二重三角级数和函数的范数研究

二重三角级数和函数的范数研究 () 2002 ,15 4:134,139 Ξ 二重三角级数和函数的范数研究 1 2 3 马 俊,何南忠, H. A. 柯尔波夫(1 . 武汉科技学院数理系 ,武汉 430073 ;2 . 华中科技大学数学系 , 武汉 430074 ;3 . 俄罗斯伊万 )偌夫纺织大学 ,俄罗斯 153000 ? ? 摘要 :对形如 aco s mxco s ny 等二重三角级数的和函数进行了研究 , 并证明了 m n66 n = 0 m = 0 1/ pp / pππ 2 12p 1 ( )x , y | f| d x ( ) 其范数 ‖f x , y‖= d y < ?所满足的几个不 p ? ??π π -- 等式. 关键词 :三角级数 ;收敛 ;范数 ;函数 中图分类号 :O174 . 41 AMS( 2000) 主题分类 :42A20 () 文献标识码 :A 文章编号 :100129847 20020420134206 关于多重三角级数目前国内少有研究. 文献1 研究了具有单调系数的正弦和余弦级数的 和函数的某些性质. 在此基础上 ,本文讨论具有下列形式的二重三角级数 : ? ? ?? ( ) ( )aco s mxco s ny ; Iaco s mx sin ny ; II m nmn6 6 66 n = 0 m = 0 n = 1 m = 0 ? ? ?? ) ( ( )asin mxco s ny ; IIIasin mx sin ny , IV m n m n 6 6 66 n = 0 m = 1 n = 1 m = 1 和函数的范数的某些性质. 其中系数满足条件 :固定 n , 当 m ? ?时 , a?0 ; 固定 m , 当 n ?m n 1?时 , a?0. 为方便起见 , 这里假设 co s0 x = co s0 y = .mn 2 kk 1 21 i i j j ( ) ( ) ( ) Δa= - 1c 对于整数 k?0 及 k?0 , 记- 1ca, 假设 B x=m n k1 2 k kkm + i , n + j 0 6621 21 i = 0j = 0 n 1 1k k - 11 ( ) ( ) ( ) , 及 B x=+ co s x + co s2 x + + co s nx , n ?1 ; B x= B x, k = 2 , 3 , 及 v n n 6 2 2 v = 0 n 1 k k - 1 ( ) ( ) ( ) n ?0 ; Bx= sin x + sin2 x + + sin nx , n ?1 ; Bx= Bx, k = 2 , 3 , 及 n ????n n v 6 v = 1 1. 考虑如下形式的级数 :? ? ? ? ( ) ( ) ( )Δ( ) ( ) ( ) ΔaB xB? y; II′ aB xB yI′; m nm n kkmnm n k k6 6 66 1 2 n = 0 m = 0 kkkk 1 21 21 2n = 1 m = 0 ? ? ? ? kkkk 1 21 2Δ( ) ( ) ( ) Δ( ) ( ) ( )aB?xB yIII′aB?xB? y ; , IV′kkm nm n k kmnm n 6 6 66 1 21 2 n = 0 m = 1 n = 1 m = 1 假设数项级数 ? ? () c. 1μv 6 6 v = 0 μ= 0 n m ε 的部分和为 S = c. 如果存在数 S , 对于 Π> 0 , 能找到正数 k , l , 使当 n > k , m >μv mn 66 v = 0 μ= 0 ε() , 总有 | S - S | < 成立 , 则称级数 1收敛 , 其和为 S .l 时 m n [ 3 ] 时 , 有 ?0 Δa引理 1若数列{ a} 满足上述条件 , 当 m , n , k和 k为自然数 ,mn1 2 k kmn 1 2 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i级数 I- IV收敛 , 即存在相应的和函数 f x , y, f x , y, f x , y及 f x , y.1 2 3 4 ) ( () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ii级数 I′- IV′也收敛 ,且其相应的和函数也是 f x , y, f x , y, f x , y及 f x , 1 2 3 4 ) y. λαα 引理 2 假设数列{ d} 单调减少 , 且当 n ? ?