利用折纸将长方形的长和宽n等分

利用折纸将长方形的长和宽n等分 , , , , 年 第 ,期 , , 利 用 折 纸将 长 方 形 的 长 和宽 等分 吴 向 辉 ( 河南师范大学附属中学 ， , , , , , ,) 中图分 类号 : , , , , ( , 文献标识码 :, 文章编号 : , , , ,— , , , , ( , , , , ) , ,— , , , ,— , , 一 在数学教学 中， 常常借助尺规作图来将 条 线段 ,等分 ， 但 在 生 活 中若 想 将 一 条线 1 联结 , , 、 , ,交于点 ,， 过 , 分别作折 痕, , 、 , ， ， 使得 , , ,, , ， , ， , , , , ( 则肋 , ,， , ,, ,,, ( 段 ,等分 ， 又该 借 助什 么工具 呢 ,其 实 ， 一 张 长方形或正方形的纸足矣( 借助折长方形来等分线段 ， 可分为两类 ， 即偶数 等分 和 奇 数 等 分( 下 面仅 讨 论 奇 数 等 分 的情 形( 采 用 由简单 到 复 杂 、 由特 殊 到一 般 的顺 序 逐一 展开 ( 再将 , ,对折平 分 即可将 , ,五等分 ( 【 小结 】 如图 , ， 若 要将 长 方 形 , , , , 的 长 和 宽 三 等 分 和 五 等 分， 只需 联结 , , 和 , ,， 二者与 , , 的 交 点 分别 为 , , 、 2 , 、 ， 则 , ,: , , ,, : ,( , ,: , , ,, : , ( 图, , , 题, 将 长方形 的长和宽 三等分 和五 等分( 【 】 如图 , ， 先解决三等分的情形( 通过对折的方法分别找 出长方形 , , , , 边, ,、 , , 的中点 ,、 , ( 。 题, 将 长方 形 的长 和宽七等 分 和九 等 分( 联结 , , 、 , ,交于点 ? ( 过 ?分别作折痕 , ？ 、 , , ， 使得 , , ,, ,， , , , , , , ( 由梅 涅劳 斯定 理易 证 , , 3 【 分析】 如图, ， , 、 ,分别为边 , ,、 , ,的 中点 ， 点, 、 日为边 , ,的四等分点， 联结 , , ， 与, , 、 , ,分别交于点 ?、 ( 则, ,: , ,, , : , ， , ,: , ,,, : , ( , , ,, — ,， , ,, — , ( 三 : 三 图 , 图, 图 , 图 , , 对 于五 等分 的步 骤和 方法 与三 等分 基本 相 似( 图解 如下( 如图, ， , 、 为长 方形边 , , ,的中点( 收 稿 日期 : , , , ,—, , —, , 题 , 将 长 方形 的长 和宽 , ,等 分 和 , , 4 等分( 【 分析 】 如图 , ， , 、 ,分别为边 , , 、 , ,的 中点 ， 点, 、 ,为 边 , ,的三等分 点 ， 联结 , , 、 , ,分 别 与 , , 交 于点 ?、 , , 中 等 数 学 第 , ,届 ， , , 试 题 解 答 中图分类号: , , , , ( , , 文献标识码 : , 文章编号 :, , , ,—, , , , ( , , , , ) , ,— , , , ,—, , , ( 证明 : 对于任意一对正整数 , 、 , ， 均存在 ,个 ( 允许相同 ) 正整数 , ， , : ， …， , ， 使得 5 ,， , , , 【 注】 ?, , ,的顶点 ,所对的旁切 网是 指与边 , ,相 切 ， 且与边 , ,、 , ,的延 长线相 切 ( , ， , , ) ， ( , 一 十 , , ) ， ( ( ‘ ( 、 , ， 去 , ) ， ( 的圆。 顶点 ,、 ,所对的旁切 圆可类 似定义( , ( 设? , , ,为一个 锐 角三 角形 ， 其 垂心 为 ， 设 是边 , ,上 一点 ， 与顶 点 、 ,均不 , ( 平 面上 的 , , , ,个 点 称 为 一 个 “ 哥 伦 比亚 式 点 集 ” ， 其 中任 意 三 点 不 共 线 ， 且 有 , , , ,个 点 为 红 色 ， , , , , 6 个 点 为 蓝 色( 在 平 重合 ， 和 ?分 别是 过顶点 和 ;的高 的垂 足( 记? , , , 的外接 圆为 圆 。 ， 设 是 圆 ? 上 一点 ， 且 , ,是 圆 ? 的 直 径( 类 似地 ， 记 ?, , , 的外 接 圆为圆 ( , , ， 设 ,是 圆 上, 点， 且 共 线( 是圆 , ( , 的直径( 证 明: 、 , 、 ， ， 三 点 面上画出一组直线 ， 可 以将平面分成若干 区 域( 若一组 直 线 对 于一 个 哥 伦 比亚 式 点 集 满 足下 述两 个条 件 ， 称 这是 一个 “ 好 直线 组 ” : ( , ) 这 些直 线 不经 过该 哥伦 比亚式 点 集 中的任 何， , 个点 ; , ( 记 ,， 是 所 有 正 有 理数 组 成 的 集 合( 设 函数 ， : ,， 一 ,满 足如下 三个 条件 : ( , ) 对所 有 的 、 ,? ,， ， 均有 ( , ) 每个 区域 中均不 会 同 时 出现 两 种颜 色的 点( 7 求, 的最小值， 使得对于任意的哥伦 比亚 式点集 ， 均存在由 , 条直线构成的好直线组( , 厂 ( ) , ) , , ) ; ? ( , ) 对所 有 的 、 ,? ,， ， 均 有 , ( 设? , , ,的顶点 ,所对的旁切 圆与 边, ,切 于点 , ， ( 类似地 ， 分 别 用 顶 点 、 ; , 厂 ( ，, ) ? ， ( )， ， ( , ) ; ? ( , ) 存在 有理 数 ,,, ， 使得 , 厂 ( , ), 口 ( 8 证明 : 对所有 的 ? ,， ， 均有 ) , ( 所对的旁切 圆定义边 , , 、 , , 上 的点 、 ; ( 假设 ? ; 的外接 圆圆心在? , , ,的外接 , ( 设整数 凡 ?, ， 在 圆周 上 有 ,，,个 等 分点 ( 用数 ,， , ， …， ,标 记 这 些 点 ， 每 个 数 字 圆上( 证 明: ?, , ,是直角三角形( 则 , , : , ,, , : , , ， , ,: , , ,, : , , ( 【 结论 】 若要将长方形 , , , , ( 或正方形 ) 的长和 宽 , ,一, 等分 、 , ,，,等分 ， 边, ,、 , , 的中点 分 别 为 、 ， 联结 , ,; 在边 , ,上 截 : , , , 号 : ( , , — , ) ， 删: 朋, 号 : ( , , ， , ) ( 9 过 ,、 ,分 别作 , ,、 , , 的平行 折 痕 即可 取, , : ; : , 、 二 凡 ， , ; ， 联 结, , 、 删， 与, , 的交 点分 别 为 ?、 ( 则 等分 长方形 的长 和宽( 百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆 10