数学问题解决

数学问题解决 数学决问问解 一、问问解述数学决概 在20世问60年代席卷大半地球的“新”问～由于问分强问的抽象个数学运数学 问～忽问问问问生活服问～问以失问而告问。构数学70年代又提出了“回问基问”～但问一口被问问是消的。问了提出美育的目问～号极国数学教1980年4月～美问问问国教会;NCTM,公布了一指问份80年代校育的问问性文件《问于行问的问程》学数学教 (An Agenda for ActionRecommendation for Mathematics of the 1980)——。问文件问80年代问程问展提出一些问想～他问提出三,第一就提出“必问把问问解条条决 ;Problem Solving,作问80年代中的核心”。问问,直到下一十年～问展学数学个 解问能力问问是育工作者直接的问斗目问。在问问解方面的成问如何～是衡数学教决将 量人和家所具有的有效问准。要求问程问问问问解问问～解问的定问和个国数学决来数学 问予问展～使之包括范问更问的手段和方法～问问问造更有利于问问解的问数学教决 堂～问问所有的年问问制问授解问技巧的适材～气氛当教80年代的科问问重于问问教学研研决找径决广究问问解的本问～到提高解问者能力的有效途。同问～问问解需要使用泛的方法～问问的技能问问不问。因此提出十问基本技能,数学 ;1,解问问能力～决(2)把问用于日常生活的能力～数学(3)问问果合理性的问察力～;4,近似问能力～估(5)合理问算能力～(6)何问～几构(7)度量～(8)问问、解问和制作问、问的能力～框(9)用作问问～数学(10)问算机文化。 1982年～英育的问威性文件《考克问夫特;国数学教Cockcroft,问告》问了响美提出的问一口～明提出,育的核心是培问解问问的能力～强问国号确数学教决数学 数学国响只有问用于各问情形才是有意问的。以后各问问问问～至1984年第五问问届国数学教会育大;ICME5—,～“问问解”已成问大最主要的问问之一。决会1989年～日本在新修改的《问指问要问》中～正式“问问问”的容问入其中～使“问问解学将学内 决确来学决”的思想以法律的形式定下～日本的“问问问”就是以“问问解”问特征的问。问在～世界上乎所有的家都提高生问问解的能力作问育数学几国将学决数学教 的主要目问之一～问问解已成问问育究的一问问点。决国数学教研个 在我～问“问问解”的究问然起步问问～但问展十分迅速～受到育国决研并数学教 界的普遍重问。近十年～着人问问“问问解”问问的提高及问念的问问～问问一问问的来随决 研体体究正在由问问问问探究～由问象描述问问问问探索。正是问一问问问程的具问～在各问升 学决考问中逐步地出一些“问用问问”、“问放性问问”作问考问～使“问问解”问入了我国教学并数学教的问地～受到育界的普遍重问。 我的中问上其一些家的中比问～具有重问基国学数学教学与国它国学数学教学 问知问～基本技能问问～问算、推理和空问想象能力的培问等问著特点～因而教学数学 我中生的基本功比问问～生的整水平问高。然而～改国学数学扎学体数学革问放也使我育界国数学教国学数学教学两个看到了我中的不足。其中比问突出的问问是～学数学学数学生问用的意问不强～问造能力问弱。生往往不能把问问问问抽象成问问～不能把所的知问问用到问问问问中学数学学数学学去～问所知问的问问背景了解不多～生机械地模仿数学当一些常问问问解法的能力问强～而面问一问新的问问问却问法不多～问于问如问察、、问问、问比、抽象、括、概决学猜想等问问问问、解问问的科思问方法了解不问。问了解问些问问～一些者问问～其有效途是在中育中问问问解决学径学数学教体决 的思想。 问问解作问问问程的一“问性”问问～不问能使问者决学数学个践学数学深入地理解概数学会念～全面系问地掌握知问～问一步问、掌握各问定理、公式和法问～提高自己的技能技巧～巩学决固所的知问。同问～通问解探索性问问、问用问问、问放性问问、问问问问等丰数学学学会数学富的活问～可使生如何根据问问世界中的事问、问象、问系等～问问问察、比问、分析、问合、抽象、括等步问～提出科的概学学会猜想和假问～如何运数学决数学从决用已有的理问和方法去解一些问问的问问～而提高分析问问、解问问的能力～也能使生学决数学数学真品问到解问问的喜怒哀问～问略到的问～磨问自己的意志。所以～ “问问解”和问决它学极去问问地问用定理、公式解问不同～要求生以问探索的问度～问合用已具有的基问知问、基本技能和能力～问造性地解运数学决来数自学争数学真问或问问生活和生问问问中的问问～在和困问作斗中探究理～问而使自身的问新精神和问能力践得到提高。 二、问问问问解与决 1,什问是“问问” 美的家国数学哈问莫斯;P?R?Halmos,问问～问问是的心问～他问,“数学数 学概究竟是由什问问成的,公理问,定理问,问明问,念,定问,公式,方法,问然～没数学数学它有问些问成的部分～就不存在～问些都是的必要问成部分～但是～问中 的任何一都不是的心问～问问点是个数学个数学站得住脚的～家存在的重要的理由就是解问～因此～的正的问成数学真部分是问问和解。” 那问～什问是问问呢, 1988年召问的第六届国数学教问育大的一问告指出,“一;,问问会份个数学 是一问人具有个没决智力挑问特征的、有问成的直接方法、程序或算法的未解的情境。” 日本哲学学将学家岩奇允道和物理家问原平问,“问问是基于一定科知问的完成、问累～问解决某问未知而提出的任问。” 三问辰郎决来没在《问问解能力的育成》中问问,问问是指那些问于解答者问问问有具问直接的解方法～问于解决构答者成问问上挑问的问问一问局面。 我者问国学数学教学个奠宙在《育》中问问,所问有问问～是指一人面问着某问他所要问问的问西～而问于问问问西他又不能问问问用某问典范的解法去解答。 波利问在《的问问》中指出,所问数学找当‘问问’～就是意味着要去出适的行问～以到一达个即并从教学可问而不能立可及的目问。波利问的角度问问问作了如下的分问, ;1,鼻子底下就有问成的法问。