一沿x轴传播的平面波,振幅D
,2x,,,EAcost,,为 ,,2,,,
x试求屏上光强分布,在屏上取垂直于轴方向为轴,观察范围y<
标准,它是一钢质长方体,它的两个端面经过磨平抛光,
GGGG达到相互平行。附图中,是同规号的两个块规,的长度是标准的,是要校准的。1212
GGGG校准方法如下:把和放在钢质平台面上,使面和面严密接触,,上面用一块透1212
明平板压住。如果和的高度(即长度)不等,微有差别,则在和,之间分别GGGGT1212形成尖劈形空气层,它们在单色光照射下各产生等厚干涉条纹。
;
(1)设入射光的波长是,G和G相隔(即图中的),和G,G,间干T5893A5cml1212涉条纹的间距都是,试求G和G的高度之差。怎样判断它们谁长谁短, 0.5mm21
(2)如果和G间干涉条纹的间距是,而和G间的是,则说明什么问TT0.5mm0.3mm12题,
T
,h
GG12
l
,解(1)如图所示,先由条纹间距算出空气层劈角,再由两块距离算出高度差 l
, ,h,l,l,2,x
,29.47,m
当然,在判断哪块高,就不是图上画的那么显而易见了,仅靠静态条纹的性质也是无法作出
判断的。为此,轻压盖板的中部,两处条纹疏密变化正好相反。条纹变密的一端块规长,T
条纹变疏的一端块规短。
GG(2)这说明上下两表面有不平行度,致使其上表面并不严格平行的上表面,造成两21边空气层劈角不等,劈角差(用以量度不平行度)为
,,11,,, ,,,,,,,,21,,2,x,x21,,
11,,,,, ,,0.30.52mmmm,,
,4 ,3.93,10rad,1.35'
21、如图所示为一种干涉膨胀计,为标准的石英环,为待测的柱形样品。由于它的膨GC
,胀系数与石英环的不同。当温度改变时,柱体的上表面与石英平板之间楔形空气层的C1
;厚度就会改变。殃已知样品与石英环的高度约为,当温度升高100C时,视场中的1cm
;干涉条纹移过20根,求样品的线膨胀系数。设光波长为,石英的线膨胀系数为5893A
,6;0.35,10/C。
,1
CGG
,2
解:按题意,说明样品上方空气层的厚度改变了
, ,h,,N2
式中为条纹移过的根数。空气层厚度的改变是由于标准石英环与样品的线膨胀系数不等N
引起的。设石英和样品的线膨胀系数分别为,,,,则线膨胀之差为 ,h12
,l,T,,l,T,,h 1020
N,,6;,a,,,,5.89,10/C故得 2l,T0
以上分析并未确认空气层的厚度是变厚了还是变薄了,因而并未确认线膨胀系数谁大谁小,这只能由条纹多动的趋向来确定。如果条纹移动方向朝交棱,说明空气层变厚,样品线膨胀小于石英环。总之,样品的线膨胀系数有两个可能的取值,即
,6;,6;a,a,,a,6.24,10/C 或 ,5.54,10/C21
22、将一个金属框放入肥皂液中浸一下,然后取出保持垂直于是形成一个楔形膜,用氩离子
,,,,514.53nm激光近似垂直照射,每厘米可观察到12个条纹,求顶角。肥皂液。 n,1.33
1,,解 , ,x,cm ,2n,x12
,4n代入,值得 ,,2.3,10rad,
;,,5893A23、将曲率半径的薄凸镜贴在平晶上,钠光垂直照明,在反射光中观察牛顿1m,,,,
,,n,1.461环。然后在球面和平晶间充满四氯化碳。求充液前后第5个暗环的半径比,充液后的第5个暗环半径是多少,
n解牛顿环装置中充以折射率为的液体,其第个暗环半径为 k
k,R,r kn
可见充液前后第5个暗环半径比为
,r5R5,,n,1.461,1.21 r',5Rn5
而充液后,第5个暗纹半径为
5,Rr',,1.42mm 5n
24、(1)两个平凸透镜的凸面紧贴(如图1),观察垂直照明下反射光的牛顿环,求第级k暗环的半径。设两凸面曲率半径分别为R和R,光波长为。 ,21
