数学建模-三级火箭发射卫星

数学建模-三级火箭发射卫星 大学生数学建模 承 诺 我们仔细阅读了数学建模的规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 所属班级(请填写完整的全名): 09级数学与应用数学班 队员 (打印并签名) :1. 王 茜 2. 丁*燕 3. 毕 瑞 4. 李*洋 5. 王*彬 小组负责人 (打印并签名): 李*洋 日期: 2012 年 5 月 1 日 赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号): 题目:三级火箭发射人造卫星分析 摘要:火箭是一个非常复杂的系统，本文主要从卫星的速度因素着手，忽略一些次要因素将问题简化，再利用所学物理学知识建立数学模型，得出火箭飞行速度与其初始质量和飞行过程中的质量关系，进而分析得出结论。 关键词:卫星发射 牛顿定律 三级火箭 动能守恒 万有引力定律 一、问题重述 建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。 R(1)设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为，为地球半径，rv,Rg/r g为卫星与地心距离，为地球地面重力加速度。要把卫星送上离地面600km的轨道，火箭末速度应为多少, v m(2)设火箭飞行中速度为,质量为,初速度为零，初始质量为 ,火箭喷v(t)m(t)0出的气体相对于火箭的速度为，忽略重力和阻力对火箭的影响。用动量守恒原理证明u m0v(t),uln。由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施, m(t) m(3)火箭质量包括3部分:有效载荷(卫星);燃料;结构(外壳、燃料舱mpf m，mmmm等)，其中在中的比例计作，一般不小于10%。证明若=0(即火箭,,fspss v,,uln,不带卫星)，则燃料用完时火箭达到的最大速度为。已知目前的，u,3km/sm v取，求。这个结果说明什么, ,,10%m (4)假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质 m0v(t)(1)uln,,,量以和的比例同时减少，用动量守恒原理证明。问燃料用完,1,,m(t)时火箭末速度为多少,与前面的结果有何不同。 (5)(4)是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用 m,m的结构部分。计为第 i 级火箭质量(燃料和结构部分)，为结构质量(对各级,ii 2 m是一样的)。有效载荷仍用 表示。当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时p 第2级点火。再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为。证明k k，1v,10.5km/s3级火箭的末速度。计算要，发射1吨重的卫星需要多重的v,3uln33,k，1 ，用以前的数据)。若用2级火箭或4级火箭，结果如何,由此得出使用3火箭(u, 级火箭发射卫星的道理。 二、符号说明及基本假设 1. 符号说明 R ——地球半径 M——地球质量 ——卫星轨道半径 r ——卫星质量 m ——引力常数 G ——t时刻火箭质量 m(t) ——t时刻火箭速度 v(t) m——火箭有效负载 p ——火箭燃料质量 mf m——火箭结构质量 s ——火箭喷出的气体相对于火箭的速度 u m——第 级火箭质量 ii :燃烧级的初始质量与其负载质量的比例系数 k 2 基本假设 (1) 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作 为向心力绕地球作平面匀速圆周运动。 (2) 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心。 (3) 其它星球对卫星的引力忽略不计。 (4)火箭在喷气推动下作直线运动，火箭所受的重力和空气阻力忽略不计 tt(5) 在 时刻火箭质量为 m(t) ，速度为 v(t)，且均为时间的连续可微函数; (6) 从火箭末端喷出气体的速度(相对火箭本身)为常数u。 vv,0(7) 初速度忽略不计，即。 00 3 ,m(1,,)m(8) 设各级火箭具有相同的 ， 表示第 级结构质量， 表示第 级ii,ii的燃料质量。 (9) 喷气相对火箭的速度 相同，燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，记u 该比值为 k (10) 假设火箭的结构、外形与控制等问题能满足保证火箭正常运行的需要 三、问题分析 1(问题1的分析 问题1实际上就是利用天体物理学中牛顿第二定律和万有引力定律推到出第一宇宙速度的过程。 2(问题2的分析 问题2主要是为了找出影响火箭升空速度的主要影响因素。可利用动能守恒定律找出等式关系，之后求解。 3(问题3的分析 本问题主要是了建立当卫星脱离火箭后，火箭末速度的数学模型，为下一步的探究做铺垫。 4(问题4的分析 问题4是一个理想化的火箭模型，就是让火箭能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。 5(问题5的分析 通过探究多级火箭模型的状况，通过对比得出三级火箭发射卫星的优点。 四、模型的建立与求解 1、 问题(1)的模型建立与求解 由牛顿万有引力定律可知卫星受到地球的引力大小为: GMmF, (1) 2r 其中 G 为引力常数。 为消去常数 G ，把卫星放在地球表面，则由(1)式得 2GM,Rg 再代入(1)式，得 2R,,F,mg (2) ,,r,, 4 2g,9.8(m/s)其中 为重力加速度。 2根据假设，若卫星围绕地球作匀速圆周运动的速度为 ，则其向心力为，因vmv/r为卫星所受的地球引力就是它作匀速运动的向心力，故有 22Rmv,,mg ,,,rr,, r,R由此便推得卫星距地面为 () km ，必须的最低速度的数学模型为 gv,R (3) r R取 = 6400km ， ，代入上式，得 r,R,600km v,7.6km/s 即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道，火箭的末速应为 。 7.6km/s 2、 问题(2)的模型建立与求解 内的减少量由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断减少，在(t,t，,t)可由泰勒展开式表示为 dm (4) m(t，,t),m(t),,t，;(,t)dt 因为喷出的气体相对于地球的速度为，则由动量守恒定律有 v(t),u dm，，m(t)v(t),m(t，,t)v(t，,t),,t，;(,t)(v(t),u) (5) ,,dt，， 从(4)式和(5)式可得火箭推进力的数学模型为 dvdmm,,u (6) dtdt m(0),m令时，v(0),0 ， ，求解上式，得火箭升空速度模型 t,00 m0v(t),uln (7) m(t) 结果分析:(6)式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相对火箭)的 vm乘积。(7)式表明，在、 一定的条件下，升空速度 v(t) 由喷气速度(相对火箭)00 m/m(t)u 及质量比 决定。这为提高火箭速度找到了正确途径:尽可能提高火箭燃料0 室产生的气体喷出的速度，这需要从燃料上设法提高u值(如制造液体燃料、固体燃料、 m(t)改变燃料构成成分等);尽可能减少火箭的质量，这就要从结构上设法减少 。 5 3、 问题(3)的模型建立与求解 m，m因为升空火箭的最终(燃料耗尽)质量为，由(7)式及假设(ii)得到末ps 速度为 m0lnv,u (8) m，mps ，，m,m，mm,,m，m令、，代入上式，于是，当卫星脱离火箭，即 时，m,00fssfsp便得火箭末速度上限的数学模型为得 v,,uln, (9) m 取 ， ，便得火箭速度上限 u,3km,,10% 0 v,,3ln0.1,6.6km/s 结果分析:即便忽略空气阻力、重力、不携带任何的东西的情况下，火箭末速度最大才，单级火箭一直将将燃料仓和发动机带到了末端，而未将这些丢弃,火箭发6.6km/s 动机作了许多无用功。也就是说发动机必须把整个沉重的火箭加速到最后,但是当燃料耗尽时,发动机加速的仅仅是一个空的燃料仓。因此，用一级火箭发射卫星，在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度。 从上面的分析中可以看出:火箭推进力自始至终在加速整个火箭，然而随着燃料的不断消耗，所出现的无用结构质量也在随之不断加速，作了无用功，效益低，浪费大。所谓理想火箭，就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构。 