时 , d? d ?0 ; 数,和 p 满足> 1 , pnn ? ? n pα λ - α- () λ ( ) ?0 , ?,? - ?, ?, 那么 ? C ( ) ( ) ( ) ( d v + 1 n + 1 [ dn + n + 1 n v 666n = 0n = 0 v = 0 λ+1 p ) 1] , 其中常数 C 与数列{ d } 无关. n ? ? pp () 证 当 p ?0 , 1时 , 利用数列{ d} 的单调性及不等式 d? d, 有nnn 6 6n = 0n = 0 m +1 ? n ? 2 - 1 n p pα λα λ- p - ( ) ( ) ( ) ) ( n + 1d v + 1= d+ n + 1d v + 1 0 v v 6 666 6mm = 0 n = 0 v = 0 = 0 v n = 2 μ+1 ? m 2 - 1 pα)(m 1 - λ p 2 (d ) ?d+ Cv + 10 1 v 6 66μ = 0 μm = 0 v = 2 ? ? m m p α)(m 1 - μ(λ) α)μλ)((+1pp m 1 - pp +1μμ2 d 2? d?d+ C2 + Cd2220 2 0 2 666 6 m = 0m = 0μ= 0μ= 0 ? ? ? μ(λ) (α) μ(λ) αp pp +1m 1 - pp[ p +1+1 - ]μμ+ C= d+ C d22 ? dd20 2 20 3 26 6 6 μ= μ μm = 0 = 0 μ ? 2 - 1 ? (λ) αλ) α+1- p p +1- (λ)d + 1 . v 0 v 5 6μ- 1= μ v = 0 1 v = 2 当 p ?1 时 , 其证明见文献[ 3 . 证毕. 1 [ 1 ] 引理 3设 a ? , 则存在与 A 无关的正常数 C , 使得4 2 π 2 asinxd x ? C. ?x aπ ( λ引理 4 假设数列{ d} 单调减少 , 且当 n ? ?时 , d? d ?0 ; 数和 p 满足 p ?0 , 1 , nn λ ( ) ?- ?, ?, 那么 v v pλλp p - 1 - 1 d,d nn ? C n n 66 n = 1n = 1 λ其中常数 C 仅与和 p 有关.N N +1 证 假设 2 ? v < 2 , 利用{ d} 单调性 , 有 n N +1 N μ+1 v 2 2 n 2 - 1 λλλλ- 1- 1- 1- 1(λ) (λ) dnA = ? dn ? C = C dn dn n n n n 1 2 6 666 6μ μ= 1 n = 1= 1n = 1n n = 2 μ+1 N N 2 - 1 μλλ- 1μ μ n(λ) d2 , ? C2 2 66 μμμ= 0 = 0 n = 2 ? ? pp( ) a 因此当 0 < p ?1 时 , 有不等式 a? a ?0,kkk 6 6 k = 0k = 0 Nμ 2 N N 2 λμλ p p - 1 pp p p nd. 2 2 4 3 1 n n 6μμ= 0 μ- 1 n = 1= 1 2 n = +12 ππ( ) ( ) 假设 f x , y?L[ - ,], p = { p?, p} , 0 < p< ?, i = 1 , 2 , 且 f x , y对每一个变p ?1 2i 2 π( ) ππ量都是以 2为周期的函数 , f x , y在[ - ,]上可测 , 定义范数 1/ pπ π p / p 2 12p 1 ) ( ( ) | f x , y| d x ‖f x , y‖= d y < ?. p ? ??ππ - - Δ 定理 设数列{ a} 满足前述条件 , 且对任意非负整数 m , n 和正整数 k, k有a?m n mn1 2 k k1 2 () 0 , 那末当 p?0 , ?, 存在以下不等式i () a若 k= 2 , k= 2 , 则1 2 ? ? 1/ pp / p 2 p - 2 2 p - 2 p 2 12 2 1 1 ( ) ( ) (Δ) ( ) An + 1m + 1a? ‖f x , y‖ 1 11 mn1 ?p 66 m = 0 n = 0 ? ? p / p1/ p 2 p - 2 2 p - 2 p 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) (Δ) ?An + 1m + 1a. 2 11 mn66n = 0 m = 0 ( ) b若 k= 2 , k= 1 , 则 1 2 ? ? p / p1/ p p - 2 2 p - 2 p 2 12 2 1 1 ( ) ( ) (Δ) ( ) An + 1m + 1a? ‖f x , y‖ 3 10 m n2 ?p 66 n = 1 m = 0 ? ? p / p1/ p p - 2 2 p - 2 p 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) (Δ) ?An + 1m + 1a. 4 10 m n66m = 0 n = 1 () c若 k= 1 , k= 2 , 则1 2 ? ? p / p1/ p 2 p - 2 p - 2 p 2 12 2 1 1 ( ) ( ) (Δ) ( ) An + 1m + 1a? ‖f x , y‖ 5 01 m n3 ?p66m = 1 n = 0 ? ? 