问问问问只要机械地问用某个来法问就可能做出～ 而所问的法问又是问问问问的或问问问的。 ;2,问有问问性的问用。问问问问可以问用问堂上先前问问的某一法问或算法问得解～决然而～究竟问用一法问当哪条学或算法却不是一目了然～问此需要生本人去做出判断。 ;3,问合的问问。问问问问需要生问问堂上问问的学两个或更多的法问或例子问行问合。 ;4,接近究水平。问问问问研也要问法问或例子问行问合～但需要更多的问造性～即如必要的改问～问于合情推理的成功问用 问可以列出一些提法～但是～不管有多少问不同的述～都不问问问一本问叙离个,问问反映了问有水平与从来个客问需要的矛盾。系问问的角度看～如果问某人问～一系问的全部元素、元素的性问和元素问的问系～都是他所知道的～那问问个系问问于他就是问定系问。如果问个个个系问中至少有一元素、性问和问系是他所不知的～那问问系问就是一问问。如果问问问个个数学它个数系问的元素、性问和问系都是有问的～那问就是一学问问。 因此～一个个与触它个个系问能否算一问问～接的人有问。一系问问甲可能是一问问～问乙就可能不是一问问。个例如～“歌德巴赫猜想”问问问解的所有人而决它言都是一问问。下面的解方程问问,个 x?-3x?+2x=0………………………………? y?-6y?-4y=6………………………………? 问于某些生问是问问～而问于一些生问问不是问问～学它另学它也可能?是问问～而?不是问问。因此～一问问一个学会来它旦可以使用以前的算法问易地解答出～那问就不再被问问是一问问了。个 而问于生问～问问是用已有的念、理问学来数学运数学概极或方法～问问问的探索思考才能解的问问。而问问的决问问问问足下述三特性个: (1)接受性,生学个并决它愿意接受问问问～且具有解的知问基问和能力基问。问里～各人问问问的接受是有着各自的的～包括状况内部的问因和外部的问因～也可能问问问生于问受解答问问的问问愿望。 (2)障碍性～生不能直接学它决看出的解法和～而必问问问思考才能解～也问最初解答问问有问果。没 ;3,探究性,生不能学按照问成的公式或常问的套路去解～需要问行探索和研找究～问新的问理方法。 2,问问和问问 一般的中材的问问有三问问学数学教个型,一问是安排在各小问的“问问”～是直接问用新知问和新技能问行解答的问目～第二问是各章的每一大段材之后的“问问”教～比“问问”问问问些～更能问基本念、基本定理、基本方法的问用～第三问是体概每章末的“问问考问”和“问问问考问”～问问问目有一参参属部分于问合问～问度问大～涉及的知问面也问～广灵富于问化～问有一定的活性和技巧性。 中材中的问问一学数学教条确巩般是件充分、问问定、解法典型、供固知问的问问用。问些问问是问和日常问问等问问的～适合于问知问、问问技能。而数学教学学“问问”不问包括科问上的问问～教来也问包括那些自问问的问问～不问问包括“问问问问问式的问问(routine problems)”～也问包括“非问问问问问式的问问(non-routine problems)”～不问问包括件条充分、问问定的问问～确条确也问包括件不充分、问问不定的问放性问问和具有探索性的问问。“问问”适合于问问问和探究的技巧～适合于问行的学数学学学原始问问以及问如何。因此～者的两达学外延、所要到的问目的大不相同。 问然问问“问问”有一定的问～但不与区并数学教学学否问问问在中的作用。问了使生理解念、定理、法问～数学概数学全面系问地掌握知问～提高解问的技能、技巧～问问有着不可取代的作用。但是～问了培问生的问新学践挖精神和问能力～有必要掘数学中的“好问问”;“好”问问的特点在8,3,2问,。 3,问问解决 “问问解”的决学并含问是什问,不同者和文件的解问不问一～甚至同一文件中也有不同的提法。比问典型的问点可问问问以下5问, 1、问问解是心理活问～指的是“人问在日常生活和决会践社问问中～面问新情境、新问问～问问主它与没客问需要的矛盾而自己却有问成问策问～所引起的问求问理问问问法的一问心理活问。”(邵瑞珍～1982) 2、问问解是问程。“问问解是把决决学运前面到的知问用到新的和不熟悉的情境中的问程”。(NCSM《21世问的基问》～数学1988) 问就是问～问问解是一问问的问决个程、探索的问程、问新的问程。 3、问问解是问决教学国教没型。“在英～问问问问有将决‘问问解问'的活问形式看作教学将将决或的问型。他问问向于其看成问程附加的问西。”“问‘问问解'作问问程问的重要问成部分。” (Cockcroft问告～1982) 4、问问解是目的。决美国国数学会全管理者大;NCSM,在《21世问的数学基问》(1988)中问问“问的主要目的在于问问解”。因而～问问解问问问就学数学决学怎决 成问问的学数学决独独根本原因。此问～问问解就立于特殊的问问～问立于一般问程或方法～也立独数学体内于的具容。“20世问80年代以～世界上乎所有的家来几国 都把提高生的问问解的能力作问的主要目的之一。”;学决数学教学E、A Silver, 5、问问解是能力。“决数学况决那问把用之于各问情的能力～叫做问问解。”;英国Cockcroft问告～1982, 美国国数学会全管理者大(NGM)把解问问的能力决列问10问基本技能之首。重问问问解能力的培问、问展问问解的能力～其目的之一决决 是～在问个确学充问疑问、有问问问问和答案都是不定的世界里～问生存的本问。 上述各问解问～在形成上似乎不一并它致～但是我问问看到问所强问的共同的问西～即?问问解不问问问理解问一问具的技能～是所有生必问具问的一问能力～人问决体它学无问从践离它事何问问活问都不问～?在问问解的问程中～需要用到分决析、问合、抽象、概括、想象等多问智力活问～问于人的问展有着重要作用。? “问问解”在中决教学 问生提学个会教条学供了一问问、问新的问境和机～问问提供了一培问生解问能力、自控能力和问用知问能力的有效途。所以～问问是育所问的一主问。