,,(2)若将曲率半径为R的平凸透镜放在曲率半径为RR,R的平凹 2211
透镜的凹面上(如图2),第级暗纹的半径是多少, k
R1rR2Rh11hhh2h1
h2
rR2
图1图2
h,h,h解(1)如图示, 12
22rr , h,h,212R2R21
,,11,,2,, 2,,h,,r,,,,22RR12,,
1,,,,,k,当时得第级暗纹,即 k,,2,,
,,,111,,2,, r,,,k,,,,,,RR22,,12,,
可得第级暗纹半径 k
,,RR1112,,,,,,,rkk k,,,RRRR1212,,
h,h,h(2)如图2。 12
,,RR1112,,,,,,,rkk分析如(1),有 k,,,RRRR1212,,
;,,,7000A,25、求可给出二级红光反射干涉纹的肥皂膜的厚度,膜的折射率为,设1.33,,,,
;平行光与法向成角入射。 30
解在局域的区内,膜可看作的平行平板。上下表面光程差为 n,1.33
, 2cos ,,nd,,2
二级干涉极大由相干相长条件
, ,,2ndcos,,,k,2
时决定。有 k,2
,3d, 4ncos,
;,,30其中为膜内折射角。由折射定律,当射角时,将上面的两个等式相减,有 ,,0
,,1,,d,i, 21cos', 1,,m,22,,
一般很小,近似可得 i'1m,2
, ',,i,rad1m,2d2
,9,,,,589,10m26、借用钠黄光的反射光,在水平方向上观察一垂直的肥皂膜,膜的顶
部非常之薄,以至对任何颜色的光看起来都是黑的,此外,共有五条亮条纹,第五条亮纹中
心位于膜的底部,肥皂膜底部的厚度为多少,水的折射率为。 1.33
,解在膜顶部,厚度约为零。膜的前后表面反射光相位差(因前表面反射有半波损失,而后
表面没有)所以干涉相消,为暗纹。
在膜底部,前后面反射光的相位差为
2nd ,,,,,2, ,
底部是第5条亮纹,即 ,,5,2,,10,
,9n,1.33,,,589,10m代入,得
d,1.0,m
;
27、为减少对光的反射,一透镜上镀了折射率为的薄膜,透镜玻璃的折射率,,5000A1.2为,见图。 1.4
(1)使反射光的强度减到最小时镀层的最小厚度是多少, (2)在上面的例子中反射光的强度很小但不是零,解释之。需要改变什么,改变多少,才
nn能使反射光强度降为零,(注:当光从折射率为的介度射入折射率为的介度,反射系12
2,,,,,,n,nn,n数为 2121
n,1.21n,1.00
n,1.4透镜2 解:单层膜的反射率为
2,,,,nn2220211,,,,n,n,,ncossin021,,2n2,1, R, 2,,,nn,2220211,,,,n,ncos,,nsin021,,2n21,,
其中
,,44, ,,ntcosint111111,,
t为膜的厚度。 1
,,,,(1) 当时,反射光强度最小,即。所以最小薄膜厚nt,1114
t,,4n,0.104,m,,3,,5,,.......。对于也同样有最小反射。 111
(2) 此时为 R
2nn,,022,n,,12,,nn,nn,,0211,,,,0.000198 2,,,,nnnn,n02021,,,n,,1n,,1
显然,只有时才能使反射光强度降为零,即 n,nn102
n,1.4,1.18 1
0.6,m28、在白光正入射下,从垂直于介质膜方向观察,相长干涉极大值波长为,相消干
0.45,m0.5~0.7,m涉极小值波长为,且在之间不出现极小值。已知介质折射率为,1.5
求膜厚。
,,解设相干极大波为,相干极小波长为,以下方程式成立(考虑到半波损失); 12
1,,2,nh,m,极大 ,,112,,
