函数、极限、连续

函数、极限、连续 第一章 函数、极限、连续 第一次 讨论题及练习题 {a}1(下列说法能否作为是数列的极限的定义, an1 (1) 对任给的，，使得当时，不等式成立; m,N，N,Naa|,|,n,N，，nm|a,a|,,(2) 对于无穷多个，存在，当时，恒有成立; N,N,,0n,Nn， |a,a|,,a(3) ，，当时，有无穷多项，使成立; ，N,N,,,0n,Nnn，,10,10,,10(4) 对给定的，不等式恒成立。 |a,a|,100n {a}2(说明下列述都可作为是极限的定义。 an |a,a|,, (1) ，，N,N，当时，恒有成立; ,,,0n,Nn， |a,a|,,(2) ，，N,N，当时，恒有成立; ,,,0n,Nn， |a,a|,k,(3) ，存在，N,N，当时，恒有成立，其中是正常数。 ,,,0n,Nkn， {a}{b}3(若与是两个发散系列，它们的和与积是否发散,为什么,若其中一个收敛 ，一个发散，它nn 们的和与积的收敛性又如何, {a}4(用语言表述不收敛于。 a,,Nn 5(下列计算方法是否正确,为什么, n11，，111,,,,,,,,,,,lim1，？lim1，,1(1) ; ，,，，lim1lim1？1,,,,,,,,,,,,n,,n,,n,,n,,nnnnn,,,,,,,,,,，， ，n，1nnn1nq,qqmilq,aa,limq,qlimq,aq(2) 设，若，因为，两边取极限得，q,1,,,,,,nnnnlimq,0从而必有，故。 a,0n,, a,q,0(a,p,0)，N,N6(证明:设lima,a,0(,0)，则，使，。 ,n,Nnn，n,,n 7(下列结论是否正确,若有正确，请给出证明;若不正确，请举出反例。 (1) 若lima,Alim|a|,|A|lim|a|,Alima,A，则; (2) 若，则(); A,0nnnn,,,,,,,,nnnn lim|a|,Alima,0lima,Alima,A(3) 若，则; (4) 若，则; nnnn，1,,n,,,,n,,nn an，1lim,1(5) 若lima,A，则; (6) 若对任何实数，lim,a,,A，则lima,A nnnn,,,,,,,,nnnan 8(用定义证明下列极限 ,,N nsin{x}lim,0limy,0limxy,0 (1) ; (2) 若有界，，则。 nnnn2n,,n,,n,,n(，1) {a}{a}9(设由数列的奇数项与偶数项组成的两个子列收敛于同一个极限a，证明也收敛于a。 nn lima,alimb,blimab,limalimb,ab10(试证明:若，，则。 nnnnnn,,,,,,,,,,nnnnn11(证明:任何实数都是某个有理数列的极限。 {a}12(单调有界收敛准则中，若“数列单调增(减)”改为“从某一项之后单调增(减)”结论成立吗,数n 列 1011n，9a,,？？ n132n,1是否收敛,若收敛，试求其极限值。 课外作业:1(完成上述讨论题中尚未讨论的题; 2(习题1.3，(A)(2((5);10((1)(3);11((4) (B)(4((3)，(4);6;8; 3(指出下面的作法是否正确,为什么, y,y，1y,0? ，() n,1,2,？nn,10 ? ，从而 limy,limy，10,1nn,1n,,n,, 第二次讨论题及练习题 1(写出下列极限的定义 x,x (1) limf(x),a (2) 时， f(x),，,0x,, x,x(试用语言来表述当时不收敛于。 2f(x)a,,,0 3(证明limf(x),a,limf(x),limf(x),a。 x,,,x,，,x,,, 2x1lim,4(用极限的定义证明。 x,1x12， x,x5(用语言给出时是无穷小量的定义。 ,(x),,,0 6(下列命题是否正确,若正确，请给出证明;若不正确，请举出反例。 