数学径数学教体条 而问于生问～“问问解”是指问合地、问造性用各问知问和方法学来决运数学去解决并数学内决学那问非问问问问问式的问问～包括问问问问和源于部的问问。在问行问问解问～生必问问合所学并它状况学当得的知问～把用到新的、困问的中去～问就需要生使用恰的方法和策略～需要探索和猜想。 因此～“问问解”决(Problem solving)比问问意问上的“解问”有了大的问展。问很问意问的“解问”只注重问果、注重答案～而问代意问的“问问解”更决决注重解问问的问程、策略以及思问的方法。“问问解”的问程是问问的问程～探索的问程～问新的问程决～问问解能力问展的基问是心～是决虚好奇和探究的问度～是问行问问和猜问的意向。因此～在中问问数学教学注意,(1)问生提学气氛供一问问松愉快的和生问活问的问问情景～;2,生的已有问问出问提出问问～从学学将学引起生问问问的迫切追求的愿望～生置于一问主问的参与位置～;3,大胆励学运鼓生用直问去问求解问策略～必要问可问一些提示～适并当延问问问～;4,问问各问成功的解法～如果可能的问～和以前的问问问系起来广概～问问问问行推～括出一般原理。 三、问问解的心理分决析 问问解不问是育的核心～决数学教学学也是心理问理问的重要问成部分。因此～问问解的心理问程最决学数学教研引人注目～问多心理家和育家问此作问究和分析～问然问点各～异来启参学却问我问问一定示～是问得我问考和问的。 1,问问解的心理机制决 “问问解”本是心理问理问中的一重要决学学个决部分～因此～问问问解的心理机制的究最研学决引人注目。但问憾的是～各问心理理问问问问解的解问不同～至今仍未有一问合性问解。行问主问理问问问问问解是“问问”～而个决格式塔理问问问问是“问悟”。从研来决个找人工智能究问展起的信息加工理问提出,问问解是一问问和接受信息、加工和问理信息的问程。 桑代克是美著国学决名的心理家～他通问“猫的迷问问问”问问了问物解问问问程所表问出的“问问问问”问象～提出了问问问问的理问。 桑代克所问置的迷问问问是把问问的猫问在迷问里～迷问外面有引问猫的美味佳肴～放入迷问的猫问始问抓乱乱冲会西问、撞问～在问问问问程中～猫偶然拉问打问迷问的问问～ 逃出问外。桑代克把出问冲内从内外的猫～再问问问～如此反问多次～猫被问问问到打问问问、出问冲来外的问问越越短。桑代克根据问一问问问问,猫在重问问问中～拉问问问引起的问足性行问的反问情与确境刺激问生问问～消除了问问等的不问足性行问～最后只有正的行问反问情与决学决境刺激问生问问～才形成解问问的问。因此～问问解是一问“问问问问”的问程～问所要解问问的途问行问问～在问问问程中～不地改正问问～直至问问问问解的即决径断决 途问径止。 与此相反～格式塔理问的代表人物苛勒用大猩猩问行了问问～提出了“问悟”理问。他问问问问的解不是由于问问问问～而是由于“问决内悟”。所问问悟就是在地把握情境的问系性～并个依此改问整情境。 问了问明人问的问～学苛勒在1913一1917年问以大猩猩问被问作了大量的问问问学研叠内将究～比问著名的有“接竿问问问问”和 “箱问问问问”。问问问～大猩猩被问在问～大猩猩喜问吃的香蕉放在问外不问的地方;用一即两来根竹竿问不着～根竹竿接起可以问得着的地方,。问有一内根短的竹竿～问外有一根问的竹竿。大猩猩问了取得香蕉～起初用问短的竹竿去问香蕉～但问不着～在问问情下～问况扔多猩猩常把竹竿向香蕉～然而在用一只取名“问丹”的大猩猩做问问问～便出问了问问性的问面,问了取得香蕉～他用问短的竹竿问到了一另当两根竹竿～他玩弄问根竹竿问～好像突然明白了什问～于是将两来根竹竿接了起(用问问的竹竿插入问粗的竹竿)～用问根接起来的竹竿问到了香蕉。 另个叠挂内外一问问是“箱问问问问”。香蕉在问子的问棚上～问有一只木箱。可以使用～要想问到香蕉～问将木箱搬到香蕉下面～然后爬上木箱～跳一下就能问到香蕉。问问问问于大个个没帮况决猩猩问是问问～但是“问丹”却在有助的情下问利地解了问问问。其他的个猩猩是在人把箱子搬到香蕉下面～或者他看到了其他猩猩使用木箱后才解了问问问。决个 两个并问问问明了一共同的问问～那就是～高问问物不像桑代克所肯定的那问是完全愚蠢的～而是具有一定智慧的～高问问物在问问解的问程中～用决运自己的问问和知问～在问问象做出问上的问察分体触析和问问问的思考后～直接接事物的本问～问问解问问的途～问问解是一问“问决径决悟”。 本世问50年代～西蒙和问威问问问问问解决往往遵循下述问程:把问问(如三两个角形全等问?)分解成次要的问问～;如,有问问相等问,能问明问问相等问,,再分解成次要的问问～直到问问问有了解答～就返回到上一问去。问是一探索问程～问了就回问问个找去 新的路问。由此看来决极～问问的问问解问程是由大量问问的基本元素之问相问问问的相互作用集聚而成～因此能问用问算机来个模问问问程～其中问解问策略的问悟是问问～问问信息加工的问知心理问点迅速学得到问展。1967奈瑟的问著《问知心理》问世后～问学知心理学学个学数学教便成问西方心理的一主要方向。问代问知心理的问展问育理问问生大的推问～很研决西蒙就曾问问问,“我问可以通问问方面的究问累知问～去解更重要的问问问问。如生解问问。”教学学会决数学 信息加工的问知理问把问问解的问程描述问问段,决两个(1)问和接受找信息问段;或叫做问同化,～包括了解和问会与条学掘所需要的解问件。生要用自己的问言问问命问～并体将构即整地问问吸问入已有的问知问问式(schema)中去。其中问问问问是解问者问问问本身的理解～以形成正的问问空问～作问解问问程的必要件～主要表问问确它条自己问问问的重新描述和在问问中的内决内确部表征～能不能解问问～就在于能否在部问生正的表征～用一并内般方法问部表征问行加工。;2,信息的加工问理问段。本问上问就是从将决从状自己问去已问掌握的方法问用于新的情境～通问探索问问空问去解问问。在已知问到目问问的问问解问程中～要问行一状决与系列心理操作、思问活问～问求策略问问～而问问是问策略的问悟。 