2nh,m,极小 22
21m,m12令二式相等。 ,,nh,,1242对于将,和,分别代入上式有 m,0,1,2,3,4,5,6,7,8,.......12
2,1m ,,0.15,0.45,0.75,1.05,1.35,1.65,1.95,2.25,2.55,2.85,3.15......14
m ,,0,0.225,0.45,0.675,0.90,1.125,1.35,1.575,1.8,2.025,2.25,...........22
可见当m,1;m,2时有 12
2,7,12 ,, nh,,0.6,,0.45,0.45,m42
另外,m,7;m,10时有 12
2,7,110,, nh,,0.6,,0.45,2.25,m42由第一个解,求出; h
0.45,, , h,,0.3,mnh,0.451.5
2.25,,由第二解有。但在0.5~0.7,m之间没有干涉极小,对于1.5,m,干h,,1.5,m1.5
涉相消发生在
2nh2,1.5,1.5,,,,m mm22m,7,8,9当0.64,0.560.50,mh,0.3,m时,分别为和与题意不符,所以只有一个解。 2
,,n,4329、波长为的光正入射到厚度为的肥皂膜上。在反射方向上观察,近500mmd似计算当大小不均匀时时,干涉极大和极小光强与入射光强之比。 d
RI0
IRI00
解肥皂膜表面的反射率为 R
24,,,1,,2,,n,n3,,0R,,,0.02 22,,n,n4,,0,1,,3,,
IRI当入射光强为时,对于低折射率板干涉可近似成强度为 00
的双光束干涉(如图),干涉光强
,,I,2RI1,cos, (为两光束的相位差) ,0
II,4R,0.08,II,0所以 max0min0
130、有一个厚直径为的玻璃窗口,制造者声称它的每一面的平整度在个汞绿5mm2cm4
,6,,,,1rad,s,4.85,10rad线波长以内,而两面的平行度在5秒以内。你怎,,546nm
样测量这些性质以证实制造者的这番说明,可假设玻璃折射率。 n,1.50
解;使用高级球面或平面样板与被检元件造成等厚干涉的办法加以检验。 对于每一面的平整度,用牛顿环实验(如图)
dn
用光照射。在暗纹处为 ,,546nm
2,,,221,, ,d,,n,n22,
,,n其中为整数。相邻暗环对应的空气隙厚度相当于相差。 d,nn44
所以只要暗环的畸变小于相邻暗环的间隔,那么平整度就如制造者所说的那样。
对于两面之间的平行度,可将其当作薄楔形板干涉分析。干涉条纹间隔越大,平行度越
,6,5好,仍用光照射。对于楔角,相邻,,5,4.85,10rad,2.425,10rad,,546nm
,7,n546,101.500,,,,1.50cm条纹的间距是。所以只要条纹间距不小于,则1.50cm,5,2.425,10
平行度就如制造者所说的那样。
31、测得牛顿圈从中间数第五环和第十五环的半径分别为和,求透镜的曲0.70mm1.7mm
0.63,m率半径。设光波长为。
解考虑到牛顿环的中心点不一定密接,可靠的测量方法应当如本题所述,这时干涉环的半径与透镜曲率半径的关系应当修改为
22r,rk,mkR, m,
m重要的是两圈干涉环的相隔几条数,而不是绝对级别数。取kr,1.7mm,r,0.70mm,m,15,5,10,,,0.63,m,算得透镜的曲率半径为 k,mk
R,381mm
32、在玻璃表面上涂一层折射率为的透明薄膜,设玻璃的折射率为。 1.301.5
;
(1)对于波长为的入射光来说,膜厚应为多少才能使反射光干涉相消,这时光强反5500A
射率为多少,与不加膜时相比,光强反射率降了多少,
;;(2)对波长为的紫光和的红光来说(1)问所得的厚度在两束反射相干光之4000A7000A间产生多大的相位差,(不考虑色散)
