角动量守恒定律

角动量守恒定律 第四章 角动量守恒定律 [基本要求] 1(明确力矩的物理涵义，掌握力矩的一般定义，并能从力矩的一般定义中得出力对某轴的力矩的表达式; 2(掌握质点的角动量的物理涵义，能熟练地推导在一般情况下的质点角动量定理，以及对轴的角动量定理; (理解角动量守恒定律的物理内容和定律的适用条件，并能运用这个定律 3 解释有关现象。 ?4-1力矩 [教学目标] 1(掌握力矩的一般定义; 2(能从力矩的一般定义中得出力对某轴的力矩的表达式。 [重点] 力对转轴的力矩表示。 [难点] 对某点力矩的表示(三维空间)。 一、力矩的一般意义 一般意义下的力矩，就是力对某参考点O的,力矩，定义为质点P的位置矢量r与作用于该质 ,点的力F的矢积，即 ,,, M,r，F (1) 上式所表示的力矩是力矩的一般定义 ,式，也就是力F相对于参考点O的力矩，并把参 考点O取为坐标原点。质点在这里没有直接的意 义，只是由于力总是物体之间的相互作用，或者说，力总是作用于物体上的，有 ,力自然就有被它作用的物体，不妨把质点P看为力F的作用点。 ,,, (2) 力矩是矢量。由上面的定义式可以得到，M必定垂直于由矢量r和F所 ,,Mr决定的平面，的指向应根据右手定则确定:右手的四指由的方向经小于的, ,,FM角转向的方向，伸直的拇指所指的方向就是力矩的方向。 ,,Mr (3) 由上面的定义式可以看出，力矩与质点P的位置矢量有关，相对于不同的参考点，质点P的位置矢量不同，即使对于同一个力，其力矩也不同。 ,,,, (4)多个力其 M,M，M，？，M12n 二、力对轴的力矩 对于物体绕转轴的转动来说，有贡献的是作用在物体上的力对转轴的力矩。那么，什么是对转轴的力矩呢?如果把转轴取为z轴(当然也可以取作x轴或y轴， 27 ,习惯上是取作z轴)，这时参考点O自然就处在转轴上。作用在物体上的力对F ,参考点O的力矩的z分量，就是该力对转轴的力矩。 MMz (1) 计算力对转轴的力矩，有三种方法 Mz a) 按照教材中式(4—4)，可以表示为 Mz M,xF,yFzyx ,, b) 将力和位置矢量都投影到任何一个垂直于转轴的平面上，分别得到Fr ,, 和，以及它们之间的夹角，则可以表示为 Rf,Mz M,Rfsin,z , c) 如果知道力矩矢量的大小和它与z轴之间的夹角，那么力对转轴的M,力矩也可用下式计算: M,Mcos,,rFsin,cos,z ,,式中是r与F之间的夹角。 , 以上三种方法可按所给已知条件选用。 (2) 力矩M与参考点O的选取有关，现在参考点O正好处在转轴上，力矩 ,M的z分量就是同一个力对转轴的力矩。这里的问题是，是否也与参考MMzz ,点O的选取有关?回答是:只要参考点O处于转轴上，无论它在那一点，尽管M 各不相同，但却保持不变。 Mz ?4-2质点角动量守恒定律 [教学目标] 1(掌握质点的角动量的物理涵义; 2(理解质点角动量定理及分量式; 3(理解角动量守恒定律的物理内容和定律的适用条件，并能运用这个定律 解释有关现象。 [重点] 1(角动量定理; 2(角动量守恒定律。 [难点] 角动量守恒定律的适用条件。 一、角动量 质点角动量在一般情况下也是相对于参考点 28 ,,的量。质量为m、以速度运动的质点相对于参考点O的角动量，定义为质点vl ,,的位置矢量与其动量的矢积，即 rmv ,,, l,r，mv ,其中是质点相对于同一参考点O的位置矢量。 r,,,, (1) 角动量是矢量，它的方向与和所在的平面相垂直，并且与和rrmvmv,,构成右旋系，即右手的四指由矢量的方向经小于的角转到矢量的方向，r,mv ,拇指所指的方向就是角动量的方向。 l , (2) 因为质点的位置矢量与参考点O的选取有关，所以质点相对于参考r 点的角动量也与参考点的选取有关，这与力矩的情形相似。 (3) 在直角坐标系中质点角动量可以表示为 ,,,ijk,,, l,r，mv,xyz mvmvmvxyz ,,, ymvzmvizmvxmvjxmvymvk,(,)，(,)，(,)zyxzyx ,,, liljlk,，，xyz 如果质点是在一个平面上运动，我们可以将此平面取为xy平面，根据上式应有 ,,, lxmvymvklk,(,),yxz 这表示，在这种情况下，质点的角动量只具有z分量，或者说质点的角动量的方向垂直于该平面。 (4)对于质点在xy平面上运动的 情况，教材中式(4-8)还包含了一个结 论，这就是应该注意的是，这个结论 是有条件的，这就是对于来说，参l 考点必须取在z轴与xy平面的交点 上。 l,lz 有趣的是，如果两个质量相等的 质点A和B在同一个固定的平面内以相同的角速度绕着它们连线的中点作圆周运动，如图4—2(a)所示，若取该固定平面为xy平面，取过连线中点并与该固定平面垂直的轴为z轴，那么这两个质点对z轴上任意一点的角动量，一定等于它们对z轴的角动量，即 l,lz 无论参考点O取在z轴的什么位置，上式都成立。关于这一点，很容易从图4-2(b)中看到的。在图4—2(b)中， x,平面是过,4刀并与纸面垂直的平面。 二、角动量定理 29 这个定理可以表述为，作用于质点的合力对某参考点的力矩等于质点对同一参考点的角动量随时间的变化率，即 ,,dl M,dt (1)这个定理是从牛顿第二定律导出的，所以它也应该与牛顿运动定律二样只适用于惯性系。 ,,和角动量，都是对参考点的量，并且是 (2) 定理中涉及的两个量力矩Ml 对于同一个参考点的。 (3) 角动量定理的上述矢量方程式在直角坐标系中的分量式可以表示为 dldldlyxzM，M，M。 ,,,yxzdtdtdt 平面，这时只有 如果质点是在一个平面上运动，我们可以将此平面取为xy上面的第三式有实际意义，这就是质点对轴的角动量定理:它表示，质点对某轴的角动量随时间的变化率，等于作用于质点的合力对同一轴的力矩。 三、角动量守恒定律 若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零，则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。这就是质点角动量守恒定律，可以表示为 , 恒矢量( l, (1) 有心力对力心的力矩恒等于零，所以一切仅在有心力作用下运动的质 ,点，对力心的角动量总是守恒的。角动量为恒矢量，意味着角动量的方向恒定l 不变，角动量的大小恒定不变。 a) 角动量的方向恒定不变，根据公式 ,,, l,r，mv ,,就是r和所构成的平面的取向恒定不变，或者说，质点的位置矢量和速度都处v , 于一个与垂直的恒定不变的平面内。 l b) 角动量的大小恒定不变，根据教材中的例题4—1，就是掠面速度恒定不变，或 者说，质点相对于力心的位置矢量在单位时间内扫过的面积恒定不变。这正是开普勒第二定律。 (2) 如果合力对z轴的力矩为零，即，则质点相对于该轴的角动量M,0z 不随时间变化，可以表示为 恒量。 l,z 这就是质点对轴的角动量守恒定律。 30 ,?4-3质点系角动量守恒定律 [教学目标] 1(知道质点系的角动量定理; 2(明确质点系的角动量守恒定律及适用条件。 [重点] 质点系的角动量守恒定律及适用条件。 , 如果外力对参考点O的力矩的矢量和始终等于零，即j时，那么质M,0,i点系对同一参考点的角动量不随时间变化，即 , 恒矢量 L, 这就是质点系角动量守恒定律。 轴的合力矩等于零，即那么质点系 如果作用于质点系的外力对M,0oz,zi对此轴的角动量将不随时间变化，即 恒量， L,z 这称为质点系对轴的角动量守恒定律。 即?肘2， (1)所谓质点系的角动量，就是质点系中所有质点的角动量的矢量之和，即 nn,,,, L,l,r，mv,,iii,1,1ii ,,,注意，无论是L，还是各个和各个，都是相对于同一个参考点的。 rlii (2) 无论力的性质如何，也无论参考点取在何处，质点系的内力力矩的矢量之和始终为零。 (3) 对质点系的讨论都有一个恰当选择研究对象的问题，也就是系统的划分的问题，应用质点系角动量守恒定律时也不例外。 (4) 处理具体问题时，不仅要注意参考系的选择，还要注意参考点的选择，对于不同的参考点，力矩不同，角动量也不同。所涉及的各量不仅相对同一个参考系，而且还要相对同一个参考点。 31