上述各问心理理问不同的问面问问问解的心理机制问行了解问。问然问点各学从决异～但问我问问了一定的来启决并示。其问在解问问问程中～“问问”和“问悟”不是问问分问的～在同一探索问程中～者常常是两决交替问行的。在问问解的某些问问～或者通问问问问问的行问解问问～来决靠决并随或者全部依问悟解问问。不问～问些行问非完全是机的行问～而是逐问问找信息、建立起信息之问的问系～采取一定策略的有问问的行问。 2,波利问的解问四步问 在问及问于“问问解”的究问～决研当国数学数学无疑问首先提及美著名的家、教育家问治?波利问。他作问家～他在数学众数学数学概多的分支～如函问、问分、率问、问、问合以及问算和问用等问数数学数学域多有建问～留下了问多以他的名字命名的问问和定理。1963年～美国数学会个数学教曾授予他最高问问问。作问一育家～他曾以十年的问问数研数学启数学教学从数学研悉心究问法和～而问方法的问代究奠定了必要的理问基问。他的育思想的教宗旨是:“年问人教会学去思考”～培问生的“独会学立性、能问性和问新精神”～根据社需要把生培问成合格的人才。他问问一个学教教学人在校所受的育问问受益问生～他问成良好的育问问“系问地问生自己问问事物的机”、“问问会帮学教内学学助生自己再问问所的容”～问问能使生主问问～他特问 重问问展生的思问能力～强问要学数学数学教学学运学加强思问问问～要问展生用所知问的能力～问展技能、技巧、有益的思考方式和科的思问问问～他学数学教反问指出,育的目的不问问是问授知问～问要“问展生本学内身的问能力”。 波利问问问问解的数学决数学个宏问思考问程问行了分析～问问解问问分问四步问,?理解问问、?问问问、划划与?问问问、?回问问问。 我问问按波利问的解问四步问问问下问的解问问程,来 例如～在?ABC中～?A、?B、?C所问的问分问是a、b、c～且c=10～cosA/cosB=b/a=4/3～P问?ABC内切问上的问点。求点P到问点A、B、C的距离与的平方和的最小问最大问。 分析,第一步 理解问意 本问的件是;条?,c=10～;?,cosA/cosB=b/a=4/3～;?,P是三角形?ABC内切问上的问点～所求的问问是要求出P点到A、B、C三问点的距离的平方和的最问。 问问之～问是一道问于问形的最问问问。 第二步 问问问划 问想以前未曾遇到问问问问～但个与两曾问问也解问密切相问的问问问, 第1～已知三角形某些问角之问的量问数断状系～要求判问三角形的形或解出 它。 第2～在一定的三确角形中的某曲问上有一问点～求问点到三角形问点或三问的 距 离和或平方和的最小问。 于是原问问可分裂问问问问问的问问,两个 1a、b、c问?ABC的三问～且c=10～cosA/cosB=b/a=4/3～问定确?ABC的 形及其大状小。 2在定的确?ABC的内切问上有一问点P～问求PA?+PB?+PC?的最小问 与最大问。 问?小问～?ABC已具问了三件式～问问问问个条数当据以前的问问～只要问式问行适的推算～三角形不问解出。问于来确状?小问～在定了三角形的形大小以后～因涉及内个即数切问上一问点～问引入直角坐问系～能利用解析法列出目问函～其最问也可用一般的代三数个划角方法问利求出。至此～一比问完整的解问问可以问是问定了。 第三步 问问问划 由cosA/cosB=b/a～用正弦定理作代问～得cosA/cosB=sinB/sinA～ 即sinA?cosA =sinB?cosB或sin2B=sin2A 因问cosA/cosB =4/3～知A?B～且A、B是三角形内角～ 所以2A=π-2B～即B+A=π/2 所以?ABC是直角三角形。 再由c=10～b/a=4/3及a?+b?=c?～可解得a=6～b=8。 如问12—～建立直角坐问系～使直角?ABC的三问点个 问A;8～0,、B;0～6,、C;0、0, y 在直角?ABC中～有a+b=c+2r ～r=2～ B 所以～内切问的问心问Oˊ;2～2,～ 方程问;x-2,?+;y-2,?=4。 M N 问问上的任一点问P;x～y,～问有 P S=|PA|?+|PB|?+|PC|? O A =;x-8,?+y?+x?+;y-6,?+x?+y? 问81— =3{;x-2,?+;y-2,?}-4x+76 =3?4-4x+76=88-4x 因P是内切问上的点～故0?x?4～于是当X=4问～有最小问72～当x=4问～有最大问88。 第四步 回问问问 问于上面解问问程的算问问运无问后可考问, x=0问～P点问到运BC问上的M～此问的所求平方和最大问问88～当x=4问～P点问到问运M的直的一径另端点N～此问得所求平方和最小问问72。 此外～能否用问的方法问出问果来呢,问第?小问也可一问始用余弦定理作代问～问第?小问除问问不同的位置建立坐问系外～问上的问点P也可以利用式表参数示～于是有好几问解法;略, 本问问然是一道不问问的问合问～但善于解问的人也会从中问得一些有益的问问例如, ;1,如果本问前部分不用正弦或余弦定理作代问～后半部分不使用解析法～问仍能问法定三确并数角形推问出目问函～但解问问程的繁问程度明问上升。问问明～问于同问的素材;问问件,～问用不同的条区加工方法;解问方法,～其繁问程度是有问著 问的。 ;2,上问的解从答中～我问可以问问到问形中的最问常在问点位于某些特殊位置问问生。 ;3,使我问看到,注意形问合～使问算大问问化～数会并且可能揭露问问的问问。 四、影响决问问解的要素 影响决决响决问问解的要素是指问问问解问程有着问大影的一些成分。因问问问解是一问问的心理问程～需要生必问问问问的件问行个它学条从与加工问理～问问问问的基本问系特征问始重新问问已知念、定理～问问问问中基本概决元素的问系～探索和猜问问问解的策略和方法。因此～影响决很问问解的因素有多～如知问、问问、问机、信心、思问能力、元问知等～问问问～体来可问问以下三问, ;1,问问因素～包括解问者的人特征和问问的情个构境要素。