A1AA02
n1An2hBn3
n,n,n解(1)如图,因这时膜层为低膜,即,反射两光束这间无半波损,有效光123程差等于表观光程差。为达反射光干涉相消,应使光程差为
,221,,,,k,0,1,2,........ ,L,nh,k,22若取,则膜厚 k,0
;,5500,,h1058A,,, ,,4n4,1.30,,2
此时反射光振幅(双光束干射近似)为
A,A,A 12
AA式中为膜上表面反射光振幅,为膜与玻璃介面反射并透出膜的上表面的光振幅: 21
n,n1.3,1.021A,rA,A,A,13%A 1A0000n,n1.3,1.021
2,,A,Atrt',r1,rA 20ABABA0
n,n232,,,1,rA A0n,n32
1.5,1.32,, ,1,0.13A,0.07,0.98A 001.5,1.3
,0.37%A 0
所以膜层反射光强
222,,,, I,A,A,r,r,,1,rI 12ABA0
IR',,0.37%反射率 I0
此时接近完全消反射,若无薄膜,空气玻璃单界反射率为
2,,n,n31,, R,,4%,,n,n31,,
由于自然光正入射时光强总反射率
R,R,R PS
所以上面求得的即为总的光强反射率。可见有了薄膜以后,反射率下降了
,R,R,R',3.6%
;
,(2)只对原来考虑的特定波长满足反射相消(反射两光束相位差),对别的波长5500A
;
就不是这样了。例如对的紫光,反射两光束的相位差,,4000A1
,,,,,,2225500,,2nh,,2n,,,,,,,,1.375, 1224n24000,,,,11211
;
对,,7000A的红光,反射两光束的相位差 2
,5500,,,,,,,,0.7857,rad 27000,2
;33、肥皂膜的反射光呈现绿色。这时膜的法线和视线的夹角约为,试估算膜的最小厚度。35
;
设肥皂水的折射率为,绿光波长为。 5000A1.33
2'1
01'352
inh
解:考虑到目前存在半波损,出现亮场的表观光程应满足(参见附图)
,,,,, 2nhcosi,2k,1k,0,1,2,...... 2
;令,并由折射定律,sin35,nsini,得肥皂膜的最小厚度为 k,0
,,,h,,, 0222;4ncosi4n1,sini4n,sin35
;5000,, 1042A,,,,22;,,,41.33sin35
34、利用多光束干涉可以制成一种干涉滤光片。如附图,在很平的玻璃片上镀一层银,在银
,,3NaF,AlF面上加一层透明膜,例如水晶石,其上再镀一层银。于是两个银面之间形成3
一个膜层,产生多光束干涉。设银面的反射率,透明膜的折射率为,膜厚R,0.961.55
,5,平行光正入射。问 h,4,10cm
(1)在可见光范围内,透射最强的谱线有几条,它们的光波长为多少, (2)每条谱线的宽度为多少,
h
解(1)先算纵模频率间隔
c14 ,v,,2.4,10Hz2nh
再算可见光频段内包含的纵模个数(即透射最强的谱线条数)
143.5,10,N,,1.5 (条) 142.4,10
;
,,4000A鉴于目前谱线为数很少,不妨算出谱线波长的具体数值。为此,令,算出m
2nhk,,3.1 M,m
;
令,,7600A,算出 M
nh2k,,1.6 m,M
因此在可见光范围内,只能在之间取可能的整数值 1.6~3.1
或3 k,2
相应的最强谱线波长为
;2nh ,,,6200A 2
;2nh ,',,4133A 3
;,,1R62000.04,,,,,,,40.3A(2) 条谱线的宽度分别为 ,,,,k2,,R0.96
;41330.04,,,,',,17.9A ,,,3,,0.96
