空间直线方程

空间直线方程 【一般式】 ,Ax，By，Cz，D,01111, AxByCzD，，，,02222, M(x,y,z) 【对称式】经过已知点,且平行于已知向量 0000 S =(m,n,p), 动点为M(x,y,z)的直线方程 x,xy,yz,z000,, mnp 【参数式】 s=(m,n,p) 为直线L的方向向量 x,x，mt,0 ,y,y，nt,,,,t,，,0, ,z,z，pt0, 两直线之间关系. ?两直线的夹角 mm，nn，pp121212cos,, ,θ取锐角 222222m，n，pm，n，p111222 ?两直线平行的充要条件: mnp111L//L,, 12:mnp222 ?两直线垂直的充要条件: L,Lmm，nn，pp,0 12121212: 直线L与平面π的关系: 【直线与平面的夹角】 设已知平面方程为Ax+By+Cz+D=0 直线为L ;其方向向量为 s=(m,n.p) 直线在平面上投影直线与直线的夹角为φ 直线与平面的夹角: Am，Bn，Cp, sin,,cos(,,), 2222222A，B，Cm，n，p x，2y，7,0, ,【例1】求直线与平面x+y+2z-3=0的夹角 y，z,5,0, ijk 1，2,1，1，2，11s,120,(2,,1,1),sin,,解: ,n=(1,1,2), 21，1，44，1，1011 ,,,? 6 ?直线与平面垂直的充要条件: mnp L,,,, :ABC ?直线与平面平行的充要条件: L//Am,，Bn，Cp,0 ( s?n=0 ) : ?例题? 1.求满足下列条件的对称式方程: P(2,,3,1),方向向量为s=(3,-1,4) (1).通过点 x,2y，3z,1,, 解: 3,14 P(3,2,5)和P(5,,1,7) ? (2).通过两点 12 x,5y，1z,7x,3y,2z,5,,,, 解: 或 2,322,32 x，3y,2z，5,0 (3).通过点且垂直平面 ,,P,2,,1,4 x,2y，1z,4,, 解: ?s=(m,n,p)=(1,3,-2), ? 13,2 2x,3y，5z，5,0, (4).通过点且平行于直线 ,,P,2,,2,3,3x，2y,4z,6,0, ijk ,,,,m,n,p,2,35,2,23,13 解: ? 32,4 x,2y，2z,3,, ? 22313 2.改变下列直线方程形式: x,1y，2z,3,, (1).将 变为参数式和一般式方程. 235 x,1y，2z,3,,,t 解: 令 235 x,1，2t, ,y,,2，3t, 则参数字式为: ,z,3，5t, x,1y，2,,3x,2y,7,0,,23,,, 一般式即写出三元一次方程组: x,1z,35x,2z，1,0,,, 25, x,1y，2,,3x,2y,7,0,,23,,, 或: y，2z,35y,3z，19,0,,, 35, x,1，2t, ,y,,2，3t, (2).将变为对称式和一般式. ,z,3，t, x,1y，2z,3,, 解: 对称式为 231 x,1y，2,,3x,2y,7,0,,23,,, 一般式为 y，2y,3z，11,0,,,z,3 3, 3x,2y，z,2,0, ,? (3).将 变为参数式和对称式. x，2y，z，2,0, ijk ,,,,m,n,p,3,21,,4,,2,8 解: ? 121 3x,2y,0,,3 ,？x,,1,y,, 令z=2 则 x，2y,,42, 3 y，x，1z,22,, 对称式为 ,2,14 注: 对x,y,z可令任一亇未知量为一个值,雖然其结果形式 不一样,但结果是等价 例如: 令 x=0, 解方程组后得: y=-1 ,z=0 其对称式为 xy，1z ,, ,2,14 ,x,,1,2t ,3 y,,,t, 参数字式为: 2, z,2，4t, 2.求满足下列条件的平面方程: 4x，y,z，1,0,P(2,1,3) (1).通过点,且与直线L: 垂直. ,x，2y，z,2,0, ijk, ,,,41,1,3,,5,7 解(一): ?平面方程为 n 121 3(x-2)-5(y-1)+7(z-3)=0 即 3x-5y+7z-22=0 解(二):设平面的法向量为 n={A,B,C} ,则 n?{4,1,-1}={A,B,C}?{4,1,-1}=4A+B-C=0 n?{1,2,1}={A,B,C}?{1,2,1}=A+2B+C=0 ? 