如知问问、问于解问策略的熟悉程度、问问的问述方式等。 ;2,问知因素,如直问、想象、抽象、括、推理、分概析、问合、元问知等多问智力因素。 ;3,情感因素,如问心、欲望、问机、问趣、意志、信念等非智力因素。 问问因素、问知因素和情感因素三者之问有问并没它格的界限～问是相互问系～相互问充和制问的～其问系如问8—2, 问问因素情感的因素 年问、数学素问、问心、问机、忍耐、解问策略的熟知不安、意志、度、问问问的熟知问问…。 度…… 问问、思问、想象、分 析能力、问问推理能 力等…… 问知因素 问8—2 影响决问问解的问因素 1,舍菲问德影响决问问解的四要素 1974年秋天～正在从扑研怎事拓和问度问究的舍菲问德～问问了波利问的名著《问解问》。他惊决与数学研奇地问问～问中所描述的问问解策略他在究中所采用的策略竟是如此的相似。问使他非常问问～同问也感到十分的问憾,波利问的问1945年就出版了～但是那些有用的策略在他的生问代学没竟然有人介问问,如果有人在他大学一年问问就介问问本问～那他就可以少走问多路弯。 第二天～他问一位任担数学普特南问问培问工作的同事是否用波利问的问～得到的回答是,“有～没它没很惊数学什问用。”问使他问～他知道问位同事在问问培问上卓有成效～他问的问也问不无道理～但同问～他也肯定波利问作了一件有很价问的事。他问得问中问一定存在着分。歧 从两个那问起～问问一直问问在他的问中, “式的思问”表数学示什问意思, 我问如何帮学数学助生问行式的思问, 问问问两个达研促使舍菲问德问始了问十年的问问和究。1974年至1985年～他在波利问思想的问下问问问解问行了启数学决研数学深入、透问和系问的究。他在常年问问问于问问解问程的同问～问行了大量的有问意的问问和决并分析～在此基问上问一步问展了波利问的问问解的思想～数学决响决个系问问述了影问问解的四要素;问问的问源、探索法、控制、问念,～提出了问多具有普遍意问的问点和建问～其主要成果都问集在1985年出版的名著《解问》数学(Mathematical Problem Solving)中。问本问使他成 问在问育界有重要国数学教响数学决影的问问解问家。 舍菲问德通问问期的问问究和研个众响案分析～问问在多影数学决问问解的因素中的主要因素问,问问的问源、探索方法、问问和问念系问。 ;1,问问的问源 即决个体解问问问所问有的知问、已数学决掌握的事问和算法。问然～“问问解”以一定的知问问必要件～但条舍菲问德强问的是知问的表述方式～知问的良好问问。事问上～波利问也曾明地提出了问一思想,“问确个源充足和问问良好的知问问问是一解问者的重要问本。良好的问问使得所提供的知问易于用上～问甚至可能比知问的泛更问重广要。” 学学数学构称数学问的问知理问把问者问问中的知问问问问知问。问知问是指构数学构学 问者问问中的知问～数学个按着自己的感问、知问、问问、思问等问知特点～问合成的一具有内体构部问律的整问。人的思问数学数学依问于必要的知问和问问。知问正是解问思问活问的出问点与凭并它借。但是～问问在问问中存在知问～不能保问能得到有效的问用～丰并构与找条富的知问加以问化的问才能问问意的本问理解思路的迅速问问造成功的件。即良好的问知问才有利于构在问问解问程中决运信息的提取和用。 Lawson和Chinnapan;1994,问愿意问而成问不学决研佳者的问问解行问问行了究。他问采用考问后问生学并自由回问和提取回问的方法～问问问生能问问起大量的相问的知问能有效地利用之～而问学即学困问生不问问起的知问量少而且也不能有效地利用之。问困问生的知问问问构没系问量不高～或是某问问系建立得不问完善～有问系的知问不能被激活～而问系微弱的知问不容易被激活～知问问问不良易问致问问解的失问。而问决数学秀生大多自会断内个问地、不地建立知问之问的问系～使之在“化”问程中成问一有机的整的、的体网状体构状或立问的问。构数学会数与例如～问秀生把函问像x问的相交与来与数与方程和不等式的解问一起考问～于是～解析式问像、函方程、交点与研达解都成问同一究问象的不同问面～或不同表方式～而不是不同的问象。 ;2,探索方法 即与响决画问理非熟悉或者非常问问问的策略技问。是影问问解的重要要素。包括出问形、引问适的当号与确符、探索相问的问问、重新表述问问、问一步考问、问问定程序等。 舍菲问德在《解问》中～不但问合解问的问程问问地指明了各问段的探索法问数学 ;问考第三问,～问参体集中地问如何使“探索法”具化的问问问行了探问。舍菲问德指出,问某一探索法问问行描述以使生能问出学并并学欣问问一法问的问用～不等于生本人能有效地问用问一法问即决去解问问。事问上～后者要比前者困问得多～但问却又正是“探索法”教学(更问一般地问～就是数学教学)所问问问的目问。舍问问德问问～问了问问问一目问～“探索法”的就问更问问教学致。 例如～问了帮学助生问好地掌握“特殊化”的方法～舍问问德列问了如下例子, 两个问问问5的正方形合放叠个另个个置～其中一的中心恰好位于一的一问点之上～问定重合确部分的面问的可能范问, 考问特殊情形～如问即83—、问84—所示的情况 问83 —问84— ;3,问控 问控是指问于所从称事的解问活问的自我意问、自我分析和自我问整～有人也问元问知。包括解问者用已有知问的效运个率～问问问源和解问策略的问问～问整解问问程的问问、问控与来决研问价。可以问问“问控”的突出强问～是波利问以“问问解”理问究所取得的重要问展之一。 元问知(metacognition～又问问反省问知)～是描述人问个自己问知问程的自我意问和自我问问、问控的问问。问一问问最初是由弗雷威问提出的～强问它个信息加工问程中人的主问意问。元问知问整个响个体加工问程起到控制、问行的功能～是影能否有效地加工信息、解问问的问问。正因问如此～受到心理家决它学来越越多的重问～以至斯问伯格提出的智力成理问份将个份元问知作问一重要的成。 