;
35、用钠光观察迈克耳孙干涉条纹,先看到干涉场中有12个亮环,且中心是亮的,5893A
移动平面后,看中心(吐)了10环,而此时干涉场中还剩有5个亮环。试求 M1
(1)移动的距离; M1
(2)开始时中心亮斑的干涉级;
(3)M移动后,从中心向外数第5个亮环的干涉级。 1
解本题的意义在于通过条纹的移动,由条纹相对级别的变化来确定条纹的绝对级别。 (1) 首先定性分析一下,等效空气膜的厚度是增加了还是减少了,在相同视场(角范围)
之内,条纹数目变小,条纹变稀,说明膜厚变薄,条纹向里吞了10环,因而位移绝
对值为
, ,h,N,2.947,m2
(2) 中心级别的绝对数取决于膜层厚度,而以及视场角范围开始时都是未知k,hkh,
的。为此,考虑镜面移动前有
(1) 2h,k,
,,2hcos,,k,12, (2)
镜面移动后有
,,,,2h,,h,k,10, (3)
,,,,2h,,hcos,,k,15, (4)
由式(1)和式(2),式(3)和式(4),分别得
,,k,cos,,k,12,
,,,,k,10,cos,,k,15,
k,10k,15,以上两式相比,消去,得方程 cos,kk,12
解出 k,17
(3) 显然,移动后中心亮环级别为7,向外数第5个亮环的干涉级别为2。
;
36、钠光灯发射的黄线包含两条相近的谱线,平均波长为。在钠光下调节迈克耳孙5893A
干涉仪,人们发现干涉场的反衬度随镜面移动现时周期性地变化。实测的结果由条纹最清晰到最模糊,视场中吞(吐)490圈条纹,求钠双线的两个波长。
解双谱线产生的两套条纹不相干叠加结果,将使干涉场的反衬度随光程差的增加而呈现周期
,,,,L性的变化,从最清晰到最模糊(或从最模糊到最清晰)的光程差改变量以及条纹的吞(吐)数满足 ,N
2, ,,,,L,,,N,2,,
由此求得双线间隔为
;,5893,,6.0A,,,, ,,,2,N2,490,,
波长分别为
;,, ,,,5890.0A,,12
;,, ,,,5896.0A,,22
,,37、红宝石激光,,693.2nm在两个纵模下工作,它们相差。激光照明一个物体0.1nm并用底片记录下物体的反射光。经显影、定影处理后,底片上呈现条纹。问这些条纹有什么
意义,条纹间距是多少,
解设两个激光纵横的波数分别为k和k。物体上某点到底片的等距离为,若 l12
,,k,kl,2m, 12
m为整数,物体上那一点反射光到底片上这一点相长干涉。如果
,,,,k,kl,2m,1, 12
则相消干涉。如此形成条纹。它们反映出物体到底片的等距离线,或称等高线。
2,,2mmm l,,,,,,,k,k1,,1,,,1212
2,dl, dm,,
dldldm底片上等高线间距为,,693.2nm,,,,0.1nm。代入得,5mm。 dm38、用激光透明迈克耳孙干涉仪。在望远镜视场中内有20个亮环,中心为亮斑,He,Ne
M然后移动,这时环向中心收拢,并在中心消失了20个环,视场中只剩下10个亮环,求 1
M(1)移动前中心亮斑的干涉级次(设分束板没有镀膜); 1
M(2)移动后第5个亮环的角半径。 1
kM解(1)设移动前中心干涉级次为,虚膜厚为,这时中心及边缘处程差关系分别为 h01
2h,k, (1) 0
,,2hcosi',k,20, (2) 0
,,,,k',k,20h',h,,h称动后,膜厚为,在中心处消失了20环,此时中心级次为。,h00
这时中心及边缘处程差关系分别为
,,,,2h,,h,k,20,(3) 0
,,,,2h,,hcosi',,,k,20,10,(4) 0
联立4式得
k,40,h,10,,,h,10, 0
。(2)设中心外第5级亮环的倾角为,则有 i'
,,,,2h,,hcosi',,,k,20,5, 0