5A+3B=0 ,A=-3B/5 ,C=-7B/5 即n={-3B/5,B,-7B/5} 得平面方程: -3B(x-2)/5+B(y-1)-7B(z-3)/5=0, 3x-5y+7z-22=0 P(2,1,3)(2).通过点,且与两条直线 xyz,2，，1,0,2x,y，z,0,L:,L:, 和都平行. ,1,2xyz,，,1,0xyz,，,1,0,, ijk ,,,,L:l,m,n,1,21,,1,0,11111 解: 1,11 ijk ,,,,L:l,m,n,2,11,0,,1,,12222 1,11 ijk ,,,,n,A,B,C,,101,1,,1,1 0,1,1 ?平面方程为 x-2-(y-1)+z-3=0 即 x-y+z-4=0 x,4y，3z,,P(2,1,3) (3).通过点,及直线 L: 521 解: 在直线上任取一点 如: Q(4,-3,0) 则 PQ={2,-4,-3} ijk, nPQ,,,,,，5,2,1,2,4,3,2,,17,24 521 ?平面方程为 2(x-2)-17(y-1)+24(z-3)=0 即 2x-17y+24z-59=0 , 3.求直线与直线的夹角 LL21 xyz2，2,，23,0xyz5,3，3,9,0,, L:L:,,21 (1). xyz3，8，,18,0xyz3,2，,1,0,, ijk ,,,,m,n,p,5,33,3,4,,1111 解: , 3,21 ijk ,,,,m,n,p,22,1,10,,5,10222 381 3，10，4，(,5)，(,1)，10,cos,,,0,, , 9，16，1100，25，1002 x5,y3，z3,9,0,x,y，z,322L:L,,:,2 (2). 1xyz3,2，,1,0431, 3，4，4，3，(,1)，12323,cos,,,,arccos 解: , 269，16，116，9，126 x,y,z，232x,y，z,322L,,:L,,: (3). 21523431 4，5，3，2，1，32929 cos,,,,,0.92 解: 31.4316，9，125，4，92638 ,,arccos0.92 x，y，3z,0, , 4.求直线与平面x-y—z+1=0的夹角φ x,y,z,0, ijk ,,,,m,n,p,113,2,4,,2 (1). 解: 1,1,1 2，1，4，(,1)，(,2)，(,1)sin,,,0,,,0 4，16，41，1，1 x,3y,2z，1,, (2). 求直线与平面x-2y-3z+1=0的夹角φ 231 ，，，,，，,213(2)1(3),71,,,,sin,,, 解: 1426，，，，491149 5.求直线与平面的交点 2x,y,z,0,L: (1). 与平面 x+3y+z-1=0 ,x,2y,2z，3,0, 1,2,2:,3,,1,2,2:,3,,,,,,2,1,1:0,033:6,,,, 解: ,,,,131:1053:4,,,, 1,2,2:,3,,100:1,,,,,,,011:2,011:2,,,, ,,,,053:400,2:,6,,,, 100:1,,100:1,,,,,,,010:,1,011:2,,,, ,,,,001:3001:3,,,, ?交点 x=1 ,y=-1 ,z=3 x,2y,3z,4L:,, (2). 与平面 2x+y+z-6=0 112 解: ? x=t+2 ,y=t+3 ,z=2t+4 代入平面方程 得 2(t+2)+t+3+2t+4=6 ,5t=-5 ,t=-1 ? 交点 x=1 ,y=2 ,z=2 设是直线L外一点，M是直线上任意一点，且直线的方向 M0 向量为s，试证: MM，s0点到直线L的距离为 d, M 0s证:平行四边形面积 b= MM×S =d S 0 MM，s0d,? s x，y,z，1,0, ,【例】求点P(3,-1,2)到直线的距离. 2x,y，z,4,0, ijk 11,1解:直线方向向量s==(0,-3,-3),在直线上任取一点， 2,11设x=1,由方程: y,z,,2同一, ,,若 z=0,则y= -2,任一点为M(1,-2,0), 方程 ,y，z,2, MM=(-2,-1,-2) 0 ijkMM，s320d,MM×S==(-3,-6,6), = ,2,1,20s20,3,3 [若z=1则解方程组可得 x=1 ,y=-1 ,M(1,-1,1) ]