舍菲问德通问生和家问问解问问程的比问究问问,生学数学研学往往不加思考地采取某一方法或解问途～径径构或问是在各问“可能的”解问途之问徘徊～却始问未能思出一问问明的解问方个确另径案～外～在沿着某一解问途走下去问～问又往往不能问自己目前的问境做出清估并醒的问由此而做出必要的问整～而只是“一股问地往前走”直至最问陷入了僵与数学体局～而一无所问。此相反～家在具采用某一方法或解问途径个数前～往往问各问可能问问了仔问的考问～在整解问问程中问得“心中有”～即清并清估并楚地知道自己在干什问和问什问问问干～他问能问目前的问境做出醒的问～由此去做出必要的问整。使在出问问问的情下～他问即况会弃也不问问地抛已有的工作～而是力问中从决吸取有益的成分～最后～在成功地解了问问以后～他问又能自问地问所问行的工作问行回问～特问是考问是否问存在更有效的解问途。由此表明“问径控”的在问问解中的重要性。决 ;4,问念系问 既数学体数学解问者问本问及如何思考的问看法～包括解问者问于～问于自己～问于问境～问于问问等的问问～也可以问是一人的“世界问”。其中不问个数学涉及到了问于“什问是”、“问问数学当怎从数学研当怎决去事究”、“问问去解问问”等问问的问问～ 而且也包括了问“问于自身数学国数学教能力的问问”等多问成分。有不少美育工作者曾从国学状当问问的角度问美生的“问”问行问分析～其所得出的问问问引起我问的高度重问和深刻反思。 例如～以下就是美生中十分普遍的一些问念,国学 只有问呆会数学子才喜问～ 数学即与是无意问的～日常生活毫无问系～ 学数学问的方法就是问问和仿你真搞懂模～不用去理解～也不可能正～ 教学问的问问是“问予”～生的问问问是“接受”～ 没学懂数学有问的问西就不可能～只有天才才能在中做出问明问造～ 教个来问所问出的每问问都是可解的～我解不出是因问不问问明～ 问问中所问出的件问于问一问问的解问一定是“条决来即决恰好的”～问了解问一问问～你个条另真个条必问用到所问出的每一件～外～如果正用到了每一件～问就一定可以解问一问问～决 每个确问问都只有唯一的正解答～ 每个确问问都只有唯一的正解问方法～ 每个问问都只需花问5一10分问就可解～决凭否问就不可能问自己的努力而问得解～决 教学坏教问是最后的仲裁者～生所问出的解答的问问和解问方法“好”都由问最问裁定～ 数学从教学问明只是问一些人问早已了解的问西去问行问问～而是一问“游问”～而没真有任何正的价问～ 问察和问问是不靠从数学没住的～而在中就有任何地位～ 猜想在中数学没数学也有任何地位～因问是完全问格的～ 问然～上述问念必然问生的问问生大的消会学数学学极极响清影。特问是～我问问问楚地看到问问问念问于“问问解”的消决极响影。 例如～舍菲问德就曾通问以下的例子问此问行了分析。问是美第三国国教次全育问展问中的一问问。估个 例如～每问问卡可以问36个士兵～问有1128个卡士兵需用问送到问问问地～问需用多少问问卡? 问问的问果表明～有70名学确即生正地完成了问算～得出了以36去除1128～商问31～余数问12。然而～就最问的答案而言～却有29名学生回答道“需要31余12”～有另18%的生的学答案问“31”～而只有23名学生问出了“32”问一正的解确答。 问于问一问果舍问问德分析道～“生回当学没答汽问有余问～他问问然有把问一问问看成是问的。他问把真它学虚构数学——看成是校中的问问问了问问而学杜撰的故事～而问生所需做的只是问行问算把并数写来学从哪学得下。……生是里得问问的荒问做法的～正是在他问的问堂中～数学数学帮学学会通问机械的问问。我问希望问能助生思考。但问问的问问问在是相差太问了。” 2,除了以上四个两个响决要素外～我问问问以下要素也是影问问解的重要因素, ;5,能力数学 问问解问问地接受知问不同～需要所的知问问问中问索出～问行重新决与它将学从来 整理和问合～用解新的问问～因此～要成功地、迅速地解问问～需要并来决决多问能力的问合～问于解问问起作用的能力～最基本的有以下问,决几数学?问材料的形式化知问能力。?抽象括能力。概找决径?通问直问、问问的思考～问和探索解问问的途的能力。?解问问后的问能力。决估 ?问材数学个数学摒弃料的形式化知问能力。所问形式化是在一特定的问问中各元素的具体数学含问～抽象出元素之问的问粹的相互问系的问程。在感知问问情境问～数学材料的形式化知问能力起着重要的作用。 首先～定着问问问所提它决供的信息问行分析、问合问理的问量～具有形式化知问能力的生能学从众条离多的具有问问背景的件中分出具有本问特征的问问要素。 其次～具有形式化知问能力的生在学感知问容易问生推理问程问问的问象～他问能摒弃体抓它构已知元素的具意问～立刻住问的本问问系～快速地掌握问问的问。因此～在相同的感知问问的件下～形式化知问能力不同的生问数学条学得的信息不问问量不一问～而且速度也不一问。 xx(2?3)(2+3)+=2例3 解方程 xy=(2?3)解,问 1y+=2 原方程问问,y y=11,2解得, x(2?3)=1于是有 即 X=0 ?抽象括能力。问问解中的抽象括表问问方面～概决概两 一是问问从体数概系问中的具事物、特殊据出问～括出问问的抽象模型。 例4、问自然数列1, 2, 3,4,……问行问察,你忽然问问: 10=3+7 12==5+7 20==3+17 并它且看出问的问似:等号数左端都是偶,而右端是两个数奇素。但是问于其余的偶数,是否也可以得出同问的问问呢,2和4都不行,而可以表问两数奇素和的第一个数偶是6: 6=3+3 同问8=3+5～14=3+11=7+7等等, 那问,是不是任何大于4的偶数两数呢两都可以表问奇素和的形式,千多年前～哥德巴赫从数概上述的特殊据出问～括出了著名的哥德巴赫猜想。 二是一些问问的特从决尚与并殊的问问解中得出以前未知问的一般问律原问～问用于问问问问的解。决 例5、问明,log9log?1089 问明, 2 +lg8lg10×lg(810)lg80lg81lg92 所以 •lg8lg10(lg9?)•??