1/ pp / p 2 p - 2 p - 2 p 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) (Δ) ?An + 1m + 1a. 6 01 m n66n = 0 m = 1 ( ) d若 k= 1 , k= 1 , 则1 2 ? ? p / p1/ p p - 2 p - 2 p 2 12 2 1 1 ( ) ( ) ( ) An + 1m + 1a? ‖fx , y‖ 7 4 p? mn 66 n = 1 m = 1 ? ? 1/ pp / p p - 2 p - 2 p 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ?An + 1m + 1a, 8 mn66n = 1 m = 1 ( ) 这里 A i = 1 , 2 , , 8为正常数且与数列{ a} 无关.i mn? ? ll 1 2( ) Δ( ) ( ) ( )证 设 F x , y= aB xB y, 2`` llm nm n 66 1 2 n = 0 m = 0 这里应用下列记号 : l2 l2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 在情形 a: F x , y= f x , y, Bx= B x, By= B y;``1 m m n n l2 l1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 在情形 b: F x , y= f x , y, B`x= B x, B`y= B?y,2 m m n n ΔΔ a= a= 0 , m = 0 , 1 , 2 , ;21 m0 01 m0 l1 l2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ?xB`y= B yB在情形 c: F x , y= f x , y, Bx=, ,`3 m m n n ΔΔ a= a= 0 , n = 0 , 1 , 2 , ;12 0 n 01 0 n l1 l1 1 2 ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) B?xBy= B?y`在情形 d: F x , y= f x , y, B`x=, ,4 m m n n ΔΔ a= a= 0 , m = 0 , 1 , 2 , ;a= a= 0 , n = 0 , 1 , 2 , .11 m0 m0 11 0 n 0 n p2 p + p π π p 211 pp1 2( ) p | F x , y( ) () d x d y . 应用式 2, 得现在考虑 J = ‖F x , y‖= 2 p?1 ??00 π π p μv +1+1 2 ? ?? ? p1 Δ( ) ( ) aB xB y``d y . J = d xllm nm n 66 6 6 1 2 ??= 0 m = 0 n μpv = 0 = 0 ll ππ 1 2 μv +2 +2 p p p p( ( ) ) 利用不等式 a + b?2 | a | +| b | , 有 ) ( ) ( 其中 J ? C pJ + J + J + J ,1 2 3 4 π π p μv +1+1 μ2 v ? ? p1 1 Δ( ) ( )aB` xB` yx d y , d J = llmnm n 1 66 6 6 1 2 ??n = 0 m = 0 pv = 0 μ= 0 ll ππ 1 2 μv +2 +2 π π p μ+1 v +1 ? ?2 ? ? p1 1 Δ( ) ( )aB` xB` yd x d y . J = llmnm n 2 66 6 6 1 2 ??n = v +1 m = 0 pv = 0 μ= 0 ll ππ 1 2 μv +2 +2 π π p μ+1 v +1 v ?2 ? ? p1 1 Δ( ) ( )aB` xB` yx d y , d J = llmnm n 3 66 6 6 1 2 ??μn = 0 m =+1 pv = 0 μ= 0 ll ππ 1 2 μv +2 +2 ππ p μ+1 v +1 ? ?2 ? ? p1 1 ( ) ( )ΔaB xB y``d x d y , J = llmnm n 4 66 6 6 1 2 ??