limf(x)lim[f(x)，g(x)]limg(x) (1) 若与都存在，则存在; x,xx,xx,x000 limf(x)limf(x)g(x)limg(x)(2) 若与都存在，则必存在。 x,xx,xx,x0007(利用两个重要极限求下列极限。 3x2,, (1) limxcot2x; (2) 。 lim1,,,x,0,,xx,,8(下列说法是否正确,为什么, (1) 无穷大量一定是无界变量; (2) 无穷大量与有界量的乘积是无穷大量。 1,cosxlim9(利用无穷小的等价代换求极限。 2x,0sinx xx,10(证明:函数f在连续f在既左连续又右连续。 00 xxxx11(两个在处不连续函数之和在是否一定不连续,若其中一个在处连续，一个在处不连0000 x续，则它们的和在处是否一定不连续, 0 12(证明:若f连续，则|f|也连续，逆命题成立吗, 2n1,xf(x),limx13(讨论函数的连续性，若有间断点，判别其类型。 2n,,n1，x ,,x,Ix,x(n,,)x,I14(证明:函数在处连续，，有f:I,Rnn00 。 limf(x),f(x)n0,,n 5(证明方程至少有一个正根。 15x,3x,1,0 a,x,x,？,x,b[x,x]16(若在上连续，，则在上必有，使f(x)[a,b],12n1nfxfxfx()，()，？，()12nf。 ,(),n 17(证明:若在内连续，且存在，则必在内有界。 limf(x)f(x)(,,,，,)f(x)(,,,，,)x,, 课外作业:1(完成讨论题中尚未讨论的题。 2(判别下面的作法是否正确,为什么, 1sin1xlimsin,lim,1x 1x,0x,0xx 3(习题1.4(12((1)，(3)(13((8)，14((1)( 习题1.5(4((1)，5((1) 习题1.6(9((3)，10((1)，13((1) 4(证明方程，其中，，至少有一个正根，并且它不超过。 x,asinx，ba,0b,0a，b 第二章 导数及其应用 第一次讨论题 1(设在的某邻域内有定义，则在处可导的一个充要条件为。 f(x)f(x)x,ax,a 2f(a，x),f(a)1limA) 存在，B) 存在， limn[f(a，),f(a)]2x,0n,,xn f(a，,x),f(a,,x)fa,fa,,x()()limC) 存在，D) 存在。 lim,x,0,x,02,x,x xx2(若f(x)在处左可导且右可导，试问:函数f(x)在处连续吗,反之如何, 00 xx3(1) 如果f(x)在处可导，那么是否存在的邻域,在此邻域内f(x)一定可导 00 xx 2) 如果f(x)在点处可导，那么是否存在的一个邻域，在此邻域内f(x)一定连续, 00 4(可导的周期函数的导数还是周期函数吗,非周期函数的导函数一定不是周期函数吗, ,,(x),xx,0,f(x)5(设有分段函数,(x),(x)，其中和均可导，问,,(x),x,x0, ,,,(x),xx,0,f(x)是否成立,为什么, ,,,(x),x,x0, 6(导数与微分之间的区别与联系是什么, 7(能否用下面的方法证明Cauchy定理,为什么, g 对，分别应用Lagrange定理得: f ,,,,f(b),f(a)f(),(b,a)f(),, ,,g(b),g(a)g,(),(b,a)g(,)(1) 若Rolle定理的三个条件中有一个不满足，试问Rolle定理的结论是否一定成立,为什么, 8 2) 设，且在内可导， f,C[a,b]f(a,b) ,试问:Rolle定理的逆命题成立吗,即，若，使，是否一定存在，，,,(a,b)f(,),0, ，使, ,,[a,b]f(,),f(,) 3) 如果将Rolle定理中的条件改为:在内可导，和存在且相f(x)(a,b)f(a，0)f(b,0)等，Rolle定理的结论还成立吗,为什么, 9(1) 证明微分中值定理(Lagrange定理、Cauchy定理)的主要思想方法是什么,微分中值定理主要揭 示了什么, 2) 