=lg8lg10==lg=9 22222 lg9lg10 ? lg8lg9 即 log9log?1089 此问可以推问,广～且问明方法相同。+?log(n1)log(n2+)?n1n+1 克问捷茨基根据大量的问问～得出问问:概学概括能力强的生具有最大限度括的特点～特问表问在括的度和速度上。他问能问迅速问问问概广体藏在具问问后面的普遍性～看到问蔽在外部表面问象深问的本问问系～排除干问～出找那些主要的、基本的问系和问～中问问构并从与熟悉的模式。而熟悉的模式已有问问相呼问～问解问提供了思路。 ?思问的活性。表问问灵从运另自由而问易地一问心理算问向一问性问不同的心理运算。 在具的解问问程中表问问～探索起点活～能体灵从多方面去问探问问的解法;探索问程活～问定灵脱响型化的、问用的解问方法的束问影～不问力地重新问合建立了的思想模式和算运确径系问。正掌握合情推理和问问问问的有机问合的思问方法～也问解问途的探索起着一定的作用。 例6、有甲、乙、丙三问问物～若问甲3件～乙7件～丙1件～共需30元～若问甲4件～乙10件～丙1件～共需40元。问在问甲、乙、丙各一件共需多少元。 解,问问甲、乙、丙一件各需X元、Y元、Z元～得 3x+7y+z=30{ 4x10yz40 将上述方程问问化问, 2(x+3y)+(x+y+z)=30{++= 3(x3y)(xyz)40x+y+z=10直接求出;元, ?解问问后的问能力。问问有了解的问法～决估决确或已得正的答案～不能算是问++++= 问解的问决估决个趁底完成～问问包括解问者自我反问和问。在解一问问之后～着自己问完成任问的问问和感受印象问的问清晰候～不失问机地回问自己做出的努力～探索克服困问解问问的问问～问是问问解问问律和方法～提高解问能力的最决佳问刻。 例如～例5、问明,～此问推问,将广～且问明方法+log9?loglog?10(n1)log(n2+)89nn+1相同。 ;6,情感问度 情感问度主要是指良好的心理素问～如问机、问趣、抱问、问度、品德、意志等非智力因素。非智力因素问于问问解的作用～其问于问明问问的作用是一问的。一决与 个学靠研生的成材不问要依问于智力因素～而且更重要的是依非智力因素。有人究众数多问问问问金问得者少年问代的智商问问,其中大多不是高智商～而是中等或中上等智商～但问些问造性人才的非智力因素或问造性的人格却都是十分人的。惊学 生的问活问是学学个智力和非智力因素的问合效益。非智力因素在问活问中和整智力活问及问展中的作用主要表问在问力、定型与问问3方面。如强个学烈的求知欲和问问趣会学极学确学问生强烈的问主问性和问性～自信心及勤问踏问的性格～可以使生定问目问～克服因知问基问问差而问的来智力或能力的弱点。 问问庚教授问:“问明在于问～学天才由于问累。”1995年5月～在中国数学会60周年年上～问大问问会国数学教学数学体会省身授问的问～胸有成竹地问:首先是用功～不用功什问也问不上。 波利问也问:“问问解问问粹是一问智能活问是问问的～心情问所起的作用重决与很 要。”他强问问:“生解问是意教学教当学来并志的育。生求解那些问他问问不太容易的问目问～他了问而不问～了问问学会学会学会学会微小的问展～了等待主要的念问～了主要念问出问后当学学没会尽全力以赴。如果生在校里有机问问问求解而问斗的喜怒哀问～那问他的育就在最重要的地方失问了。”数学教 77a+a+,a(1?2x)=a+ax+,+ax～那问127= 例如～已知017 [1989年理科高考问] a+a+,a分析,相当一部分考生的答案问-1～其问=—2127 aa+a+,a而所求的问～问再去减0=1～而从127=-2 究其原因～我问问问是考生一问问型熟悉很没真清匆匆有问看小问化～就作答～问果“而不问”会 五、问问的问问 问问的问问是问问解问程问问的问问数学决教学,必问问问一些“好问问”,所问“好问问”问问具有下面一些特点: 五、问问的问问 美的家国数学哈问莫斯;P?R?Halmos,问问～问问是的心问～他问,“数学数学 究竟是由什问问成的,公理问,定理问,问明问,概没念,定问,公式,方法,问然～有问些问成的部分～就不数学数学它存在～问些都是的必要问成部分～但是～问中的任何一都不是的心问～的心问是问问。因此～问问的问问是问问解问个数学数学数学决教学 程问问的问问,必问问问一些“好问问”, 那问什问是好的问问呢,我问问问“好问问”问问具有下面一些特点:;1,具有一定的问问意问～;2,具有多问不同的解法～问放性～;即3,具有一定的问展余地～;4,问涵重要的思想方法～;数学5,具有一定的探索性. ;1,具有一定的问问意问或与学生的问问生活有着直接的问系～问问有趣味和魅力。 例如～一卷问的是胶内径5厘米～外径是10厘米～问问胶厚度是0?01厘米～问卷问问有胶多问, 问问问个从学可以不同的角度求解～问指问 要问从横截面的角度问出了下面的解法, 问卷问的胶横个截面是一问问～其面问问 O B A 22(10?5)π～问问的胶厚度问0.01厘米～所以 22(10?5)π?0.01=7500π?胶问的问度问,236m 此问问可从微问分的角度思考。 ;2,具有多问不同的解法或多问可能的解答～问放性。即 一个来决决数好问问常常可以用问多问不同的方法解～问问解的问程可以在代解答中、何解几数学答中、甚至可以在三角函中问求到解答。问问的问问可以使生明白通常有问多途径数学学个去解剖一只“麻雀”～使生明白解问不问问是问问地得到一答案～而是问问的问问和思想。数学 x,x,y,y例1,若均问问～求问数1212 222222 +(xx+)(+yy)?x+y+x+y12121122 方法一,;略,问明不等式的常用方法～问而问想到重要不等式 A(?x,?y),B(x,y),O(0,0)方法二,不妨问点1122 B(x,y) 22 A(?x,?y) 11 0 ?ABC中～有AO+BO?AB如问～在 2222AO=x+y～BO=x+y 而1122 22AB;xx,;yy,=+++ 1212 所以～不等式成立。 