4、 问题(4)的模型建立与求解 由动量守恒定律，有 dmdm m(t)v(t),m(t，,t)v(t，,t),,,t,v(t),(1,,),t,(v(t),u)，;(,t)dtdt 由上式可得理想火箭的数学模型为 dv(t)dm (10) ,m(t),(1,,),udtdt 解之得 m(0),m v(0),0， (11) 0 m由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便只剩卫星质量 ，从而最终速p度的数学模型为 m0v(t)(1)uln,,, (12) m(t) m结果分析:(12)式表明，当 足够大时，便可使卫星达到我们所希望它具有的0 6 任意速度。例如， 考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使 才行，如果v,10.5km/s取 ， ，则可推出 ，即发射 1 吨重的卫星大约需 50 吨m/m,50u,3km/s,,0.10p 重的理想火箭。 、 问题(5)的模型建立与求解 5 先考虑二级火箭。由(7)式，当第一级火箭燃烧完时，其速度为 m，m，mk，1123v,uln,uln 1,m，m，m,k，112p 在第二级火箭燃烧完时，其速度为 m，mk，12p (13) v,v，uln,2uln21,m，m,k，12p 仍取 ， ，考虑到阻力等因素，为了达到第一宇宙速度，对于二级3km/s,,0.1 v,10.5km/s火箭，欲使 ，由(13)式得 2 k，1 6ln,10.50.1k，1 解之得 k,11.2 这时 m，m，mmp1220 ,,(k，1),149mmpp 同理，可推出三级火箭 k，1v,3uln 3,k，1 m/m,77v,10.5km/s欲使 ，应该 ，从而 。 k,3.250p3 与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭的质量几乎节省了一半。 再者，由(12)可得: vm(1,,)u0,e mp 从下图中我们可以看到:多级火箭的最优质量比随着火箭级数n的增加而减少. 7 mm 现记 级火箭的总质量(包括有效负载 )为 ，在相同假设下np0 m/mv,10.5km/s( ，， )，可以算出相应的 值，现将计算结u,3km/s,,0.10p末 果列于下表中: , (级数) 1 2 2 4 5 … n m/m ， 149 77 65 60 … 50 0p 从上表中我们看到:三级火箭的最优质量比几乎是二级火箭最优质量比2倍，也就是与二级火箭相比，在达到相同效果的情况下，三级火箭几乎节省了一半。 结果分析:用三级火箭代替二级火箭是值得的。虽然多了一级，但火箭质量几乎减少了一半。而如果用更多级的火箭来代替三级火箭，虽然可以降低最优质量比，但降幅已经不大，而且制造更多级的火箭，除了技术上的困难以外，增加的火箭发动机和燃料舱会大大提高火箭的成本，因而得不偿失。从这个意义上说，考虑安全及费用等因素，在以上条件下用三级火箭发射人造卫星是最优的。此时，若想将1吨重的卫星送入轨道，运载火箭发射时的总重量为77吨。 五、模型的评价 1.模型的优点 (1) 本文的模型做出一些假设将原问题简化，使原本复杂的问题变得简单。 (2) 充分利用MATLAB等软件进行画图求证，所以误差较小，数据准确合理。 (3) 在求解模型时多次回归，直到无异常数据，因此该模型准确度高。 2.模型的缺点 (1)本文中的假设(9)在实际情况中几乎是不可能发生的情况。。 (2)在模型建立中，所建模型相对简单，一些复杂因素并没有考虑，与实际情况还有一 8 定的差距。 六、模型的改进与推广 1. 由于条件限制，缺乏相关数据，在建立模型的时候没有考虑空气阻力等因素，可以通过查阅相关资料，咨询专家对模型进行改进。 2.我们建的模型不仅可用于火箭发射卫星，也可用于例如像载人登月等重大的航天项 目。 9 七、参考文献 【1】数学模型(第三版).姜启源，谢金星，叶俊.北京，高等教育出版社，2012 【2】数学模型案例分析.白其峥 .北京，海洋出版社，2000 3】数学建模与数学实验(第三版).赵静，但琦.北京，高等教育出版社，2007 【 【4】大学物理学. 黄亦斌.北京，科学出版社，2010 【5】数学建模原理与. 蔡锁章. 北京，海洋出版社，2000 【6】火箭气体动力学. 苗瑞生. 北京，国防工业出版社，2002 【7】数学实验. 傅鹂，龚劬，刘琼荪，何中市. 北京，科学出版社，2000 10