微分中值定理可以用来解决哪些相关问题, 3) 构造辅助函数的方法有哪几种, x10(设在处二阶可导，则 f(x)0 ,,f(xh)2f(x)f(xh)f(xh)f(xh)，,，,，,,00000limlim ,2h,h,002hh ,,,,f(xh)f(xh)，，,00,, limf(x),,0h,02 试问:1) 以上解法是否正确,为什么, 2) 正确的解法是什么, 3) 如何改变原题设条件，才能使以上解法正确, 11(1) 运用L Hospital法则能求哪些类型极限, 2) 运用L Hospital法则求极限时应注意哪些问题, 第二次讨论题及练习题 1( 已知f(x)在其定义域内可导，它的图 ,形如右图所示，则其导函数y,f(x)的图形为: ,f(x),0x2(如果，由此可以断定f在的某邻域内单调增吗,为什么, 00 xx3(如果函数f(x)在处取极大值，能否肯定存在点的邻域，使f(x)在左半邻域内单调增，而00 在右半邻域内单调减, 4(函数f(x)在[a,b]上的最大(小)值点，一定是f(x)在极值点吗, ,,5(有人说:如果可导函数f(x)与g(x)当时，有f(x),g(x)，那么，当时，必x,ax,a 有f(x),g(x)，这种说法正确吗,为什么,附加什么条件以上说法正确, 6(利用导数的知识证明不等式常用的方法有哪些, 7(利用导数的知识讨论方程根的存在性和根的个数时，常用的方法有哪些, 8(求解最大最小值应用问题时，如何建立目标函数, 9(设水以常速(即:单位时间注入的水的体积为 常数)注入右图所示的罐中，直至将水罐满。 1) 画出水位高度随时间变化的函数的图形，(不要求精角图形，但应画出曲线的凸y,y(t) 性并表示出拐点) 2) 在何处增长最快，何处最慢,估计这两个增长率的比值。 y,y(t) 3x，410(设y, 2x 1) 求该函数的增减区间和极值， 2) 确定函数图形的凸性及拐点， 3) 求其渐近线， 4) 作出其草图。 ,f(x),f(x),f(x),，o(,x)x11(我们知道，若在处可微，则该结论与带有Peanof(x)000 余项的Taglor定理有何联系,有何区别,两种余项(即Peano余项、Lagrange余项)的共同之处是什么,不 同之处是什么, 12(设圆柱形铁皮罐头的体积为，高为，底面半径为，若给定，问 rVhV h应为何值时，可使罐头盒的表面积最小，从而使材费料最小, r h 1) 不考虑材料的浪费等因素，试证时，罐头盒的表面积最小。 ,2r 2) 罐头盒的侧壁是用矩形铁皮围成，从大铁 皮板上切割矩形片不会产生多少边角费料，而如 果从一个正方形铁皮上切割一块块的圆生，不可 避免地余下一些边角料而造成浪，如右图如果把 费弃的边角料也计算在所用材料中，那么为了使 h8用去的材料最省，证明: ,,2.55r, 第三章 定积分及其应用 第一次讨论题与练习题 1( 下列积分哪些相等，为什么,其中 bbbb2222f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(u)du? ? ? ? ,,,,aaaa2( 用定积分的几何意义说明: 2,0,n为奇数,n,,sinxdx n,,2sinxdxn为偶数,,00, ,3( 试述原函数、定积分、不定积分的关系。设f(x)连续，F(x),f(x)，，a,b,Ix,I,R 说明下列等式是否成立，为什么, xb?f(x)dx,f(x)dx，c ?f(x)dx,c,f(x)dx ,,,,ax bbx,?f(t)dt,f(u)du ?F(x)dx,F(x) ,,,aaa xdd,F(x)dx,F(x) ? ? f(t)dt,f(x)dx,,,adxdx 22,0,0,x,xxx4(函数(),与(),在[-1,1]上是否可积,fxgx,,x,0x,0x，1x，1,,11g(x)dxg(x)dx是否相等,为什么, ,,,1,1 f(x)dx5(同题4，怎样计算，小结分积函数不定积分与定积分的计算法。 