μv +1 m = +1 n = pv = 0 μ = 0 ll ππ 1 2 μv +2 +2 llll1 1 2 2 ( ) ) ( ) ( ) ( 对于级数的有限和 ,利用不等式 : Bx?C m + 1, By?C n + 1, 对于级数的无穷``m n llll1 1 2 2 ( ) ( ) 和 , 利用不等式 : Bx?C/ x, By?C/ y, l= 1 , 2. 这里 C 为正的常数 , 且与 m , n , x 及``m n i y 无关. 由此可得 μ? v ? p p / pll12 1 - 2 - 2 1 2 ( )( ) Δam + 1 n + 1 ( ) (μ ) . J = Cv + 1+ 1m n ll1 1 66 661 20 m = 0 n = v = 0 μ= 0 ?0a , 因而 m n ΔΔΔ由于Δa= a- a及l lmn l - 1 , lm n l - 1 , lm +1 , n l - 1 , l1 2 1 2 1 2 1 2 ? ? μ v p p / p- 2 - 2 ( ) ( )J = Cv + 1Δ( )n + 1 am + 1(μ ) + 11 2 l - 1 , l - 1 mn , 666 61 21 2 1 = 0 m = 0 n v = 0 μ= 0 - 1 - 1 ll1 2 ? v ? pl- 1 3- 2 l- 11 2 1 ( ) (μ )( )Δ( ) v= + 1 bm + 1 , 利用. 考察 J 记 b= an + 1m 1 m l- 1 , l- 1 m n 66 61 2 μ= 0 n = 0m = 0 引理 2 ,得? 3 - 2lp 1 1J ( ) (μ )(μ ) v= C+ 1[ b+ 1] μ 1 3 6 μ= 0 ? v pl- 1 l1- 2 2 1 Δ(μ )( )(μ ) a+ 1n + 1= C+ 1μl - 1 , l - 1 n 3 6 6 1 2 μ= 0 n = 0 ? v p l- 1 lp - 2 1 2 1 1 Δ( )= C(μ ) an + 1+ 1μ,3 l - 1 , l - 1n 661 2 μn = 0 = 0 利用以上关系 ,得 ? ? v p p / pl- 1 1 2 1- 2 lp - 2 2 1 1 Δ() ( ) (μ ) an + 1J ? Cv + 1+ 1μl - 1 , l - 1 n 1 4 6661 2 μn = 0 v = 0 = 0 v? ? p p / pl- 2 l- 11 2 1- 2 1 2 Δ( )(μ )( ) an + 1+ 1= Cv + 1μl - 1 , l - 1 n 4 6 661 2 μn = 0 v = 0 = 0 ? - 2 3 p / p 2 1()( ) ( ) = Cv + 1[ J v] . 4 4 2 6v = 0 当 p?1 时 , 利用 Minkowski 不等式 ,得1 ? v 1/ p p l- 1p l p - 2 1 2 3 (Δ( )2 11 1 an + 1)μ)(μ l - 1 , l - 1 n + 1 ( ) , J v? C 62 5 1 26μ n = 0 = 0 因此 , ?? v 1/ p p p - 2l l- 11 2 - 2 p 1 1 1 2 (Δ( ))(μ )( ) an + 1+ 1,J ? Cv + 1μl - 1 , l - 1 n 1 6 6 661 2 μ = 0 v = 0 n = 0 ? 1/ p p l p - 2l- 11 1 12 1 (μ)Δ( )] + 1 [an + 1 , 得记 C= μl- 1 , l- 1 n n 6 1 2 μ= 0 ? v p- 2 2 ( ) J ? Cv + 1c.1 7 n 66 v = 0n = 0 利用引理 2 ,得 ? - 2 p 2 ( ) ) ( v + 1[ v + 1c] J ? C1 8 v 6 v = 0 ? ? 1/ p p p - 2- 2 p l l- 11 2 1 1 12 (Δ( )( ) ( ) )(μ )= Cv + 1v + 1+ 1av + 1μ8 l - 1 , l - 1 v 661 2 μ= 0 v = 0 ? ? p / p2 1 lp - 2 1 1 12 .( ) = Cv + 1l - 1 , l - 1 v 8 66= 0 p l p - 2 v 2 ) (μ ) (Δ a+ 1μ 2 1μ = 0 当 0 < p< 1 时 , 应用引理 4 ,得1 v v p l- 1 1 lp - 1 p 2 1 1 2 Δ( )(Δ)an + 1( ).