k,h,,h代入,得 i',0.7rad0
39、在迈克耳孙干涉仪的一臂放入一长度的透明容器,器壁与光束垂直。若缓l,5.00cm
;缓把空气抽空,将看到竺倾条纹在中心陷入个。波长为,求空气折射率。 5890A49.5
解在干涉中心处,两臂光路程差关系为
,,k,
将空气抽空,使程差改变(注意光往返通过容器),条纹变化,则 ,,,,k,,,k
,,,,k,,
k,,,解得 n,1,,1.0002912l
;;340、迈克耳孙干涉仪进行精密测长,光源为的氦氖激光,其谱线宽度为,整6328A10A
110机接收(光电转换)灵敏度可达个条纹,求这台仪器测长精度为多少,一次测长是量
程为多少,
,N,110解干涉精密测长精度由接收灵敏度(可达一个条纹的分数)所决定。按题意,,N算出
;,1 ,l,,N,,,316.4A220
,0.032,m
此精度比螺旋测微器(千分尺)还高两个量级。
lll 一次测长量程由相干长度所决定,而相干长度可由谱线宽度算出; ,,00M
2,11l,l,,2m M0,22,
,41、迈克耳孙干涉仪中的一臂(反射镜)以速度匀速推移,用透镜接收干涉条纹,将它会
聚到光电元件上转换为电讯号。
v(1)若测得电讯号时间频率为,求入射光的波长; ,
0.6,m(2)若入射光波长在左右,要使电讯号频率控制在,反射镜平移的速度应为50Hz
多少,
(3) 按以上速度移动反射镜,钠黄光产生电讯号的拍频为多少,(钠黄光双线波长为
;;
和。) 5890A5896A
,解(1)根据 ,h,,N2将上式两边除以时间间隔,即 ,t
,h,N, ,,t,t2
,得 ,v,2
2,故 ,,v
(2) 根据以上关系,可按
1 ,,v,2
估算动镜速度。若,,0.6,m,v,50Hz,则
,,15,ms
若,,40,m,v,100Hz,则
,,2mms
快速扫描型傅里叶变换光谱仪的动镜速度属于这一量级。
,,,(3) 设钠黄光双线波长为,则干涉仪中产生电讯号的时间频率分别为 12
,,22v,,v, 12,,12
合成结果,产生电讯号的拍频为
,,,11,,,,, 22,v,v,v,,,122,,,,,12,,
;;
,,15,ms若取,平均波长,算出拍频数值为 ,,5893A,,,6A
2,,v,5.2,10Hz,v,v 1242、法布里—珀罗干涉仪投射光强为
I0 I, T24Rsin,/21,2,,1,R
I式中为单色入射光强度,为相邻两条透射光线之间的相位差,R为反射面的反射率。,0
若光线入射角为,反射面间距为t,则 ,
,2,,,,2tcos, ,,,,,
试求在接近正入射情况下,法布里—珀罗干涉仪的色分辨率(提示:应用瑞利判据)
I合成强度T
,,,,'12
解:波长和的两相邻光线间相差分别为 (,,,,),
,,22,,,,,,2tcos,,,,2tcos, ,,,,1122,,,,,,,,,
设波长和(,,,,)的光强相等,当透射光强都达到极大值时,两光强曲线的半强度,
角位置重合时,瑞利判据认为它们是刚可以分辨的,如图。按透射光强公式,当透射光强为
最大光强的一半时有
24Rsin'/2, 1,2,,1,R
对于明锐的干涉条纹有,'/2,0,,,2,,..........所以正弦值可用其幅角代替:
1,R,',
R
,,,,2,'由图知,即 12
2,,1,R,,,, 12R
cos,,cos,,1对于接近正入射情况,,有 12
,,,,4t,21,R, ,,R或
,,,1,R, ,,2tR
,,,,AA43、有两个波长和,在6000附近相差0.001,要用法布里—珀罗干涉仪把它们分12
辨开来,间隔h需要多大,设反射率R=0.95。
