2 第二章 晶体结构的对称性_从点阵到空间群

2 第二章 晶体结构的对称性_从点阵到空间群 晶 体 结 构 的 对 称 性 - 晶 体 结 构 的 对 称 性 - 从 点 阵 到 空 间 群 从 点 阵 到 空 间 群 中国科学院物理研究所 中国科学院物理研究所 董成 董成 晶体结构的对称性-董成主要内容 晶体的平移对称性:三维点阵和晶胞晶体学中的对称操作元素: 旋转轴、倒反中心、镜面、反轴、映轴、 螺旋轴和滑移面晶体学点群,晶系和点阵型式空间群及其应用:空间群符号,等效点 系,分数坐标,不对称单位 晶体结构的对称性-董成对称性的不同含义物体的组成部分之间或不同物体之间特征的对应、 等价或相等的关系。(希腊字根类似尺寸的。)由于平衡或和谐的排列所显示的美。形态和(在中分平面、中心或一个轴两侧的)组元 的排列构型的精确对应。 晶体结构的对称性-董成 对称就是通过某些操作后的重合。晶体结构的对称性-董成晶格 晶体结构的对称性-董成晶体点阵与晶体对称性 ?在每个重复周期都选取一个代点,就可以 用三维空间点阵来描述晶体的平移对称性。 而平移对称性是晶体最为基本的对称性。整 个点阵沿平移矢量 tua+vb+wcu、v, w为任意整数 平移,得到的新空间 点阵与平移前一样,称沿矢量t的平移为平移 对称操作。 晶体结构的对称性-董成晶体学中的对称操作元素 分子和晶体都是对称图像,是由若干个相等的部分或单元按 照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任 何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为对称操 作。在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为点对称 操作,如简单旋转和镜像转动反映和倒反是点式操作;使 空间中所有点都运动的对称操作称为非点式操作,如平移, 螺旋转动和滑移反映。 晶体结构的对称性-董成对称操作和对称元素对称操作: 一个物体运动或变换,使得变换后的物体与变换 前不可区分(复原,重合)。对称元素:在对称操作中保持不变的几何图型:点、轴或面。 点群: 保留一点不变的对称操作群。 空间群:为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群,由点群 对称操作和平移对称操作组合而成;由 32 晶体学点群与 14 个Bravais 点阵组合而成;空间群是一个单胞(包含单胞带 心)的平移对称操作;反射、旋转和旋转反演等点群对称性 操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。 晶体结构的对称性-董成全同操作1全同操作Identity,符号表示为1 E,对 应于物体不动的对称操作,对应的变换矩阵 为单位矩阵。 注意:符号表示为国际符号也称为赫尔曼-毛古因Hermann- Mauguin符号,括号内为熊夫利斯Sch?nflies 符号。 矩阵表示 晶体结构的对称性-董成旋转轴2旋转轴旋转轴 :绕某轴反时针旋转? 360/n 度, n称为 旋转轴的次数或重数,符号为n C 。其变换矩阵为: n cos?sin0? sincos0? 0 0 1? 晶体结构的对称性-董成晶体结构的对称性-董成晶体中的旋转轴限制 练习: 1. 平移对称性对旋转轴的次数n有很大的限 制,证明在晶体学中只能出n1,2,3,4,6的旋 转轴。 晶体结构的对称性-董成晶体结构的对称性-董成准晶体 晶体结构的对称性-董成矩阵乘法 ?1 0 0 xx 2次旋转矩 阵 0 ?1 0y? y 0 0 1 z z 晶体结构的对称性-董成倒反中心Inversion center 倒反中心:也称为反演中心或对称中心Center of symmetry,它的操作是通过一个点的倒反反 演,使空间点的每一个位置由坐标为x、y, z 变换到- x, - y, - z。符号为 i,变换矩阵为 晶体结构的对称性-董成对称中心 晶体结构的对称性-董成反映面--镜面反映面,也称镜面,反映操作是从空间 某一点向反映面引垂线, 并延长该垂线到反映面的另一侧,在延长线上取一点,使其到反 映面的距离等于原来点到反映面的距离。符号为m ?。为了表示反映面的 方向,可以在其符号后面标以该面的法线。如 法线为[010]的反映面,可记为m [010]。 m [010] x、y, z x, - y, z x' 1 0 0 x y'0 ?1 0 y z' 0 0 1 z 晶体结构的对称性-董成?非对称面 ?对称面 晶体结构的对称性-董成镜面类型和矩阵表示关于对称平面(或镜面)σ的反 映,可以平行于vertical ,σ 或 垂直于 v horizontal , 主轴。 h在二个C 轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面,σ ( dihedral 2 d plane )。 通过yz面的反映。 晶体结构的对称性-董成旋转倒反轴-反轴旋转倒反轴,简称反轴 Axis of inversion , Rotoinversion axis,其对称操作是先进行旋转操 作n后立刻再进行倒反操作,这样的复合操作称 _ 为记为 n 组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定 是对称操作。