μn + 1? Cal- 1 , l- 1 n μl - 1 , l - 1 n9 6 61 2 1 2n = 0 n = 0 () 将以上不等式代入不等式 4,得v ? ? p / ppl p - 1 lp - 2 2 1- 2 1 1 2 1 1 ( )(μ )(Δ) ( ) + 1an + 1J ? Cv + 1μl - 1 , l - 1 n1 10 6661 2μ = 0 n = 0 v = 0 ? ? v p / p pl p - 2lp - 2 2 1 - 2 1 1 1 1 2 ( )) (Δ(μ )( ) a+ 1n + 1.? Cv + 1μl - 1 , l - 1 n11 6661 2μ n = 0 = 0 v = 0 ?lp - 2 1 1 (μ ) (Δ) 记 d= + 1a, 利用引理 2 ,得μn l - 1 , l - 1 n61 2 μ = 0 ? ? p / p2 1 lp - 2 112 ( ) + 1 a,μJ ? Cv + 1l - 1 , l - 1 v 1 12 66v = 0 lp - 2 p 2 (μ 1 ) (Δ ) 1 2 μ= 0 其中常数 C为正且与数列{ a} 无关. 类似可得12 m nμ ? ? ? p p / p 2 llp - 2 - 2 1 2 11 2 ( Δa) ( ) (μ ) m + 1 J ? Cv + 1+ 1m n l l2 13 66 661 2m = 0 n = v +1 v = 0 μ= 0 μ? ? p p / pl- 1 12 1 lp - 2 - 2 1 2 2 Δ( ) ( ) (μ ) am + 1.? Cv + 1+ 1l - 1 , l - 1 m , v +114 6661 2 = 0 μm v = 0 = 0 再利用引理 2 ,得 ? ? p / p2 1 lp - 2 112 a+ 1 .( ) μJ ? Cv + 1l - 1 , l - 1 , v +1 2 15 66v = 0 lp - 2 p 2 (μ 1 ) (Δ ) 1 2 μ= 0 J 有关的不等式 , 其形式与上面的不等式完全相同. 因此 , 有用类似的方法可导出 J 和 3 4 ?? p / p2 1 lp - 2 112 m + 1 ,( ) J ? C n + 1l - 1 , l - 1 mn 66pn = 0 lp - 2 2 ( 1 ) a ) (Δ2 1 m = 0 其中常数 C 为正且与数列{ a} 无关.m n 将上面的 l与 l用数 1 或 2 代替 , 即可得定理中的不等式.1 2 参考文献 : 1 Byколова T M , Лъяченко M И. O свойствах сумм тригонометрических рядов с монотоннъыми коэффициентамиJ . Вестн. Моск. ун- та. Cep . матем. 1994 ,3 :22,31. 2 Moricz F. On double cosine , sine and Walsh series with monotone coefficientsJ . Proc . Amer. Math. Soc . , 1990 , 109 :417,425. 3 ДъяченкоM И. O сходимостидвойныхтригонометрическихрядовФyp ъесмонотоннымикоэффициентами 72. J . M атем. Сб. 1986г. No . 1. C. 55, The Research f or Dual Trigonometric Series 1 2 MA J un, HE N anzhong, Korobov H. A . ( 1 . Dept . of physics and Math . , Wuhan institute of science and technology , China 430073 ; 2 . Dept . of Math . , Huazhong University of Science and Technology , China 430074 ; 3 . Ivanovo state textile Uni2 )versity , Russia 153000 Abstract : In this paper , we studied the sum function of dual trigonometric series form as ? ? ( ) aco s mxco s ny , and proved a few of inequalities related to norm of sum function ‖f x , y‖ m n?p6 6 n = 0 m = 0 ππ p / p1/ p 2 12p 1 ( ) | f x , y| d x = d y < ?. ??ππ - - Key words :Measure ; Trigonometric series ; Convergence ; Norm ; Function