解:k值属于多光束长程干涉仪,有很高的色分辨本领,在光波长为的k级可分辨的,最小波长间隔为,它们满足以下关系(色分辨本领公式) ,,
,R,,k 1,R,,
其中k值很高,中心k值决定于
2nh,k,
按题意,合并以上两式得
2,,k11,Rh,, 2n2n,,,R
,7n,1,R,0.95,,,0.6,m,,,,10,m取,算出
h,2.94cm
这是题目给出的分辨要求下的腔长下限值。
,44、如果法布里—珀罗干涉仪两反射面之间的距离为1.00cm,用绿光(5000A)作实验,
干涉图样的中心正好是一亮斑。求第10个亮环的角直径。
解:在法布里—珀罗干涉仪中,极强(亮纹)所满足的角方位条件为
2nhcos,,k, k
中心亮斑的级别由下式决定:
2nh,k, 0
,所以第10亮环的角半径满足 k
k10,,,,,0cos110,,, ,k2nh2nhn,1,h,1.00cm,,,0.5,m取,算得
0cos,,0.9998,,,19' kk
角直径为
02,,218' k
0.6,m45、设法布里—珀罗腔长为5cm,用扩展光源实验,波长。
(1)求中心干涉级次;
01 (2)求光线倾角为附近时干涉环的角半径,设反射率R=0.98;
(3)求该法布里—珀罗腔对白光选频,透射最强的谱线有几条,每条谱线宽度多少,
,510 (5)若热制冷索致腔长变化为(相对值),谱线飘移量为多少,
解 (1)中心级次
2,5znk5 ,,,1.7,10k0,5,6,10(2) 第k级亮纹环半角宽为
,R1,, ,,,k,nh,2sinRk
0,6,,1,,,2.2,10rad,0.45''当时,有 kk
(3) 色分辨本领
,R7,,k,2.6,10 01,R,,
可分辨最小波长间隔为
,,4, ,,2.3,10A,,72.6,10(4) 法布里—珀罗干涉仪作为一个无源谐振腔具有选频作用,所选纵模(频率)间隔
为
c9 ,v,,3,10Hz2nh
14,,,,4.0~7.5,10Hz白光谱范围为4000A到7600A,相应光谱频率范围。在此范围内包
含的纵模数(最强的谱线数)为
v,v5maxmin,N,,1.2,10 ,v
每条谱线宽度为
c1,R1,R,,,,vv 2nh,RR,
,37,6.4,10,v,1.9,10Hz
,,0.55,m换算成附近的波长间隔为
2,,4,,,,,v,1.9,10A c
cch,9,54,v,(5) 由有(,v),,3,10,10,3,10(Hz)折算成,2nh2nhh
,,0.55,m,(,v)附近波长的漂移量为
2,,7,,,,(,),,,v,3,10A c
46、白光正面照耀下并从垂直方向在空气中观察折射率n=1.5的介质薄膜。相长干涉极大
波长为,相消干涉时波长为,且在之间不出现极小值。求0.60,m0.45,m0.5~0.7,m
薄膜厚度。
解:设干涉相长时波长为,,相消干涉时为,,考虑到相位突变则有 12
1,,2,nh,m, (极大) ,,112,,
2nh,m, (极小) 22
令两式相等
21m,m12 ,,nh,,1242对于m=0,1,2,3,……,将,和,代入 12
2,1m、0.45、0.75、1.05、1.35、1.65、1.95、2.25、2.55、2.85、3.15……. ,,0.1514
m、0.225、0.45、0.675、0.90、1.125、1.35、1.575、1.8、2.025、2.25…… ,,022
可见当m=1、m=2时, 12
2,1,12 nh,,0.6,,0.45,0.45(,m)42
同理,当m=7、m=10时 12
2,7,110 nh,,0.6,,0.45,2.25(,m)42由此可以得到两个解;
h,0.3,m 由nh=0.45有。
h,1.5,m 由nh=2.25有。