z=x+yi～z=x+yi方法三,问111222 2222z=x+y～z=x+y问111222 22z+z=;x+x,+;y+y,121212 z～z有z+z?z+z121212又因问～问于任意问数 所以～不等式成立。 从数几数决个问道问～我问看到问问是一道代问～但我问用何方法、问方法却解的问问 问～而且方法问问～使我问问问了之问的问问～问问了问数学决来野。问于问问解问程问～用三问 方法解答一问问～比解个个个答三问问而每问问只用一问方法更有价问;3,具有一定的问展余地～可以推广或问充到各问情形。一个并找好问问不一定在到问意的解答问就问束～所求的答案可能暗示着可以问 原问问的各部分作问问问化。如把问问从几个二问平面何的问问问问三问空问的问问～固定一问量 而改问一～问问的特另个将广殊情形推到问一般的情形等。 222xyz++?x+y+zx,y,z?0例2～问～求问yzx 2222a+b?2ab?a?ab?ab?b问明,因问 a(a?b)?b(a?b)即 a(a?b)?a?bb?0 若问b 而?+?+?xyz(x)(y)(y)222yzy xyz=?+?+?(xy)(yz)(zx)yzx ?x?y+y?z+z?x=0 222xyz++?x+y+z所以yzx 仿上述的问明方法～只问注意到 y+y+,+y=x+x+,+x12n12n 即可问明 在问明后～可引问生探索一学个数呢般问律～问多正是否也成立,x,x,,x?0问12n 2222xxxxn?n121?x+x+,+x++,++求问, ;2,12nxxxx23n1 事问上;2,是成立的～且问明方法与相同。 问一步思考～问;2,式我问问问左问各问的分母具有一问特殊的问序。在分母不具问问问问序是否也有同问的问问, y,y,,y是正数x～x～,x问12n12n的某一排列～ 222xxx12n?x+x+,+x++,+求问,12nyyy12n 从从断学数问道问不问看出～问问到问问～使问问问问深入～思问不深化。问生提供“做学会学学会学会将广”的机～使生思考～问问问问。问问的特殊情形推到问一般的情形～使生特学学会从数学殊到一般、问问、抽象的思考方法～加深问思想方法的理解。 ;4,具有一定的启数学示意问～问涵重要的思想方法。也就是问～不问问问本身是有价问～而且解问问所决它学数涉及的思问模式也同问有价问。有利于生问得有问的学决体运从知问和思想方法～也能问问问解策略的具用提供良好的素材。而～问就不问是所问的“偏问”“怪问”。目的是希望问些问问能问把生学真引向正的、问问的、有价问的。数学 例3～新校学恰有1000把问和1000名学学学教学楼生。问那天～生问在大外集合～一并划学学致同意下述问,第一名生问入校后打问所有的问。然后～第二名学学并号数学号生问入校且问上问问偶的问～第三名生改问所有问问3的倍数状的问的问;把问着的即学号打问～把问着的问上,～然后第四名生又改问所有问问4的倍数的问的状问～如此下去。直到1000生都问入校～学学并状哪且改问了相问的问的问问止～问问些问最后问问着, 问问,问问就1000把问问行问问～来来看是无问果的～因而问我问分析10把问和10名学并找个生的情形～且问问一下能否到一模式。 问的问号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 生 学 1 问 问 问 问 问 问 问 问 问 问 2 问 问 问 问 问 问 问 问 问 3 问 问 问 问 问 问 问 问4 问 问 问 问 问 问 问 5 问 问 问 问 问 问6 问 问 问 问 问7 问 问 问 问8 问 问 问9 问 问 10 问 我问看到问问号1～4～9的问仍日然问着～而其余的全问上了。于是我问得出～当1000名学学号数生都问入校以后～只有问问完全平方的那些问仍然问着。 问的“改问”一次问问着的问的一因它号个数子～要使问仍然问着需要奇次“改问”。什问问的有数数个呢数奇因子,只有完全平方。 解问问所决学数学涉及的思问模式“特殊到一般”～有利于生问得有问的知问和思想方法。 ;5,一“个数学当好”的问问问具有问强的探索性～要求人问具有它独某问程度的问立问解、判断力、能问性和问造性。问就如波利问所指出的,“我问问里所指的问问～不问是问常的～他问问要求人问具有某问程度的独断立问解、判力、能问力和问造精神。”问里所提出的“探索性”的要求是和生的问问水平学相适问的。。 例3,A校离学10千米～B离A有3千米～问问B离学几校千米,;荷问, [问明]问是荷问弗问登塔问究所所问数学研德朗治1993年在上海数学会作问告问介问的问目之一。问道问的特点在于有指明没A、B、校三者是学条否在一直问上～或一个平面上～或在三问空问上。 问目的问式非常普通～问直像一年问小学内很生做的问问～但是深入一想～问得涵深。问问在于“表问”能力的用。数学运 1、若三点在一直问上～条答案是7或13。 A B 校学 B A 校学 2、若三点在一平面上～个 学几学问平面何的生～问问用问表示A～B的位置～此问的答案是问区[7～13]中任何数字。 B A 校学 学几学画离来问解析何的生～可以直角坐问系～用坐问和距公式表示。 学数数数数来问问方程、问的～也可以用问方程、问表示。 也可用余弦定理求解来 3、若三点在三问空问～问需要用球面表来示 ;6,问问的表述问问问当懂即决易～容易接近。问问解入口问不需要多少形式的背景、特殊的知问和方法～问用不着教很学会去提供多的背景信息～生也不被问问的背景所限制。问就如同希问伯特所指出的,“问里问理问所问数学清晰持的性和易懂个称数学性～我想更问以之作问一堪完美的问问的要求。” 当个并个体然～上面所列问的各问准不可能在每一问问中都得到充分的问。事问上～所问问问的“好”“”只具有与坏教教学相问的意问。但是～我问问在中问努力去挖献学掘“好”的问问～奉问问生。