其矩阵表示为:?1 0 0?cos?sin0cossin00 ?1 0 sincos0?sin?cos0 0 0 ?1 0 0 1 0 0 ?1 晶体结构的对称性-董成旋转反映轴--映轴旋转反映轴,简称映轴rotoreflection axis,其对 称操作是先进行绕映轴的旋转操作n后立刻再对垂 直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为S ,设对称轴沿[001]方向,其矩阵表示为: n 1 0 0 cos? sin0 cos? sin0 0 1 0 sincos0sincos0 0 0 ?1 0 0 1 0 0 ?1 晶体结构的对称性-董成旋转反映S n旋转反映 S ,包括绕对称轴的逆时针 n 旋转360?/n,接着作垂直反射。旋转反演和旋转反映(Improper rotation)被(译)称为异常旋转、非 真旋转、不当旋转等。 晶体结构的对称性-董成反轴和映轴间的对应关系用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示,所以在 新的晶体学国际表中只用反轴。 所有的点对称操作实际上可以简单的分为简单旋转 操作和旋转倒反操作两种。全同操作就是一次真旋 转轴,倒反中心为一次反轴,镜面为二次反轴,所 有映轴都可以用等价反轴表示。 晶体结构的对称性-董成反轴和映轴间的对应关系旋转倒反轴和旋转反映轴之间存在简单的一一对应 关系,旋转角度为 ?的反轴和旋转角为 ?的映轴 是等价的对称轴,这一关系也很容易从他们的表示 矩阵看出。所以1次, 2次, 3次, 4次和6次反轴 分别等价于2次, 1次, 6次, 4次和3次映轴。 _ _ _ _ _ ~ ~ ~ ~ ~,,,,1 2 2 1 3 6 4 4 6 3 晶体结构的对称性-董成点式操作晶体有八个基本的宏观对称元素,它们是对称面m,对称轴(1,2,3,4,6),对称中 心,以及4次旋转倒反轴。 那么,在晶体中,究竟有哪些对称元素和对称操作可以同时存在?它们的组合方式有多少 种?在数学上,把对称元素(或对称操作)的集合叫做“对称群”。因为上述对称元素中, 不包括平移对称性,进行对称操作时总是有一点保持不动,所以只包括上述对称元素的集 合叫做“点群”。一个晶体上可以同时存在多个对称要素,这些对称要素共存时一定要符合 对称要素组合定理,不能任意共存。人们经过长期研究的结果,发现这八种对称元素共有32种组合方式,即32种点群。这32种 点群对应于晶体的32种宏观对称类型,就是说自然界千千万万种晶体,可以归纳为32种宏 观对称类型。 晶体结构的对称性-董成点式操作组合定理 ?定理1:如果有一个二次轴L2垂直n次轴Ln, 则必有n个L2垂直n次轴Ln。 晶体结构的对称性-董成 1. 证明:1倒反中心是一次反轴;2镜面是 二次反轴。 2. 找出一个立方体具有的所有旋转轴。6个2 次轴, 4个3次轴, 3个4次轴。 晶体结构的对称性-董成非点式对称操作 ?非点式对称操作:是由点式操作与平移操作 复合后形成的新的对称操作,平移和旋转复 合形成能导出螺旋旋转,平移和反映复合能 导出滑移反映。 晶体结构的对称性-董成螺旋轴螺旋轴:先绕轴进行逆时针方向360/n度的 旋转,接 着作平行于该轴的平移,平移量为p/n t,这里t是 平行于转轴方向的最短的晶格平移矢量,符号为 np, n称为螺旋轴的次数, n可以取值2,3,4,6, 而p只取小于n的整数。所以可以有以下11种螺旋轴: 2 ,3 ,3 ,4 ,4 ,4 ,6 ,6 ,6 , 1 1 2 1 2 3 1 2 3 6 ,6 。 4 5 晶体结构的对称性-董成二次螺旋轴 晶体结构的对称性-董成螺旋轴 2 ,3 ,3 ,6 1 1 2 3 晶体结构的对称性-董成螺旋轴4 , 1 4 ,4 2 34 和4 彼此对映。 1 3 当其中之一是左手 螺旋时,另一个为 右手螺旋。 晶体结构的对称性-董成螺旋轴6 ,6 ,6 ,6 1 2 3 4 晶体结构的对称性-董成石英结构中的六次螺旋轴 石英的基本结构可以看成是硅氧四面体在三和六次螺旋轴附近 的螺旋链 。 在如下左边其中一个三倍螺旋,右方显示的是 螺旋连接构成晶体框架。 //0>./ dutchs/PETROL GY/QuartzStruc. HTM 晶体结构的对称性-董成滑移面滑移反映面, 滑移面简称滑移面,其对称操 作是 沿滑移面进行镜面反映操作,然后接着进行与平行 于滑移面的一个方向的平移,平移的大小与方向等 于滑移矢量。点阵的周期性要求重复两次滑移反映后产生的新位 置与起始位置相差一个点阵周期,所以滑移面的平 移量等于该方向点阵平移周期的一半。 晶体结构的对称性-董成滑移反射 不对称单位先经镜面反射,然后沿平行与镜面的方 向平移。 滑移反射改变了不对称单位的手性。 晶体结构的对称性-董成滑移面分类轴向滑移面:沿晶轴a、b, c方向滑移; 对角滑移面:沿晶胞面对角线或体对角线方向滑 移,平移分量为对角线一半;金刚石滑移面:沿晶胞面对角线或体对角线方向 滑 移,平移分量对角线1/4的对角滑移面。只有在体心 或面心点阵中出现,这时有关对角线的中点也有一 个阵点,所以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点 阵周期的一半。 晶体结构的对称性-董成镜面和滑移面 a, b, c是平行于单 胞边的滑移。 n是对角滑移,在两个 方向都滑移单胞长度 的一半。 d是类似n的对角滑 移,但这里在每个方 向移动单胞边长的1/4。 镜面或滑移面的符号。? 在左边: 沿镜面的边缘看。 在右边是沿垂直于镜面的方向观看。 箭头表示平移 方向。晶体结构的对称性-董成