f(x), 6(在[a,b]上可积与在[a,b]上原函数存在是否一回事,考察下列两个例子，说明这个问题。 f(x)f(x) 1,2,xsinx,02?求其导函数。 F(x),f(x),x ,x0,0, ?同例4，这两题中的在[-1,1]上是否可积,原函数是否存在, f(x)f(x) 1fx(),,,(x),f(xt)dt7(设连续，(常数)，，求并讨论的连续性。 f,(x),(x),Alim,0x,0x x1xxdddd44448(计算，，，，1，tdt1，tdt1，tdt1，tdt,,,,0x0xdxdxdxdx xd(连续)，并小结变上限积分的求导法。 f(x)(x,t)f(t)dt,adx 22x,tsintudtx,du,2,,0dy,01，t1，u9(计算?，?，求并小结变上限积分求导的综合题还有lim,4,0xtudxx,ydu,2,,01，u, 哪些类型。 10(设f(x)在[a, b]上可积，且f(x),0 bf(x)dx,0?若f(x) 0，则，是否成立, ,a bf(x)dx,0f(x),0?若，则是否成立, ,a f(x)g(x)f(x),g(x)f(x)g(x)?若，都在[a, b]上可积，，且 ，则 bbf(x)dx,g(x)dx是否成立, ,,aa f(x)g(x)[,,,]?若，在[a, b]上可积，且在[a, b]的任一个子区间上 ,,f(x)dx,g(x)dx，那么，是否成立, f(x),g(x),,,, ?若，都在[a, b]上连续，则上面四个结论是否成立,若成立，试证明之。。 f(x)g(x) ，x,(0,1)[0,x]f(x)11(设在[0, 1]上非负连续，(1)证明:，使在上以为高的矩形y,f(x)000 [x,1]面积等于区间上以为曲边的曲边梯形面积;(2)若在[0, 1]可导，且y,f(x)f0 ,x，试证明(1)中的是唯一的。 f(x),,2f(x)/x0 第二次讨论题与练习题 一块高为，底为的等腰三角形板， ab ?垂直地沉入水中，顶在上，与水面相齐，底与水面平行; ?垂直地沉入水上，顶在下，底与水面相齐; ?底与水面相齐，且该板与水面成角; , 讨论各种情况薄板一侧所受水压力的积分表达式如何建立，并计算之。 1( 半径为的半球形水池 R?池中盛满水，将水池口全部抽出;?池中盛满水，将深以上的水全部从池口抽出; 2 RR?池中盛满水，将水全部抽到距池口的高处;?池中水的深入为，将水全部从容器口抽出; 22 讨论各种情况需作功的积分表达式，并计算之。 R3(半径为的球沉入水中，并与水面相接，球的此重(与水相同)将球从水中捞出需作功多少,,,1若，又将怎样计算。 ,,1 4(由 () ()， ()与轴围成平面图形 y,f(x)f(x),0xx,aa,0x,bb,a y?绕轴旋转一圈; ?绕直线旋转一圈; x,a ?绕直线旋转一圈 x,,a y,c?绕直线()旋转一圈; c,maxf(x) y建立以上四个旋转体体积的积分表达式，并计算曲线与轴围成的图形，分别绕轴、轴、直线xx 旋转一圈所产生旋转体的体积。 y,2a 5(直角三角形如图，A、C两处分别放置 两质点，质量为M、m，将质点m移到B点， 求引力所作功。 6(一圆环线密度u为常数，半径为R， 在圆环中垂线上与圆心相距为a处有一质 点m，求引力大小。 若圆环改为圆片，其面密度u,常数，则如何求引力, 7(双纽线，圆 ?求两曲线围成图形公共部分的面积。 ?求位于圆外、双纽线内部分图形的面积。 8(已知点A、B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1,)，线段AB绕轴旋转一圈所成的旋转面为S，OZ z,1求由S及两平面及所围立体的体积。 z,0 ,，9(设在[a, b]可导，，证明:唯一的，使得如图两块阴影区域ff(x),0f(x),0t,(a,b) 的面积A与A，成立3A=A。 1212